ЛА Задачник

Φ(x1,x2,x3) = 14x12 +36x22 +14x32 +40x1x2 − 22x1x3 − 44x2x3 .

284. Найдите ранг квадратичной формы

Φ(x1,x2,x3,x4) = 49x12 +25x22 +9x32 − 70x1x2 − 42x1x3 +30x2x3 +25x42 .

285. Найдите ранг квадратичной формы

Φ(x1,x2,x3,x4) = 52x12 +2x22 +45x32 + x42 − 20x1x2 − 48x1x3 +6x2x3 .

286. Найдите ранг квадратичной формы

Φ(x1,x2,x3,x4) = 9x12 +6x22 +9x32 − 14x1x2 +8x1x3 + x42 − 4x2x3 .

Преобразование квадратичной формы при замене координат

вкоординатах y1, y2, связанных с базисом f1, f2 .

290.Известно, что в пространстве 2 матрица перехода от базиса f1, f2 к базису e1, e2

f1 = 2e1 − 5e2,

Дана квадратичная форма, имеющая в связанных с базисом f1, f2

f1 = − 23e1 +7e2,

Дана квадратичная форма, имеющая в связанных с базисом e1, e2

f2 = 10e1 − 3e2 .

координатах x1, x2 вид Φ(x1,x2) = 3x12 +4x1x2 +3x22 . Найдите матрицу этой квадратичной

формы в координатах y1, y2, связанных с базисом f1, f2 .

Метод Лагранжа

293. Методом Лагранжа приведите квадратичную форму

Φ(x1,x2) = − 25x12 +10x1x2 +8x22 к нормальному виду и укажите пример соответствующего преобразования координат.

294. Методом Лагранжа приведите квадратичную форму

Φ(x1,x2,x3) = x12 − 4x1x2 − 12x22 +40x2x3 − 34x32 к нормальному виду и укажите пример соответствующего преобразования координат.

295. Методом Лагранжа приведите квадратичную форму

Φ(x1,x2,x3) = − 25x12 − 40x1x2 − 40x1x3 − 17x22 − 38x2x3 − 21x32 к нормальному виду и укажите пример соответствующего преобразования координат.

296. Методом Лагранжа приведите квадратичную форму

Φ(x1,x2,x3) = 36x1x2 − 6x1x3 − 54x2x3 к нормальному виду и укажите пример соответствующего преобразования координат.

297. Методом Лагранжа приведите квадратичную форму

Φ(x1,x2,x3) = 25x12 − 30x1x2 − 10x1x3 +8x22 +4x2x3 +0x32 к нормальному виду и укажите пример соответствующего преобразования координат.

Знакоопределённые квадратичные формы

298. C помощью критерия Сильвестра выясните, является ли квадратичная форма

Φ(x1,x2) = x12 − 2x1x2 +5x22 положительно определённой, отрицательно определённой или не знакоопределённой.

299. C помощью критерия Сильвестра выясните, является ли квадратичная форма

Φ(x1,x2,x3) = − 16x12 +32x1x2 +24x1x3 − 25x22 − 36x2x3 − 22x32 положительно определённой, отрицательно определённой или не знакоопределённой.

300. C помощью критерия Сильвестра выясните, является ли квадратичная форма Φ(x1,x2,x3) = 4x1x2 − 2x1x3 − 2x22 − 4x2x3 − x32 положительно определённой, отрицательно определённой или не знакоопределённой.

301. C помощью критерия Сильвестра выясните, является ли квадратичная форма

Φ(x1,x2,x3,x4) = − 5x12 − 2x1x2 − 2x1x4 − 7x22 − 8x2x3 − 5x32 − 2x3x4 − x42 положительно определённой, отрицательно определённой или не знакоопределённой.

Канонический вид квадратичной формы

302. Найдите канонический вид квадратичной формы

Φ(x1,x2) = − 34x12 − 41x22 − 24x1x2, к которому её можно привести с помощью подходящего ортогонального преобразования координат.

303. Найдите канонический вид квадратичной формы

Φ(x1,x2,x3) = 41x12 +28x22 +28x32 +20x1x2 +20x1x3 +60x2x3, к которому её можно привести с помощью подходящего ортогонального преобразования координат.

304.Приведите квадратичную форму Φ(x1, x2) = 11x12 +14x22 +4x1x2 к каноническому виду и укажите соответствующее ортогональное преобразование координат.

305.Приведите квадратичную форму

Φ(x1,x2,x3) = x12 + x22 +5x32 − 6x1x2 +2x1x3 − 2x2x3 к каноническому виду и укажите соответствующее ортогональное преобразование координат.

Аналитическая геометрия (размерность 2)

Уравнение прямой

306. Напишите общее уравнение прямой x +2 = y +4. 7 5

307.Напишите общее уравнение прямой, проходящей через точки A(5;4) и B(4;3).

308.Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точки A(5;3) и

B(− 2;2).

309.Принадлежат ли одной прямой точки A(4;4), B(5; − 4), C( − 4; − 4)? Если да, то укажите общее или каноническое уравнение этой прямой.

Прямая, перпендикулярная другой прямой

310. Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку A(6;6) и

перпендикулярной прямой x − 1 = y− 6.

7−5

311.Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку A(9; − 13) и

перпендикулярной прямой 3x − 7y − 5 = 0.

312.Напишите общее уравнение прямой, проходящей через точку A(5; − 2) и

313.Напишите общее уравнение прямой, проходящей через точку A( − 6; − 3) и

перпендикулярной прямой 3x − 8y +2 = 0.

314.Напишите общее уравнение прямой, проходящей через точку A(7;8) и

перпендикулярной прямой, проходящей через точки B(9; − 1) и C(8;5).

315.Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку A(7; − 7) и

перпендикулярной прямой, проходящей через точки B(− 8; − 5) и C(− 4; − 13).

Прямая, параллельная другой прямой

316.Напишите общее уравнение прямой, проходящей через точку A(9; − 2) и

параллельной прямой 4x +3y− 5 = 0.

317.Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку A( − 5;10) и

параллельной прямой x +1 = y − 1 .

21

318.Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку A(3;9) и

параллельной прямой x − 4 = y − 8 . −4 0

319.Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку A(6; − 4) и

параллельной прямой 4x − 3y− 5 = 0.

320.Напишите общее уравнение прямой, проходящей через точку A(6; − 7) и

321.Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку A(7; − 7) и

параллельной прямой, проходящей через точки B(3;5) и C(4;9).

322.Напишите общее уравнение прямой, проходящей через точку A(8;4) и

параллельной прямой, проходящей через точки B(− 6;6) и C(− 11; − 1).

Точка пересечения прямых

326.Найдите точку пересечения прямой 5x + y− 17 = 0 и прямой, проходящей через точки A(7; − 4) и B(11; − 10).

327.Найдите точку пересечения прямой x +8 = y − 4 и прямой, проходящей через

3 −4

точки A(− 3;0) и B(− 1; − 8).

328.Найдите точку пересечения прямых AB и CD, где A( − 4; − 7), B(3;14), C(− 7;11)

иD(3; − 4).

329.Найдите точку пересечения прямой 8x +6y − 28 = 0 и прямой, проходящей через точки A(10;8) и B(22; − 8).

330.Найдите точку пересечения прямой 12x − 6y +6 = 0 и прямой, проходящей через точки A(5;11) и B(− 1; − 1).

Взаимное расположение прямых

331. Выясните, данные прямые x − 3 = y +4 и 8x +2y+5 = 0 совпадающие,

3 −5

параллельные или пересекающиеся.

332. Выясните, данные прямые x − 8 = y − 6 и 9x +3y− 86 = 0 совпадающие,

−2 6

параллельные или пересекающиеся.

333. Выясните, данные прямые −3x +9y− 18 = 0 и x − 3y+6 = 0 совпадающие, параллельные или пересекающиеся.

Задачи на расстояния, проекции, симметричные точки

336.Найдите проекцию точки A(11;7) на прямую 3x + y − 10 = 0.

337.Найдите проекцию точки A( − 16; − 6) на прямую x − 13 = y+9.

3 −5

341.Найдите расстояние между параллельными прямыми −3x +9y − 12 = 0 и

x− 7 = y +13 .

62

342.Найдите расстояние между параллельными прямыми 6x +2y+32 = 0 и 15x +5y+30 = 0.

Углы между прямыми

343.Найдите угол между прямыми 4x +7y− 2 = 0 и 4x − y − 1 = 0.

344.Найдите угол между прямыми x − 3 = y − 1 и x +9y +3 = 0.

346. Найдите угол при вершине A в треугольнике с вершинами A(− 2; − 1), C(1; − 1),

B(1; − 4).

Площади

347.Найдите площадь параллелограмма ABCD, если A(2; − 8), B(3; − 4), D(7; − 5).

348.Найдите площадь треугольника с вершинами в точках A(− 5; − 8), B(1;1),

C(8; − 5).

Аналитическая геометрия

Уравнение прямой

349.Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точки

A(− 2;1; − 2; − 1;3) и B(4; − 1; − 1; − 4; − 3).

350.Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку

A(2;8;1;9; − 8) и параллельной прямой x1 = x2 = x3 = x4 − 9 = x5 +5. −3 7 1 −3 −1

351. Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку A(6;4; − 3; − 3) и параллельной прямой, проходящей через точки B(5;8;1;1) и

C(3;14;10; − 3).

Точка пересечения прямых

353. Найдите точку пересечения прямой x1 + 7 = x2 − 4 = x3 − 8 и прямой, проходящей

−3 4 3

через точки A(− 3; − 6;4) и B(− 2; − 5;3).

354.Найдите точку пересечения прямых AB и CD, где A(0;3;9), B(9;9;24), C(0;4;1) и

D(1;5;0).

355.Найдите точку пересечения прямой x − 4 = y − 11 = z − 4 и прямой, проходящей

совпадающие, параллельные, пересекающиеся или скрещивающиеся.

A(31; − 11; − 6) и B(51; − 21; − 11), совпадающие, параллельные, пересекающиеся или скрещивающиеся.

Задачи на расстояния, проекции, симметричные точки, перпендикуляры

362. Найдите расстояние между точкой A(5;2;5) и осью координат Ox.

364.Найдите проекцию точки A(15;13; − 3) на прямую x−+72 = y −1 2 = z−+92 .

365.Найдите точку, симметричную точке A(0; − 10; − 5;3) относительно прямой

366. Нaпишите кaноническое урaвнение прямой, проходящей через точку A(1;7; − 18) и

пересекaющей прямую x − 16 = y − 39 = z − 11 под прямым углом.

5 8 1

367.Нaпишите кaноническое урaвнение прямой, проходящей через точку A( − 39;0;32)

ипересекaющей прямую, проходящую через точки B( − 2;1; − 7) и C(− 12; − 29; − 12), под прямым углом.

Уравнение плоскости

368.Напишите каноническое уравнение прямой, перпендикулярной плоскости

x+4y − 6z +4 = 0 и проходящей через точку A(6; − 3; − 2).

369.Напишите каноническое уравнение прямой, перпендикулярной координатной плоскости Oxz и проходящей через точку A( − 6; − 8; − 7).

370.Напишите общее уравнение плоскости, проходящей через точку A(6;6;1) и

371.Напишите общее уравнение плоскости, перпендикулярной координатной оси Oy и проходящей через точку A(9;4;2).

372.Напишите общее уравнение плоскости, проходящей через точки A(4;0;0), B(0;0;1)

иC(0;6;0).

373.Напишите общее уравнение плоскости, проходящей через точки A(− 3; − 1; − 9),

B(− 4;5;9), C(7; − 1;1).

379.Найдите общее уравнение плоскости, проходящей через точку A(− 1;0;3) и перпендикулярную плоскостям 3x +3y − z +5 = 0 и 5x +4y − 7z − 1 = 0.

380.Найдите общее уравнение плоскости, содержащей точку A(− 7;8; − 1) и прямую

x+4 = y − 5 = z − 1 .

9 −3 5

381.Найдите общее уравнение плоскости, содержащей точку A(− 7; − 6; − 8) и

координатную ось Oy.

382.Напишите общее уравнение плоскости, проходящей через две пересекающиеся

383.Найдите общее уравнение плоскости, содержащей параллельные прямые

x− 8 = y +4 = z − 7, x +3 = y − 6 = z +5 .

3 −6 9 9 −18 27

384. Принадлежат ли одной плоскости точки A(− 2;3;1), B(4; − 3;3),

C(− 4; − 2; − 2), D(− 4;1; − 1)? Если да, то укажите общее уравнение этой плоскости.

Углы между прямыми и плоскостями

385. Найдите угол между прямыми x1 − 1 = x2 − 5 = x3 − 9 = x4 +1 и 6 0 5 5

x1 +2 = x2 − 5 = x3 − 1 = x4 +1. 0 4 2 −1

386. Найдите угол между плоскостями 3x +5y− 4z +2 = 0 и 2x +4y − 4z − 8 = 0.

Отрезки и лучи

388.Найдите расстояние между точками A(− 2;2; − 4) и B(− 11; − 13; − 7).

389.Найдите длину отрезка с концами в точках A( − 13;0; − 14; − 2) и

B(2; − 6; − 2; − 5).

390.Определите, принадлежит ли точка Q(0;8;0) отрезку с концами в точках A(3;4;4) и

B(− 6;16; − 8).

391.Определите, принадлежит ли точка Q(14; − 9; − 10;1) отрезку с концами в точках

A(4; − 1; − 4; − 1) и B(19; − 13; − 13;2).

392.Определите, принадлежит ли точка Q(− 11; − 22;11) отрезку с концами в точках

A(4; − 2; − 4) и B(− 5; − 14;5).

393.Определите, принадлежит ли точка Q(− 19;6;8;19) отрезку с концами в точках

A(− 4;3; − 1;4) и B(21; − 2; − 16; − 21).

394.Определите, пересекаются ли отрезки AB и CD, если A(− 9;3; − 12; − 3),

B(7; − 13;12; − 3), C(− 19; − 13; − 17; − 11), D(5;2;4;1)?

395.Определите, пересекаются ли отрезки AB и CD, если A(1;2;4; − 1),

B(− 11; − 14; − 20; − 5), C(− 2; − 3;8; − 1), D(5; − 10; − 20;6)?

396.Определите, принадлежит ли точка Q(2;0;2) лучу AB с началом в точке A, если

A(− 1; − 2;1) и B(8;4;4).

397.Определите, принадлежит ли точка Q(1;6;3; − 10) лучу AB с началом в точке A,

если A(5;5; − 2; − 5) и B(− 7;8;13; − 20).

398.Определите, принадлежит ли точка Q(4;1;0) лучу AB с началом в точке A, если

A(5;4;3) и B(9;16;15).

399. Определите, принадлежит ли точка Q( − 3; − 7;23; − 21) лучу AB с началом в точке

A, если A(5; − 3;3; − 1) и B(7; − 2; − 2;4).

Расстояние между точкой и плоскостью, проекция точки на плоскость и т.д.

400.Найдите расстояние между точкой A( − 7; − 3;2) и плоскостью

5x +2y+2z − 5 = 0.

401.Найдите расстояние между точкой A( − 1,5,5,2) и гиперплоскостью

−3x − 4y +8z +4t − 6 = 0.

402.Найдите проекцию точки A( − 3; − 7; − 1) на плоскость −2x − y+ z +6 = 0.

403.Найдите проекцию точки A(0;17;17;8;14) на гиперплоскость

−x +3y +4z +3t +4r +5 = 0.

404.Найдите точку, симметричную точке A( − 6; − 2;5) относительно плоскости

−4x − 3y +4z +32 = 0.

405.Найдите точку, симметричную точке A( − 10;6;7; − 7) относительно гиперплоскости −4x +3y+5z − 2t +1 = 0.

Расстояние между прямыми и плоскостями

−6x +3y +2z +39 = 0.

Объемы

413.Найдите объём параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если A( − 4;4;3), A1(3;5;3),

B(2; − 4;0), D(− 1; − 4;2).

414.Найдите объём пирамиды с вершинами в точках A(4; − 3;4), B(2; − 3; − 4),

C(4;0;2), B( − 1;3;2).

Пересечение плоскостей

415.Даны две плоскости 7x − 5y +6z +30 = 0 и 5x +2y+7z +24 = 0. Найдите каноническое уравнение их прямой пересечения.

416.Даны две плоскости 20x − 15y − 20z +75 = 0 и 12x − 9y − 12z +50 = 0. Найдите каноническое уравнение их прямой пересечения.

417.Даны две плоскости 15x − 20y − 25z +85 = 0 и −6x +8y +10z − 34 = 0. Найдите каноническое уравнение их прямой пересечения.

418.Плоскости 2x − 3y + z − 9 = 0 и 2x − 6y− z − 21 = 0 пересекаются по прямой l, а плоскости 7x − 3y +2z − 21 = 0 и −2x +2y − 4z − 2 = 0 — по прямой m. Выясните,

пересекаются ли прямые l и m.

419.Плоскости −6x +6y +3z − 27 = 0 и −6x +3y+4z − 27 = 0 пересекаются по прямой l, а плоскости 36x − 33y − 19z +162 = 0 и −48x +39y +27z − 216 = 0 — по прямой m. Выясните, пересекаются ли прямые l и m.

420.Плоскости 7x − 2y − 6z − 4 = 0 и 5x +4y+4z +7 = 0 пересекаются по прямой l, а плоскости −6x +5y− 6z − 6 = 0 и −20x − 15y +34z +15 = 0 — по прямой m. Выясните,

пересекаются ли прямые l и m.

421. Плоскости −3x + y − 10 = 0 и −x − 3y − z +3 = 0 пересекаются по прямой l, а

плоскости x − 3y− z +9 = 0 и x − 3y + z +3 = 0 — по прямой m. Найдите угол между прямыми l и m.

Выпуклые множества

Построение выпуклой оболочки системы точек

422.Перечислите по порядку все угловые точки выпуклой оболочки набора точек

A(7,2), B(9,5), C(5,1), D(8,1) и E(10,4).

423.Изобразите на чертеже выпуклую оболочку набора точек A(0,8), B(4,6), C(5,6), D(5,5), E(3,11). Отметьте на чертеже её угловые точки и подпишите их координаты.

424.Изобразите на чертеже выпуклую оболочку набора точек A(4,6), B(9,4), C(10,4), D(8,2), E(5,3), F(8,0), G(4,2). Отметьте на чертеже её угловые точки и подпишите их координаты.

Задание выпуклого множества с помощью системы неравенств

425. Изобразите на чертеже выпуклую оболочку набора точек A(1,7), B(− 1,9),

C(− 3,10), D(4,9), E( − 6,1), F(0,8), G(− 2,7). Отметьте на чертеже её угловые точки и подпишите их координаты. Найдите задающую выпуклую оболочку систему неравенств.

426. Изобразите на чертеже выпуклую оболочку набора точек A( − 4,2), B(0, − 2),

C(− 5,1), D( − 4,4), E(− 7,3), F( − 4, − 2), G( − 6, − 4). Отметьте на чертеже её угловые точки и подпишите их координаты. Найдите задающую выпуклую оболочку систему неравенств.