Algebra and geometry
.pdf46.Выясните, является ли знакоопределенной квадратичная форма
f (x1, x2 , x3 )= −6x1x2 +8x1x3 +9x12 +3x22 + 2x32 .
47.Найдите угол A в треугольнике ABC с вершинами
а) |
A(8;7) , |
B(18;7) , C(16;8 3 + 7) ; |
б) A(9;3) , |
B(12;3) , C(12;6) ; |
||||
в) |
A(6;4) , |
B(12;4) , C(9 3 + 6;13) ; |
г) A(4;8) , |
B(8;8) , |
C(4;15) . |
|||
48. |
Найдите точку пересечения прямых l : |
6(x −13) |
+3( y +17) = 0 и |
|||||
m : |
x −13 |
= |
y +17 |
. |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
|
|
|
|
49.Записать общее уравнение прямой на плоскости, которая проходит
через точку A(10;−9) , в направлении вектора a = (5;1) .
50.Записать общее уравнение прямой на плоскости, которая проходит через точку A(11;−19) имеет нормальный вектор n = (−1;5) .
51.Найдите уравнение прямой, содержащей точку A(9;7) и перпендику-
лярной к прямой, проходящей через точки B(0;3) и C(−7;0) .
52. |
Найдите общее уравнение прямой, проходящей через точки A(3;1) и |
||||||||||
B(7;6) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53. |
Найдите общее уравнение прямой, содержащей точку A(9;8) и па- |
||||||||||
раллельной прямой x −9 y +8 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54. |
Найдите расстояние от точки A до прямой l |
|
|||||||||
а) A(−2;−1) , l : 4x +3y +1 = 0 ; |
|
б) |
|
A(−3;4) , l : 3x − 4 y +35 = 0 . |
|||||||
55. |
Найдите эксцентриситет эллипса |
x2 |
|
+ |
y2 |
=1. |
|||||
25 |
9 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
56. Найдите эксцентриситет гиперболы |
|
|
x2 |
− |
|
y2 |
=1. |
||||
|
64 |
36 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
57.Запишите уравнения асимптот гиперболы 4x2 −9 y2 = 36 .
58.Определите вид кривой второго порядка, заданной уравнением:
а) 16x2 −98y −32x − 49 y2 −817 = 0 ; б) 50 y −18x +9x2 + 25y2 −191 = 0 ;
21
в) y2 − 2 y − 4x −7 = 0 .
59. |
|
Две |
прямые |
заданы |
уравнениями |
|
x − 2 |
|
= |
y − 2 |
= |
z −2 |
|
и |
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|||||||
|
x − 2 |
= |
y − 2 |
|
= |
z −2 |
. Найдите косинус угла между ними. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
−1 |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
60. |
Найдите |
косинус |
угла |
между |
плоскостями x + 2 y + 2z +3 = 0 |
и |
||||||||||||||||||||
2x + y + 2z +10 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
61. |
|
Найдите |
расстояние |
от |
точки |
A(1;3;−2) |
|
|
до |
|
плоскости |
|||||||||||||||
α : 2z − 2 y − x +32 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
62. |
|
Найдите |
расстояние |
между параллельными |
плоскостями |
|||||||||||||||||||||
α : x + 2 y − 2z +8 = 0 и β : x + 2 y −2z +17 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
63. |
Найдите общее уравнение плоскости, проходящей |
через точку |
||||||||||||||||||||||||
|
A(5;−2;5) |
и перпендикулярной прямой l : |
x + 4 |
= |
y |
= |
z +1 |
. |
|
|||||||||||||||||
|
−15 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
25 |
|
|
|
|
|
64.Найдите общее уравнение плоскости, содержащей точку A(2;1;5) и
перпендикулярной вектору n = (−6;2;25) .
65.Найдите общее уравнение плоскости α , которая параллельна плоскости β : x + 6 y + 4z + 4 = 0 и проходит через точку A(4;−5;1) .
66.Найдите общее уравнение плоскости, проходящей через три точки
а) A(4;5;5) , B(5;5;5) , C(4;7;5) ; б) A(1;1;4) , |
B(1;3;4) , |
C(1;1;7) ; |
||||||
в) A(1;4;3) , B(4;4;3) , C(1;4;5) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
67. Найдите точку пересечения прямой l : |
x − 2 |
= |
y −1 |
= |
z −1 |
и плоско- |
||
|
|
|
||||||
|
|
4 |
|
5 |
3 |
|
||
сти α : 4x +5y +3z −16 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
68. Найдите длину отрезка [ AB], если A = (1;2;2;3;2) , |
B = (1;0;4;−1;3) . |
|||||||
69. Пусть M – выпуклая оболочка точек |
X1 = (0;−2) , X2 = (2;−2) , |
X3 = (0;0) . Найдите ограничения в виде системы неравенств, которые задают множество M .
22
70. Пусть M – |
выпуклая оболочка точек |
X1 = (−2;6) , |
X2 = (0;6) , |
|||||||||||
X3 = (−2;8) , |
X4 = (0;8) . |
Найдите ограничения в виде системы нера- |
||||||||||||
венств, которые задают множество |
M . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Примеры задач (Б) |
|
|
|
|
|||||
1. |
Разложите векторы a1 = (1;13;8) |
и a2 = (−12;−6;8) по базису, состоя- |
||||||||||||
щему из векторов cG = |
(4;4;−3) , c |
= (3;−2;−5) , |
c = (−2;1;1) . |
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
2. |
При |
каких значениях |
параметра a |
векторы |
m = (a;2a +3;−a −4) , |
|||||||||
nG = (0;−6;8 − 2a) , |
pG = (−2;−4;4) линейно зависимы? Выразить вектор m |
|||||||||||||
в виде линейной комбинации векторов n и p . |
|
|
|
|
||||||||||
3. |
Даны векторы aG = (4;1;−1) , |
b = (3;−1;0) , |
c = (−1;1;1) , d = (−1;3;4) . При |
|||||||||||
каких |
значениях |
параметров |
α , |
β , |
γ |
верно |
равенство |
|||||||
αaG + βb +γcG + d = 0 ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. |
Найти |
все |
значения |
параметра |
|
λ, при которых вектор |
||||||||
b = (7;−2;λ − 2) линейно |
выражается |
через |
векторы |
a1 = (2;3;5) , |
||||||||||
a2 = (3;7;8) , |
a3 = (1;−6;1) . |
|
|
|
|
|
|
|
nG = (a − 4;1;2) и |
|||||
5. |
При |
каких |
значениях |
параметра |
a |
векторы |
||||||||
G |
= (a + 2;4;2) ортогональны? |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
m |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6. |
При каких значениях параметра α векторы a = (α;1;−1) , b = (1;−3;−5) , |
|||||||||||||
cG = (−1;1;1) образуют базис пространства R3 ? |
|
|
|
|
||||||||||
7. |
При |
каких |
значениях |
параметра |
|
λ |
векторы |
aG |
= (λ;−5;−1) , |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
a2 = (λ;λ;−6) , a3 = (−16;−5;−7) образуют |
ортогональный |
базис про- |
||||||||||||
странства R3 ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aG = (1;−2;3 + m) , |
||||
8. |
При |
каких |
значениях |
параметра |
m векторы |
|||||||||
b = (2;1;−1) , cG = (4;7;5 − m) компланарны? |
|
|
|
|
|
|||||||||
9. |
Найдите значения параметра m , при которых строки заданной мат- |
23
рицы A линейно зависимы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
−3 |
−3 |
− 2 |
|
|
1 −1 |
0 −1 |
|||||
|
−3 10 |
11 |
0 |
|
|
|
−1 |
2 |
−1 |
4 |
|
|
|
|
; |
|
|
||||||||
а) A = |
−1 |
2 |
2 |
−1 |
|
б) A = |
−1 |
3 |
−3 |
8 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
11 |
−35 |
−38 |
m |
|
|
|
− 2 |
−1 |
m 2 |
|
|
|
|
|
|
|
10. Найдите общее решение системы линейных уравнений, заданной в матричной форме:
|
1 −3 3 |
2 |
x |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
||||||
|
−1 4 |
1 −1 |
|
|
1 |
|
|
|
−9 |
|
|
|
||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
а) |
−1 5 |
5 |
0 |
|
|
x |
|
|
= |
−12 |
; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
−3 10 −5 −5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x4 |
|
|
−21 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
3 |
|
|
||||
1 −1 −4 3 |
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 − 2 −11 2 |
|
x2 |
|
= |
|
16 |
|
; |
|||||||||
б) |
|
x |
|
|
|
|||||||||||||
|
−3 5 |
15 − 2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
−17 |
|
|
||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 −1 0 |
2 |
x |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||
|
1 0 2 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
−5 |
|
|
|
||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
в) |
−1 4 |
7 −3 |
|
x |
= |
|
−18 |
. |
|
|
||||||||
|
2 10 27 − 2 |
|
|
3 |
|
|
|
−69 |
|
|
|
|||||||
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. Найдите значения параметра m , при которых следующая система линейных уравнений, заданная в матричной форме, имеет бесконечно много решений; для найденных значений параметра укажите общее ре-
1 |
−1 |
−1 0 x |
|
|
−6 |
||||
|
2 |
−7 |
−15 |
m |
1 |
|
|
−65 |
|
|
x2 |
|
|
|
|||||
шение системы: |
3 |
−6 |
−11 |
−3 x |
|
= |
−52 |
. |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
−1 2 |
4 |
2 |
|
|
|
21 |
|
|
|
x4 |
|
|
|
24
12. При каких значениях параметра a однородная система уравнений
ax |
− 2x |
− 2x − |
2x |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2x1 + ax2 − 2x3 − 2x4 = 0 |
|
имеет ненулевые решения? |
|
||||||||||||||||||||
− 2x |
− |
2x |
|
+ ax |
− 2x |
|
= 0 |
|
|
||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2x |
− |
2x |
− |
2x |
+ ax |
4 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
При |
|
каких |
|
значениях |
параметра a |
система |
уравнений |
|||||||||||||||
(a − 2)x1 +3x2 +3x3 = 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3x +(a − 2)x |
|
+3x |
|
= −2a имеет единственное решение? |
|
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3x1 +3x2 +(a − 2)x3 = 4a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
14. |
|
При |
|
|
каких |
|
|
|
|
значениях |
параметра |
λ |
матрица |
||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
5 −λ2 |
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
является невырожденной? |
|
|
|||||||||||
A = |
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 −λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
15. |
При |
|
|
каких |
|
|
значениях |
параметра |
λ |
ранг |
матрицы |
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
5 −λ2 |
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равен 4? |
|
|
|
|
||||||||
A = |
2 |
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
14 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
16. |
При |
|
|
каких |
|
|
значениях |
параметра |
λ |
ранг |
матрицы |
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 −λ2 |
|
4 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равен 3? |
|
|
|
|
||||||||
A = |
4 |
|
|
6 |
|
|
2 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
4 |
|
|
6 |
|
|
2 |
|
|
19 − |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
17. |
Используя |
|
равенство (U −1AU )n =U −1AnU , |
найдите |
матрицу |
||||||||||||||||||
5 2 −1 x |
|
0 |
5 2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 1 |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25
|
|
1 |
3 |
4 |
|
|
2 |
2 |
|
18. Вычислите степень ортогональной матрицы |
|
. |
||
|
− |
3 |
1 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
19. Вычислите определитель матрицы |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3 |
1 |
−5 |
− 2 |
|
|
|
2 |
0 |
−13 |
4 |
−5 |
|
|
|
|
2 −3 − 20 16 −15 |
|
|
||||||||||
|
|
0 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||
− 2 |
|
|
|
0 |
0 |
2 |
2 |
2 |
|
; |
||||
а) |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
; б) |
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
0 |
− 2 |
3 |
0 |
|
|
||||
|
2 |
− 2 |
− 4 − 2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
0 |
0 |
−3 |
0 |
−3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
13 |
17 |
4 |
−1 |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
14 |
−11 |
−17 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
в) |
− 2 |
3 |
−1 |
|
0 |
|
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
−3 |
2 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
1 |
−3 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20. |
|
|
Найдите |
|
|
определитель |
матрицы |
X , |
если |
||||
− |
5 |
0 |
5 |
3 |
−2 5 |
|
|
|
|||||
|
− |
4 |
1 |
4 |
|
|
4 |
−2 |
−3 |
|
|
|
|
|
X |
= |
. |
|
|
|
|||||||
|
− |
3 |
−1 − 4 |
|
|
−3 4 |
3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
21. |
|
Решите |
|
систему |
уравнений |
по формулам |
Крамера: |
||||||
(1 −3i)x −(2 +i) y = −7 −7i |
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(2 − 4i)x + (3 −3i) y =14 −16i |
|
|
|
|
|
22. |
Методом Лагранжа приведите к нормальному виду квадратичную |
|||||||||||||
форму f (x , x , x )=16x x |
− 40x x |
− 20x x |
+16x 2 |
+3x |
2 +50x 2 . |
|||||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
|
1 |
3 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
23. |
При |
|
каких |
значениях |
|
параметра |
a |
квадратичная форма |
||||||
5x 2 |
+ x 2 |
+ (a − 4)x |
2 + 4x x − 2x x |
− 2x x |
является положительно оп- |
|||||||||
1 |
2 |
|
|
3 |
|
1 |
2 |
1 |
3 |
2 |
3 |
|
|
|
ределенной?
26
24. |
При |
каких |
|
значениях |
|
параметра |
|
a квадратичная форма |
||||||
− 2x |
2 |
+ ax 2 − 2x 2 |
+8x x |
2 |
+16x |
2 |
x является |
отрицательно определен- |
||||||
1 |
|
2 |
3 |
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|||
ной? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25. Найдите собственные значения матрицы: |
|
|
|
|||||||||||
|
|
− 22 |
−12 |
− 24 |
|
|
|
3 |
12 |
12 |
|
|||
|
|
|
12 |
8 |
|
12 |
|
|
|
0 |
9 |
6 |
|
|
|
|
а) |
|
; |
|
б) |
. |
|||||||
|
|
|
16 |
8 |
|
18 |
|
|
|
− 2 −8 −8 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
26. Найдите собственные векторы матрицы C , отвечающие собственному значению λ, если:
|
7 |
−12 6 |
|
|
|
−8 |
0 |
−30 |
|
||||
а) |
|
3 |
−5 |
3 |
|
, λ =3; |
б) |
|
−5 |
2 |
−15 |
|
, λ = 2 . |
C = |
|
C = |
|
||||||||||
|
|
1 |
− 4 |
6 |
|
|
|
|
5 0 |
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27. При каких значениях параметра m матрица |
|
5 |
8 − m |
имеет |
|
A = |
|
|
|
||
|
|
2 |
−3 |
|
|
|
|
|
|
единственное действительное собственное значение? Найти это значение.
28. При каких значениях параметра m матрица |
2 |
− m |
− 4 |
|
имеет: |
A = |
|
|
|
||
|
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
1) имеет два различных действительных собственных значения; 2) единственное действительное собственное значение; 3) не имеет действительных собственных значений?
29. При каких значениях параметра m ≠ 0 матрица |
m − 2 |
−6 |
|
|||||
A = |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
−3 |
− m −9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
имеет нулевое собственное значение? |
|
|
eG |
|
|
|||
30. Найдите координаты вектора в базисе e = (−3;0;0), |
= (0;2;0), |
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
e3 = (0;0;−1), |
если (3;3;10 ) |
– |
его координаты в базисе |
|
f1 = (− 2;0;0), |
|||
f2 = (2;3;−1), |
f3 = (1;0;2). |
|
|
|
|
|
|
|
31. В пространстве строк |
R3 |
действует линейное преобразование |
f |
27
по правилу: f (a,b,c)= (c, a +5b +c, a). Найдите его собственные векто-
ры, если известно, что оно имеет следующие собственные значения:
λ1 =5, λ2 = −1, λ3 =1.
32. Найдите матрицу перехода от базиса |
f1 = (1; 2) , |
f2 = (−3; 1) |
к бази- |
|||||||||||||
су |
gG |
= (2; 1) , gG |
2 |
= (1; −3) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33. |
Линейное преобразование |
f |
пространства R2 |
задано своей мат- |
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
преоб- |
||
рицей A = |
|
|
|
в стандартном базисе. Найдите матрицу A |
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
разования |
f |
в базисе aG |
= (2; 1) , a |
2 |
= (1; |
−3) . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34. |
Квадратичная форма |
f задана на пространстве R2 своей матри- |
||||||||||||||
цей |
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
квадра- |
|
A = |
|
|
|
в стандартном базисе. Найдите матрицу A |
||||||||||||
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
тичной формы |
f |
|
в базисе a1 = (2; 1) , |
a2 = (−1; 3) . |
|
|
||||||||||
35. |
Найдите проекцию точки |
A(2;3) |
на прямую, |
содержащую точки |
||||||||||||
B(4;9) и C(4;−4) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
36. Найдите проекцию точки A(2;4) |
|
напрямую l : 3x + 2 y −1 = 0 . |
||||||||||||||
37. |
Найдите точку |
′ |
|
|
|
|
|
|
A(2;1) |
относительно пря- |
||||||
A , симметричную точке |
||||||||||||||||
мой l : 6x + 2 y −5 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
38. |
Найдите точку |
′ |
|
|
|
|
|
|
A(1;2) |
относительно пря- |
||||||
A , симметричную точке |
||||||||||||||||
мой, содержащей точки |
B(3;6) |
и C(2;−3) . |
|
|
|
|||||||||||
39. |
Даны точки A(a;1) , B(2;3) , |
C(4;−1) . При каком значении параметра |
||||||||||||||
a |
вектор |
G |
(6;−3) является |
вектором |
медианы |
→ |
|
|||||||||
m = |
BB1 треугольника |
|||||||||||||||
ABC ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
40. |
В треугольнике ABC векторы |
|
→ |
|
|
→ |
= (−16;12) . При ка- |
|||||||||
AC = (5;12) , AB |
→
ком значении параметра a вектор AH = (0;−a −3) является вектором
28
высоты треугольника ABC ( H – основание высоты |
AH принадлежит |
|
стороне BC )? |
|
|
→ |
|
→ |
41. В треугольнике ABC векторы BA = (−5;−12) , BC = (9;−24a) . При |
||
→ |
= (3a;−12) |
является вектором |
каком значении параметра a вектор BB1 |
биссектрисы треугольника ABC ( B1 AC )? Проверить, что при най-
→
денном значении параметра a вектор BB1 является вектором биссектрисы треугольника ABC .
42. |
При каких значениях параметра α прямые l |
: |
x − 2 |
= |
y −1 |
|
и |
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
3 |
|
−4 |
|
||
|
|
|
|
|
||||
l2 |
:αx − 4 y −8 −α = 0 пересекаются под прямым углом? |
|
|
|
|
|
|
|
43. |
При каких значениях параметра m прямые l1 : y = 2mx + m +5 |
и |
||||||
l2 |
: 6mx + 2 y −3 = 0 пересекаются под углом 45D ? |
|
|
|
|
|
|
|
44. |
При каких значениях параметра a прямые l1 : x + ay +16 +16a = 0 и |
|||||||
l2 |
: −ax − y +1 − a2 = 0 параллельны, но не совпадают? |
|
|
|
|
|
|
|
45. |
Составьте каноническое уравнение эллипса, для которого эксцен- |
триситет равен 23 , а расстояние между фокусами равно 8 3 .
46. Составьте каноническое уравнение эллипса, для которого эксцен-
триситет равен 35 , а расстояние между фокусами равно 2 5 .
47. Составьте каноническое уравнение гиперболы, для которой эксцен-
триситет равен 758 , а расстояние между фокусами равно 2 58 .
48. Составьте каноническое уравнение гиперболы, для которой рас-
стояние между фокусами равно 8 29 , а асимптоты имеют уравнения y = ±52 x .
29
49. Найдите проекцию точки |
A(3;0;2) |
на плоскость |
π : 3x − 2 y −3z − 4 = 0 .
50.Найдите точку A′, симметричную точке A(−4;0;1) относительно плоскости π : − 4x − y − 2z −1 = 0 .
51.Найдите точку A′, симметричную точке A(−2;1;3) относительно
прямой |
l : |
x + 4 |
= |
y −1 |
= |
z −4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
52. |
|
Найдите канонические уравнения прямой, содержащей медиану |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
AM треугольника |
ABC |
с вершинами |
|
|
A(2;1;−4) , |
B(−4;3;−16) и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
C(8;−5;−24) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
53. |
|
При каких значениях параметра α точка C(−α + 2;−1,4;2,4) |
принад- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
лежит отрезку [ AB] (или является комбинацией точек |
A и |
B ), если |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A(1;−1;2) и B(2;−3;4) ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
54. |
|
|
|
При |
|
|
|
|
каких |
|
|
|
значениях |
|
|
|
|
параметра |
a |
прямые |
|||||||||||||||||||
l |
: |
|
x −1 |
= y −1 = |
z −(a −2)2 |
и l |
|
|
|
: |
|
|
x |
= |
|
y |
= |
|
z |
пересекаются? |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
−a |
−1 |
|
||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
55. |
|
|
|
При |
|
|
|
|
каких |
|
|
|
значениях |
|
|
|
|
параметра |
a |
прямые |
|||||||||||||||||||
l |
: |
|
x −1 |
= |
y −1 |
= |
|
z −(a − |
2)2 |
и l |
|
|
: x = |
|
y |
|
= z |
|
скрещиваются? |
|
|||||||||||||||||||
|
− 2a |
|
−2 |
|
|
|
− 2a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
56. |
|
|
|
При |
|
|
|
|
каких |
|
|
|
значениях |
|
|
|
|
параметра |
a |
прямые |
|||||||||||||||||||
l |
: |
|
x −1 |
= |
y −1 |
= |
|
z −(a − |
2)2 |
и l |
|
|
: |
x |
= |
|
y |
|
= |
z |
параллельны, но не сов- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
3a |
|
3 |
|
|
|
3a |
|
|
|
|
|
−1 |
|
−a |
|
−1 |
||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
падают? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
57. |
|
|
|
При |
|
|
|
|
каких |
|
|
|
значениях |
|
|
|
|
параметра |
a |
прямые |
|||||||||||||||||||
l |
: |
|
x −1 |
= y −1 = |
z −(a − 2)2 |
и l |
2 |
|
: x = |
|
y |
= z |
|
совпадают? |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30