Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Финансовый университет при Правительстве РФ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Algebra and geometry

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.03.2015

Размер:

415.75 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

16.Определение модуля и аргумента комплексного числа.

17.Формула Муавра.

18.Основная теорема алгебры.

19.Определение линейного преобразования.

20.Определения собственных векторов и собственных значений. Свойства собственных векторов.

21.Определение квадратичной формы.

22.Закон инерции квадратичных форм.

23.Критерий Сильвестра.

24.Формула расстояния между точками в многомерном пространстве. Свойства расстояния.

25.Определение отрезка, теорема об отрезке.

26.Определение k - плоскости. Гиперплоскость.

27.Определение и свойства выпуклого множества.

28.Определение и примеры кривых второго порядка.

29.Определение и примеры поверхностей второго порядка.

Теоретические вопросы (Б)

(теоретические вопросы на доказательство)

1.Неравенство Коши-Буняковского.

2.Неравенство треугольника.

3.Линейная независимость лестничной системы векторов.

4.Однозначность разложения вектора по базису.

5.Формула умножения комплексных чисел в тригонометрической форме.

6.Формула деления комплексных чисел в тригонометрической форме.

7.Существование бесконечного числа решений у системы линейных однородных уравнений, в которой число неизвестных больше числа уравнений.

8.Теорема о пространстве решений однородной системы линейных алгебраических уравнений.

9.Теорема о связи общих решений неоднородной и однородной систем линейных алгебраических уравнений.

10.Формулы Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

11.Линейная независимость векторов, составляющих ортонормированную систему.

12.Формулы для вычисления координат вектора в ортогональном базисе.

13.Невырожденность ортогональной матрицы.

14.Изменение матрицы линейного преобразования при замене базиса.

15.Равенство характеристических многочленов подобных матриц.

16.Ортогональность собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям самосопряженного линейного преобразования.

17.Изменение матрицы квадратичной формы при замене базиса.

18.Вывод канонического уравнения эллипса.

19.Вывод канонического уравнения гиперболы.

20.Выпуклость пересечения выпуклых множеств.

Практические задания

1.Линейные операции над векторами в R n .

2.Вычисление скалярных произведений, длин векторов и угла между векторами в R n .

3.Вычисление смешанного и векторного произведения векторов.

4.Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

5.Исследование систем векторов на линейную зависимость.

6.Вычисление ранга системы векторов.

7.Разложение вектора по базису общего вида в R n .

8.Вычисление координат вектора относительно заданного ортогонального базиса в R n .

9.Нахождение размерности пространства решений однородной системы линейных алгебраических уравнений.

10.Построение фундаментального набора решений однородной системы линейных алгебраических уравнений.

11.Вычисление ранга матрицы.

12.Линейные операции над матрицами. Транспонирование матриц.

13.Вычисление произведения матриц.

14.Вычисление обратной матрицы.

15.Вычисление определителей.

16.Вычисление векторного произведения двух векторов в R3 .

17.Вычисление смешанного произведения трех векторов в R3 .

18.Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.

19.Вычисления с комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме.

20.Перевод комплексных чисел из алгебраической формы в тригонометрическую форму.

21.Решение простейших алгебраических уравнений с действительными коэффициентами в области комплексных чисел.

22.Нахождение собственных векторов и собственных значений квадратной матрицы.

23.Нахождение матрицы линейного преобразования. Вычисление ранга линейного преобразования.

24.Нахождение образа вектора при линейном преобразовании пространства R n .

25.Нахождение матрицы квадратичной формы. Вычисление ранга квадратичной формы.

26.Приведение квадратичной формы к нормальному виду методом Лагранжа.

27.Исследование квадратичной формы на знакоопределенность по критерию Сильвестра.

28.Нахождение общего уравнения прямой на плоскости, заданной различными способами.

29.Нахождение точки пересечения прямых и угла между парой прямых на плоскости. Вычисление расстояния от точки до прямой и расстояния между параллельными прямыми на плоскости.

30.Определение вида кривой второго порядка по общему уравнению.

31.Нахождение основных характеристик кривых второго порядка по их каноническим уравнениям.

32.Нахождение общего уравнения плоскости в трехмерном пространстве, заданной различными способами.

33.Вычисление расстояния от точки до плоскости и расстояния между парой параллельных плоскостей в трехмерном пространстве.

34.Нахождение точки пересечения прямой и плоскости.

35.Задание выпуклых многогранных областей системами линейных неравенств.

36.Нахождение вершин выпуклых многогранных областей.

Примеры задач (А)

1. Найдите вектор xG = aG +b −cG, где a = (−5;0;2;−3) , bG = (2;7;2;0) и

cG = (1;2;3;1) .
2.	Найдите вектор	xG	из уравнения −3aG + xG + 4cG = −12aG +15b − 2cG − 2xG,
если aG = (−4;0;2) ,		bG = (1;5;2) и c = (0;1;3) .
3.	Найдите длину		вектора aG +b , где a = (−1;4;−2;−2;1) и

b = (2;3;−1;4;−2) .

4.	Найдите	скалярное	произведение	векторов	a = (−4;0;3;−4;0;5)	и
bG = (5;−4;−3;−4;−3;−4) .
5.	Найдите	косинус	угла между	векторами	a = (−4;3;2;−5)	и

b = (2;−4;3;5) .

Вычислите:

2 +

2 −(aG, b)(b, cG) ,

где a = (−2;0;−3) ,

bG = (2;−2;0) ,

cG = (2;−2;3) .

Вычислите

ранг системы векторов:

а) a = (−2;4;0) ,

= (4;−3;0) ,

= (−3;9;−2) ;

б)

a1 = (4;2;1) ,

= (3;4;−5) ,

a3 = (11;8;−3) .

8. Разложите вектор xG =

(24;−5) по базису a

= (2;−1) , aG

= (5;1) .

Исследуйте

на линейную

зависимость

систему

векторов:

а)

= (4;0;0) , aG

= (0;−2;−5) , a

= (−4;−2;−5) ;

б) a = (3;3;3) , aG

= (5;−1;3) ,

aG3 = (1;−3;−4) .

10.

Найти координаты

вектора

x = (2;−2)

ортогональном базисе:

= (−1;−2) , a

= (2;−1) .

11. Решите по формулам Крамера систему уравнений:

5x −3y = −2

4x − y = −2

x + y = 6

;

а)

б)

в) y + z = 6 .

4x − y =1

x −

3y =1

z + x = 6

12. Решите методом Гаусса систему уравнений

x +9 y +8z +14w = −4

+5z −9w =

x +8y

выбирая x и y

в качестве базисных переменных. В ответе укажите ба-

зисное решение.
13. Решите систему уравнений 5x1 + 6x2 + x3 +14x4								= −3	, выбирая	x2
	3x	+5x	2	+ x	3	−6x		= 3
	1		2		3		4

и x3 в качестве базисных переменных. В ответе укажите базисное ре-

шение.

14.	Найдите					фундаментальный	набор	решений	системы
x	+5x		+ 2x		= 0	.
1		3		4		.
x2 + 4x3 + 4x4 = 0

15. Найдите размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений, записанной в матричной форме:

		8	− 2
а)	16		− 4

	− 24		6

	−6		4
		0	6
б)
		0	0

		−18	12

9	1		x					0
9	1			1				0
18	2		x2			=		0		;
18	2					=		0		;
− 27			x3					0
− 27	−3							0
			x4
6	7	x					0
−4 −6			1				0
−4 −6		x2					0
4 −6					=		0		.
4 −6		x3					0
18	21						0
18	21	x4					0

16. Решите систему линейных уравнений, заданную в матричной форме:

1 −1 0			x		−1
− 2	3	− 2			16
			y	=		.
−3	0	7			− 44
			z

17.Решите систему линейных уравнений:

18.Найдите ранг матрицы:

	x −3y +3z = 5

7 y −2x −8z = −7
	2x −7 y +9z = 4
	2x −7 y +9z = 4

	−5 13		14	7			0	0	0	7
	0	14	−13	−5			0	0	−13 −6
					;						;
а)	0	0 13		−5		б)	0	7	13 −6

	−10 26 28 14						−6	−7 7		0

		8 −13 5					3									− 2					−8		0 −6
		0	5			13	8												13		52		0	52
в)		0	5			13	8												13		52		0	52
в)		0	15			39	24		;					г)					7		28		0	28		;
		0	15			39	24												7		28		0	28
		0 −5 −13 −8																	2		8 0 8
		0 −5 −13 −8																	2		8 0 8
		−3 3 5					7		5							0 7 8 1 9
д)		0		0		0 −9 5												0 8				6 0 −			2
д)		0		0		0 −9 5					;			е)				0 8				6 0 −			2	.
		−15	15			25	35		25									0 − 4				0	0	81
		−15	15			25	35		25									0 − 4				0	0	81
															2				− 2					2	1		1
19. Найдите матрицу AT −3B , еслиA =															1				− 2		и	B		2	1		1
19. Найдите матрицу AT −3B , еслиA =															1				− 2		и	B	=				.
																								0	0
															1				1					0	0		3
															1				1
							X , если 3A +3B −									1	X =						A		3		−1	1
20. Найдите матрицу																1				0 , где				=					,
20. Найдите матрицу																				0 , где				=					,
															3										−1		−1	0
															3										−1		−1	0
	1	−1		−1
B =						.
	−1 3			0
	−1 3			0
21. Вычислите AB, где:
а) A =		2	3					3		1
а) A =						и B =					;
		−6	−	6				1		0
		−6	−	6				1		0
		4	1				−1			−1		−3
б) A =		0	2		и B =		−1			−1		−3	;
б) A =		0	2		и B =								;
										−	4
		− 4	4				−3			−	4	−1
		− 4	4
		−4	−2			−5					−1	−1		−1
в) A =		−4	−2			−5	и B =				−1 2			− 2					;
в) A =							и B =				−1 2			− 2					;
		−5	−6			2
		−5	−6			2					−1	− 2		−3
											−1	− 2		−3

	1
г) A =	2 и B = (2 1 1);

	−1
22. Вычислите		AB −		−1 2	и	−1		−1
22. Вычислите		AB −	BA, где A =		и	B =			.
				4 0			−3	− 2
				4 0			−3	− 2

23.			1	1 4
23.	Вычислите матрицу			.

			1	−1
					−1		4							2	−1
24.	Вычислите A−1 , если:			а) A =	−1		4	; б)	A =					4		5
24.	Вычислите A−1 , если:			а) A =				; б)	A =					4		5
							1
					−2		1						− 2			0
													− 2			0
							3	2	− 4
25.	Вычислите определитель матрицы						5	5	− 2
25.	Вычислите определитель матрицы						5	5	− 2	.
							−1	−3	2
							−1	−3	2
		3	0	3	−5				4					0		0
		3	0	3	−5				4					0		0
26.	Вычислите: а)	0	−3	3	1	;		б)	3					−1		0
		0	0	− 2	1				4					4	−3
		0	0	0	3				− 4					1		1
27.	Вычислите определитель матрицы A3 ,							если A =				3		2
27.	Вычислите определитель матрицы A3 ,							если A =							.
												1		2
												1		2
28.	Вычислите определитель матрицы A−1 , если A =												3		3
28.	Вычислите определитель матрицы A−1 , если A =															.
															2
											−1				2

−3 .

00 .

29. Запишите в тригонометрической форме комплексное число

z = 2i 3 − 2 .

30. Решите уравнение в области комплексных чисел: а) x3 + 64 = 0 ;

б) x2 −2x + 26 = 0 .

31.Найдите модуль комплексного числа z3 , если z = 33 +−33ii .

32.Найдите модуль комплексного числа z , если:

а) z = u v , u =1 +3i , v = 3 +i ;

б) z =

, u = 2 + 4i , v = 3 +i .

33. Найдите аргумент комплексного числа

z , если:

), v = 3(cos π

+isin π ), w = 5(cos π

а) z =

,u = 2(cos

+i sin

+i sin π );

б)

z = u3 v3 , u = 4(cos π

+isin π ), v = 3(cos

+isin

);

в)

z = u2

, u = 5(cos π

+isin π ),

v = 2(cos

+isin

34.Запишите квадратное уравнение с действительными коэффициентами, которое имеет корень 3 + 4i .

35.Найдите собственные значения матрицы:

	−1 −3			;		0	3				4	6	;
а)				;	б)			;		в)			;
	−3 −1					3	0
	−3 −1					3	0				− 2 −3
	5	0	0			−3 3 1					3	0	0
	0	0	4	;		0		4 −1	;		4	0	0
г)	0	0	4	;	д)	0		4 −1	;	е)	4	0	0	.
	0	4	0			0		0 − 2			0	− 4 − 2
	0	4	0			0		0 − 2			0	− 4 − 2

36. Найдите собственные значения матрицы C3		4	−6
36. Найдите собственные значения матрицы C3	, если C =			.
		3	−5
		3	−5

37. Найдите собственные значения матрицы C−1							9	10
37. Найдите собственные значения матрицы C−1						, если C =			.
							−5	−6
							−5	−6
38. В пространстве столбцов R2			действует линейное преобразование f
G	x1	G	2x1 +5x2		. Напишите матрицу A				пре-
по правилу: x	=	6 f (x)=	−3x +5x		. Напишите матрицу A				пре-
	x		−3x +5x
	2		1	2

образования	f в стандартном базисе и найдите	f (y), где	G		2
образования	f в стандартном базисе и найдите	f (y), где	y	=		.
					1
					1
39. В пространстве R2 действует линейное преобразование						f	по

правилу: x = (x1; x2 )6 f (x)= (2x1 + 2x2 ;−5x1 + 4x2 ). Напишите матрицу преобразования f в стандартном базисе.

40. В пространстве столбцов

действует линейное преобразование

−3x

по правилу:

. Найдите образ вектора

6 f (x)= x2 − 2x3

− 2x

−1

41. В пространстве

действует линейное преобразование f по пра-

вилу: x = (x1; x2 ; x3 )6 f (x)= (x1 − 2x2 ; x2 − 4x3; x3 −3x1 ). Найдите образ вектора aG = (−2;3;2 ).

42. Линейное преобразование	f	пространства R3 задано в стандартном
−1		0	2
	0	− 2	0	. Найдите образ f (xG) вектора
базисе своей матрицей A =
	1	1	1

x = (2;3;−1 ).

43. Вычислите ранг квадратичной формы:

а) Φ(x , x , x			)= 8x x −12x x +5x 2					+3x 2		− 2x 2	;
1	2	3	1	2	2	3	1		2	3
б) Φ(x , x , x			)= 4x x −8x x + 2x 2 ;
1	2	3	1	3	1	2	1
в) Φ(x , x , x			)= 4x x + 6x x +12x x + x 2							+ 4x 2	+9x 2
1	2	3	1	2	1	3	2	3	1	2	3

г) Φ(x1, x2 , x3 )= 9x12 −12x1x3 + 4x32 .

44. Вычислите ранг квадратичной формы, если ее матрица в некотором базисе имеет вид:

4 5			0			4	2	6			1	− 4 6
	5	2	− 2	;		2	1	3	;		− 4	0	0
а)					б)					в)
	0	− 2	−3			6	3	9			6	0	0

45. Выясните, является ли положительно определенной квадратичная

форма f (x1, x2 , x3 )= −16x1x2 −8x1x3 +8x2 x3 +10x12 +10x22 +2x32 .

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.03.2015592.96 Кб29Access_pdf.pdf
#
03.08.201977.58 Кб0Administrativnoe_-_ekzamen_3_kurs.docx
#
26.09.2019290.3 Кб6AFO.doc
#
13.03.2015201.93 Кб5aggregate demand questons.pdf
#
26.05.2015290.45 Кб4aikp_kontr.pdf
#
13.03.2015415.75 Кб6Algebra and geometry.pdf
#
13.03.2015739.33 Кб8algebra.doc
#
06.08.2019144.9 Кб1analiz_shpory.doc
#
24.09.201933.9 Кб2anglysky-topiki_1.docx
#
24.03.2016302.83 Кб65Anglysky_Uchebnik_MEO_1_kurs.docx
#
24.03.2016111.97 Кб17angl_tasts_bak.pdf