Algebra and geometry

2 5

9

2 2

−6

λ = 1

; 38.

,

; 39.

A

; 40.

4

; 41.

A =

f ( yG) =

=

2

4

−3 5

−1

−5 4

−1

(−8;−5;8); 42. (− 4;−6;4); 43. а) 3; б) 2; в) 1; г) 1;

44. а) 3; б) 1; в) 2;

45. Да;

46. Нет; 47. а) 60±; б) 45±; в) 30±; г) 90±; 48. (13;−17) ; 49. x −5y −55 = 0

; 50.

x −5y −106 = 0 ; 51. 7x +3y −84 = 0 ; 52.5x − 4 y −11 = 0 ; 53. x −9 y + 63

= 0 ;

54. а) 2; б) 2;

55.

4 ; 56.

5 ;

57. y

= ±2 x ; 58. а) Гипербола; б) Эллипс; в)

5

4

3

Парабола; 59.

− 1 ;

60. 8

;

61. 7;

62. 3; 63. 15x + 4 y − 25z +58 = 0 ; 64.

6

9

G

G

G

−c3 ,

G

= −2c2 + 2c3 ; 2.

a R ,

G

a

G

1

G

;

3.

α = 0 ,

1. a1

= 2c1

−3c2

a2

m = −

2

p −

2

n

9. а)

m = −1;

б) m = −6;

10. а)

X oб

= (−3 −15x3 −5x4 ;−3 − 4x3 − x4 ; x3 ; x4 ) ;

б) X oб = (−56 −59x4 ;29 + 28x4 ;−22 −21x4 ; x4 ) ;

в)

X oб = (1 +3x4 ;1 +5x4 ;−3 − 2x4 ; x4 ) ;

11. m = −4; 12. a = −2 , a = 6 ;

13. a ≠ 5 ,

a ≠ −4 ;

14. λ ≠ 2 ,

λ ≠ −2;

15. λ ≠ 2 ,

λ ≠ −2,

λ ≠ 3,

λ ≠ −3 ;

16. λ = 3 ,

5xn − 4 yn

2xn − 2 yn

1

3

λ = −3 , λ =1, λ = −1; 17.

;

−

2

−

2

n

n

n

18.

;

−10x

+10 y

−

4x

+5y

n

3

1

−

2

2

19.

а)

8;

б)

72;

в) −38 ;

20.

74 ;

21.

(1;

4);

22.

35

f = 25x

2 − x 2

+(4x + 2x

−5x )2

;

23.

a (6;+∞)

;

24. a (−∞;−40) ;

3

2

1

2

3

6

25.

а)

λ1 = 0,λ2 = λ3 = 2 ;

б) λ1 =1,λ2 = 3,λ3 = 0 ;

26.

а)

3

≠ 0 ;

X = t

,t

2

6

3

б)

X = λ

3

2

2

+ µ

2

≠ 0 ; 27.

m =16 ,

λ =1;

28.

а)

+ µ

,

λ

−2

−1

m (−∞;−11) (5;+∞) ;

б)

m = −11;m = 5 ; в)

m (−11;5) ;

29.

m = −7 ;

30.

−

10

3

5

8

−

9

;

31.

a1 =t(−1;0;1) ,

a2

= t(−4;2;−4) , a3 =t(0;1;0),t ≠ 0 ; 32.

7

7

;

2

−

3

−

5

−17

7

7

2

29

7

7

18 19

′

7

11

33.

;

34.

;

35. H (4;3) ; 36. B(−1;2) ; 37. A

−

;

;

11 12

1

10 20

−

19

7

7

38.

′ 104

;

68

a = −15;

41.

a = 0,5 ;

42.

α

=3;

43.

A

41

; 39. 12; 40.

41

1

1

x2

y2

x2

y2

m −1;−

;

;1

; 44.

a =1;

45.

+

=1;

46.

+

=1;

47.

6

6

64

16

9

4

1.

(−1;1;2;−1). 2.

Линейно зависимы.

GG

V =14 ; левую.

3. (abc) = −14 ;

0

−

1

−

1

6

2

πk

πk

1

4.

A−1 =

0

−

0

.

5.

x = cos

+isin

, где

k = 0,1,2,3,4,5

3

3

3

1

1

0

1.

Размерность пространства решений равна 3. В качестве фундаменталь-

ного

набора

решений можно

взять,

например,

решения:

(2;9;0;0) ,

(−14;0;9;0) ,

(−1;0;0;3) .

2.

G

G

G

G

G

G

a1 = −2c1

−2c2

+c3 ;

a2

= −2c1

+c3 .

G

G

x

2

y

2

3.

a ×b = (−1;12;7) , S = 194 .

4. −15 . 5.

x = 2; y =3 . 6.

+

=1. 7. (3;3) ,

92

42

можно взять,

например, строки

S1, S2 .

Тогда

S3 = S1 −2S2 ;

S4 = −S1 + S2 .

1

−7

1

11

4. A

−1

p (6,4; 0) . 6. A'(1;−2) . 7. (2;2;0;60;0) ,

3.

−78 .

=

7

5

−8

. 5.

21

0

3

−9

(12;7;60;0;0) , (8;11;0;0;60) .

Вариант 5

G

G

G

G

G

5

−1

−

1

2

26

1.

a3 = (17;

−26;−1) ;

x =

5 a1 −

a2

−

a3 .

2.

X =

9

3

.

69

483

3

7

35

7

−

54

2

G

18

t ≠ 0 ; λ2 =3, a2 =t(0;1;0) , t ≠ 0 ;

3.

λ ≠ ±2 . 4.

λ1 = −1, a1 =t(−1;0;1) ,

λ3 =1,

G

=t(−1;1;1) ,

t ≠ 0 .

5.

f = y

2 + y

2 − y 2

,

где

y = −5x

+ 4x + x ,

a3

1

2

3

1

1

2

3

y

= 4x +5x , y =3x .

6. a = −3 . 7.

x2

y2

=1.

−

32

12

2

2

3

3

3

Вариант 6

1. x2 −6x +13 = 0 . 2.

−4

1

,

Y

3

−1

. 3.

λ ≠ ±2, λ ≠ ±3.

X =

=

−5 −1

−5 2

x + 2

y +5

z −1

4.

m = 70 ,

λ =8 .

5.

p (−∞; −140) .

6.

AM :

=

=

.

0

−5

−2

Вариант 7

0

1

4

1.

(7 +9t; −10 −

9t; −4 −3t; t) , t R . 2. λ = −14 . 3. X =

−2 2 −4 .

2

3

3

2

−1

3

1

4.

X = λ −1 + µ

2 ,

λ2 + µ2 ≠ 0 .

. 6.

a = −6 .

5. A' =

−7

−1

7.

0

−1

(7;14) , (3;2) , (15;7) .

Вариант 8

a3 =(−21;17;12) ;

G

5

G

17

G

35

G

1.

(0;2;−1;1) .

2.

x =

a1

−

a2

−

a3 .

19

46

874

−2

−4

−2

3.

1

4

0

4.

81,

16.

5.

x = 4, y =3, z = −2 .

X =

.

1

3

1

6.

f = −(3x −3x

− x )2 −(5x

−2x )2

−(4x )2

. 7.

A'(2,6; 3,2;

−1,4) .

1

2

3

2

3

3