Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Финансовый университет при Правительстве РФ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ЛА Задачник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.03.2015

Размер:

940.04 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Стр. 21 из 62

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2014/2015 уч. год

z = 3 + 2i.

192. Пусть z1 = 3 − 2i, z2 = 1+ i. Вычислите z1 + z2 . z2 z1

193. Пусть z1 = 7+9i, z2 = − 6+7i. Вычислите z1 − z2 . z1 + z2

Модуль и аргумент комплексного числа

194. Вычислите модуль и аргумент числа z = 4+4i.

195.	Пусть u = cos π + isinπ ,			v = 3 cos π + isinπ . Найдите модуль и аргумент
		7	7		6	6
u8
z = v3 .
‾
196.	Пусть u = 4 cos π + isinπ , v = 2 cos π + isinπ						. Найдите модуль и аргумент
		4	4		3	3

z= u3 ‾v7

197.Приведите число z = 2√3 − 2i к тригонометрическому виду.

198. Приведите число z = 4 cos	5π	5π
198. Приведите число z = 4 cos	6 + isin	6 к алгебраическому виду.

Уравнения

199.Решите уравнение z4 = − 16 над полем комплексных чисел.

200.Решите уравнение x2 +10x +34 = 0 над полем комплексных чисел.

201.Решите уравнение (2 − 3i)z2 +(− 14 − 5i)z +5+25i = 0.

202.Составьте квадратное уравнение с действительными коэффициентами, одним из корней которого является число z = 5+6i.

203.Найдите все корни уравнения z4 +3z3 − 18z2 − 50z − 300 = 0, если известно, что z1 = − 1+3i один из его корней.

Системы линейных уравнений с комплексными коэффициентами

204. Решите систему уравнений с помощью формул Крамера

(2+ i)z1 − (3+3i)z2 = − 39− 19i,

−(1− i)z1 +(2− i)z2 = 17− 17i.

205.Решите систему уравнений с помощью формул Крамера

−(5+ i)z1 +(2+ i)z2 = 18+23i,

−(5 − 2i)z1 +(2+ i)z2 = 24+14i.

Линейные операторы

Матрица линейного оператора. Значение оператора на векторе

206. Составьте матрицу линейного оператора f, если известно, что

Стр. 22 из 62

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2014/2015 уч. год

x1		5x1 − 2x2
f	=	.
x2		8x1 +3x2
207. Составьте матрицу линейного оператора f, если известно, что
x1		8x1 + x2 − x3
f x2 = 7x1 − 5x2 − 2x3 .
x3 7x1 − 3x2 +6x3

208. Составьте матрицу линейного оператора f, если известно, что f(e1) = − e1 + e2, f(e2) = 9e1 − 4e2 .

209. Найдите значение линейного оператора f на векторе v = − 6e1 +5e2, если матрица

2	−3
этого оператора в базисе e1, e2 имеет вид: A =	.
1	−8

210. На векторе v значение линейного оператора f равно f(v) = 0e1 − 8e2 . Известно, что

					4		−2
матрица этого оператора в базисе e1, e2 имеет вид A =							. Найдите координаты
				−6			−1
вектора v в базисе e1, e2 .
								2
211. Найдите значение линейного оператора f на векторе v = −1 , если матрица
3		2	−2				5
этого оператора имеет вид: A = −3	−4		1 .
1 6 1 −7						36		−2		11
212. Для линейного оператора f известно, что f				=			и f		=	.
				−6		59		−1		14
Найдите значение этого линейного оператора на векторе u =							1
Найдите значение этого линейного оператора на векторе u =								.
							−3
213. Для линейного оператора f известно, что f				−6		−10		и f	−7	3
213. Для линейного оператора f известно, что f				=				и f		=	.
Найдите матрицу этого оператора.				4		14			1	31
Найдите матрицу этого оператора.
Пересчёт координат вектора при замене базиса

214. Найдите матрицу перехода Pfe от базиса f1				= (− 1,3),			f2 = (2, − 5) к базису
e1 = ( − 6,16), e2 = (− 1,2).
215. Известно, что в пространстве	3
215. Известно, что в пространстве		два базиса e , e , e и f , f , f связаны
				1	2	3	1	2	3

соотношениями:

Стр. 23 из 62

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2014/2015 уч. год

f1 = e1 − 2e2 − 7e3,

f2 = 3e1 − e2 +3e3,

f3 = − 5e1 +3e2 − e3 .

Найдите матрицу Pef перехода от базиса e1, e2, e3 к базису f1, f2, f3 .

216. Известно, что матрица перехода от базиса e1, e2, e3 к базису f1, f2, f3 в

				3		1	3
пространстве 3 имеет вид Pef = −3						3	4 . Выпишите выражения для векторов
				3		2	4
				1, 2, 3
1,	2,	3		1, 2, 3
базиса f	f	f	через вектора базиса e			e	e .
217. Известно, что в пространстве					3
217. Известно, что в пространстве						два базиса e , e , e и				f	, f	, f связаны
соотношениями:							1	2	3	1	2	3
соотношениями:

				f = 8e − 6e − 3e ,
			f =1			− 161e1 +112 e2 +63 e3,
				2 f3 = − 3e1 + e2 + e3 .

Найдите матрицу Pfe перехода от базиса f1, f2, f3 к базису e1, e2, e3 .

218. Известно, что матрица перехода от базиса e1, e2, e3 к базису f1, f2, f3 в

						−10							8		−3
пространстве 3 имеет вид Pef						= 21							−18		7 . Выпишите выражения для векторов
							9						−8		3
базиса e1, e2, e3 через вектора						базиса		f f f
базиса e1, e2, e3 через вектора									1		,		2,	3	.
	219. Известно, что в пространстве								2
	219. Известно, что в пространстве										два базиса e , e и								f , f	связаны соотношениями:
																1	2		1	2

	e = − 31f			+36f ,
	1		1	2																			и y	—
				Пусть x и x — координаты вектора в базисе e и e , а y																			и y	—
					1	2														1	2	1	2
	e = − 6f			+7f .
		2	1	2
																					через x1 и x2 .
координаты этого вектора в базисе f1								и			f2		. Выразите координаты y1 и y2								через x1 и x2 .
	220. Пусть x1 и x2 — координаты вектора в базисе e1 и e2 пространства 2, а y1 и y2 —

координаты этого вектора в базисе f1								и			f2		. Найдите выражения векторов базиса f1,											f2
через базис e1, e2, если известно, что								x							27y − 5y ,
через базис e1, e2, если известно, что											1		=			1		2	.
										x					−11y +2y .
											2					1		2
	221. Известно, что в пространстве								2
	221. Известно, что в пространстве										матрица перехода от базиса e , e к базису f														, f
																				1	2			1	2
				−15	−11							и x		— координаты вектора в базисе e и e , а y
имеет вид: Pef =					. Пусть x							и x		— координаты вектора в базисе e и e , а y
				4	3					1			2									1	2		1
				4	3
																						и x2	через y1 и
и y2 — координаты этого вектора в базисе f1														и	f2 .	Выразите координаты x1						и x2	через y1 и
y2 .

Стр. 24 из 62

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2014/2015 уч. год

222. Пусть x			и x	— координаты вектора в базисе e и e пространства 2																			, а y		и y	—
		1	2												1			2						1	2

координаты этого вектора в базисе f1 и										f2 .		Найдите матрицу перехода от базиса												f1	, f2	к
						y					−16x1 +21x2					,
базису e1, e2, если известно, что							1	=			−16x1 +21x2					,	.
базису e1, e2, если известно, что							y	=				−3x +4x .					.
							y					−3x +4x .
							2						1		2
223. Известно, что в пространстве									2
223. Известно, что в пространстве										два базиса e , e и									f , f связаны соотношениями:
															1		2		1	2

f1	= 4e1 − 15e2,				и x	— координаты вектора в базисе e и e , а y																	и y		—
			Пусть x		и x	— координаты вектора в базисе e и e , а y																	и y		—
				1	2															1	2	1		2
f	= 21e − 79e .
2		1	2
																					и y2	через x1 и x2 .
координаты этого вектора в базисе f1 и										f2 .		Выразите координаты y1									и y2	через x1 и x2 .
224. Пусть x			и x	— координаты вектора в базисе e и e пространстве 2																			, а y		и y	—
		1	2												1			2						1	2

координаты этого вектора в базисе f1 и										f2 .		Найдите выражения векторов базиса												f1, f2
								y					38x1 +17x2,
через базис e1, e2, если известно, что										1		=	38x1 +17x2,						.
через базис e1, e2, если известно, что									y			=	9x +4x .						.
									y				9x +4x .
										2					1		2
225. Известно, что в пространстве									2
225. Известно, что в пространстве										матрица перехода от базиса e , e к базису f , f																	2
																					1	2			1		2
			3	10					и x			— координаты вектора в базисе e и e , а y															и
имеет вид: Pef =				. Пусть x					и x			— координаты вектора в базисе e и e , а y															и
			−2 −7					1			2												1	2	1
			−2 −7

y2 — координаты этого вектора в базисе f1												и f2 .		Выразите координаты y1 и y2 через x1 и
x2 .
226. Пусть x			и x	— координаты вектора в базисе e и e пространства 2																			, а y		и y	—
		1	2												1			2						1	2

координаты этого вектора в базисе f1 и										f2 .		Найдите матрицу перехода от базиса												f1	, f2	к
базису e1, e2, если известно, что						x				−129y					+22y ,
базису e1, e2, если известно, что							1	=					1			2		.
							x2					−41y +7y .
													1		2
227. Известно, что в пространстве									3
227. Известно, что в пространстве										два базиса e1, e2, e3 и										f1, f2	, f3	связаны

соотношениями:

e1 = 3f1 − 3f2 − f3,

e2 = 4f1 +9f2 − 6f3,

e3 = f1 − 5f2 +5f3,

−6

вектор x имеет в базисе e1, e2, e3 координаты xe = −4 . Найдите координаты этого

вектора в базисе f1, f2, f3 .

228. Mатрица перехода от базиса f1, f2, f3 к базису e1, e2, e3 имеет вид

Pfe =	−6	−6	3
Pfe =	3	2	−6 ,
	−4	−5	−3

Стр. 25 из 62

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2014/2015 уч. год

Известно, что x = − 7e1 − 2e2 +3e3 . Найдите выражение этого вектора через базис f1, f2,f3 .

229. Известно, что в пространстве	3
229. Известно, что в пространстве		два базиса e , e , e и			f	, f	, f	связаны
		1	2	3	1	2	3

соотношениями:

f1 = 7e1 +5e2 − 4e3,

f2 = 6e1 +4e2 − 4e3,

f3 = − 6e1 − 4e2 +3e3,

−56

вектор x имеет в базисе e1, e2, e3 координаты xe = −36 . Найдите координаты этого

вектора в базисе f1, f2, f3 .


230. Mатрица перехода от базиса e , e , e к базису f						, f		, f	3	имеет вид
1	2	3		1			2		3
		7	15	−6	,
Pef = 2			2	2	,
	−3		−6	2

Известно, что x = − 11e1 − 6e2 +5e3 . Найдите выражение этого вектора через базис f1,f2, f3 .

Пересчёт матрицы линейного оператора при замене базиса

231. Известно, что в пространстве	2
231. Известно, что в пространстве		два базиса e , e и		f , f	2	связаны соотношениями:
		1	2	1	2

f1 = e1 +3e2,

линейный оператор g имеет в базисе e1, e2 матрицу

f2 = − 3e1 +2e2,


Ae =	−44 −11
Ae =		33	−22			. Найдите матрицу этого оператора в базисе f1,					f2 .
		33	−22
232. Известно, что в пространстве							2	два базиса
232. Известно, что в пространстве								два базиса	e1, e2 и f1, f2 связаны соотношениями:

f = − e − 2e ,													−7 10
1			1	2								=	−7 10		.
						линейный оператор g имеет в базисе f1, f2 матрицу Af						=	−5	7	.
													−5	7
f = 2e +3e ,
2		1	2
Найдите матрицу этого оператора в базисе e1, e2 .

233. Известно, что матрица перехода от базиса e , e к базису f											, f имеет вид
								1	2	1	2
1			3									48		48
Pef =			, линейный оператор g имеет в базисе e1, e2 матрицу Ae =									−32		.
4			−4									−32		32

Найдите матрицу этого оператора в базисе f1, f2 .

234. Известно, что матрица перехода от базиса e1, e2 к базису f1											, f2 имеет вид
		−2 −1
Pef =		−2 −1			, линейный оператор g имеет в базисе							=	−66 51			.
Pef =		4	−4		, линейный оператор g имеет в базисе					f1, f2 матрицу Af		=		18		.
		4	−4									−60		18

Стр. 26 из 62

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2014/2015 уч. год

Найдите матрицу этого оператора в базисе e1, e2 .

Сопряженные и самосопряженные операторы

235. Матрица линейного оператора f в некотором ортонормированном базисе имеет вид:

A =	−5	9	7
A =	11	−2	−10 . Является ли этот оператор самосопряженным?
	7	−10	4

236. Матрица линейного оператора f в некотором ортонормированном базисе имеет вид:

	−9	2	−1
A = 2		2		7 . Является ли этот оператор самосопряженным?
237.	−1	7	−9
237.	У линейного оператора f в некотором ортонормированном базисе матрица имеет
	−5		6	5		−5	−9	7
вид: −9		−5		1	, а у оператора g — матрица: 6		−5	−3 . Являются ли эти
	7	−3		2		5	1	2

операторы сопряженными?

238. У линейного оператора f в некотором ортонормированном базисе матрица имеет

	−9	5	1	, а у оператора g — матрица:	−9	−3	−5
вид: −5		−6	1	, а у оператора g — матрица:	5	−6	−8 . Являются ли эти
	−5	−8	−6		1	1	−6

операторы сопряженными?

239. Матрица линейного оператора f в некотором ортонормированном базисе имеет вид:

−6

A = 4

−6

−1 . Найдите матрицу оператора f * , сопряженного для f .

−3

−6

240. Известно, что в некотором ортонормированном базисе

5x1 − 4x2 − 3x3

, где f * — оператор, сопряжённый к оператору f .

f * x2

= −5x1 +7x2 +5x3

−5x1 + x2 − 5x3

Найдите матрицу оператора f

241. Известно, что в некотором ортонормированном базисе

−5x1 − 3x2 − 5x3

f x2

= −x1 +5x2 + x3

. Найдите f * 5 , где f * — оператор, сопряжённый к

7x1 +6x2 +7x3

оператору f

Ортогональные операторы и матрицы

242. Является ли матрица √26

√26 ортогональной?

−5

√26

Стр. 27 из 62

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2014/2015 уч. год

−3

−1

243.

Является ли матрица

√11

ортогональной?

−1

√11

244.

1 x1 − 4x2

Известно, что в некотором ортонормированном базисе f

√17 −4x1 − x2

Является ли оператор f ортогональным?

245.

Известно, что в некотором ортонормированном базисе f

1 4x1 − x2

√19 −x1 − 4x2

Является ли оператор f ортогональным?

−5x1 +4x2

246.

Является ли замена координат

ортогональной?

√41

+5x

x1 +3x2

247.

Является ли замена координат

ортогональной?

√9

− x

−

√33

248.

Является ли матрица √477

−√577

√677

ортогональной?

√21

−√21

−

3√2

√2

249.

Является ли матрица −√334

−√334

√434

ортогональной?

−√646

√646

−√646

Собственные вектора и собственные значения

Размерность два

250.	0	−3
250.	Найдите собственные значения матрицы A =		.
	−3	0
251.	−2	−1
251.	Найдите собственные значения матрицы A =		.
	9	8
252.	−5	−4
252.	Найдите собственные значения матрицы A =		.
	1	−1
253.			−4	8
253.	Найдите собственные значения матрицы A−2, если A =			.
			2	2
254.	−4	7
254.	Найдите собственные значения матрицы A =		.
	−7	−4

Стр. 28 из 62

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2014/2015 уч. год

255.							6	−4
255.	Найдите собственные вектора матрицы A =							, если даны её собственные
							8	−6
значения λ1 = 2 и λ2 = − 2.
256.												−11	−15
256.	Найдите собственные значения и собственные вектора матрицы A =												.
												6	8
257.	Найдите собственные значения и собственные вектора матрицы A7, если
	6	2
A =		.
−4		0
258.	Найдите собственные значения и собственные вектора матрицы A−3, если
−2		6
A =		.
−4		8
259.	Найдите собственные значения и собственные вектора матрицы P(A), если
					0	2
P(x) = 4x3 − 3x2 +3x − 2 и A =						.
				−4		6
Размерность три
							2	0	0		.
260.	Найдите собственные значения матрицы −5							−5	−9		.
							4	0	−2

							−13	−4	0	.
261.	Найдите собственные значения матрицы 24							7	0	.
							−6	2	5
												.
							−21	−4	28
262.	Найдите собственные значения матрицы 8							−1	−12
							−10	−2	13

							−4	−6	−4
263.	Найдите собственные вектора матрицы 21							11	17		, если известны её
							−14	−2	−10
собственные значения: λ			1		2	3
собственные значения: λ				= − 4, λ		= − 2, λ	= 3.
							−13	16	−4		, если известны её
264.	Найдите собственные вектора матрицы −4							3	−2		, если известны её
							4	−8	−3
собственные значения: λ1 = − 5, λ2 = − 3.

Стр. 29 из 62

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2014/2015 уч. год

			2	−1	−1
265.	Найдите собственные вектора матрицы 8			−6	−24		, если известны её
			−4	4	14
собственные значения: λ1 = 4, λ2 = 2.
			−5	15	3
266.	Найдите собственные вектора матрицы −6			8	−4		, если известнo одно её
			6	−10	2
собственнoе значениe: λ1 = 4.
			−7	24	−6
267.	Найдите собственные вектора матрицы −6			17	−3	, если известнo одно её
			−6	12	2
собственнoе значениe: λ1 = 2.
			−7	7	−13
268.	Найдите собственные вектора матрицы 18			−6	20	, если известнo одно её
			18	−11	25
собственнoе значениe: λ1 = 2.
269.	Найдите собственные значения и собственные вектора матрицы
−13	11	−15
0	1	0 .

10 −7 12

270. Найдите собственные значения и собственные вектора матрицы

−17 −16 −22

1 1 3 .

13 12 16

271.В стандартном базисе пространства 3 действие линейного оператора задаётся

13	−28	−4
матрицей 6	−13	−2 . Найдите собственные значения и собственные вектора этого

9−17 −4

оператора в стандартном базисе.

	1	12	−6	.
272.	Найдите собственные значения и собственные вектора матрицы 0	−5	3	.
	0	−6	4
273.
273.	Найдите собственные значения и собственные вектора матрицы

Стр. 30 из 62

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2014/2015 уч. год

3	2	3
−16	−9	−12 .

4 2 2

274.В стандартном базисе пространства 3 действие линейного оператора задаётся

−1	4	−2
матрицей 1	2	−2 . Найдите собственные значения и собственные вектора этого

28 −6

оператора в стандартном базисе.

					1	−3	1	.
275.	Найдите собственные значения и собственные вектора матрицы 0					13	−6	.
					0	20	−9
									.
					4	5	1
276.	Найдите собственные значения и собственные вектора матрицы −2					−2	−1
					2	2	3
277.	В стандартном базисе пространства			3
277.	В стандартном базисе пространства				действие линейного оператора задаётся
	8	9	9
матрицей 6		8	9 . Найдите собственные значения и собственные вектора

−10 −12 −13

этого оператора в стандартном базисе.

Квадратичные формы

Матрица квадратичной формы

278. Составьте матрицу квадратичной формы

Φ(x1	, x2	,x3) = − 5x2	+18x1x2	− 8x1x3	+8x2	− 14x2x3 − 4x2 .
		1			2			3
279. Составьте квадратичную форму, матрица которой имеет вид							−1	6	7
							6	5	−5 .
							7	−5	−6

Ранг квадратичной формы

280. Является ли квадратичная форма

Φ(x1,x2,x3) = − x12 +2x1x2 +4x1x3 + x22 +4x2x3 + x32 невырожденной?

281. Найдите ранг квадратичной формы

Φ(x1,x2,x3) = x12 +25x22 +9x32 +10x1x2 +6x1x3 +30x2x3 .

282. Найдите ранг квадратичной формы

Φ(x1,x2,x3) = 72x12 +72x22 +61x32 +12x1x3 +132x2x3 .

283. Найдите ранг квадратичной формы

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.04.201524.41 Кб27Курсовые работы 2015.docx
#
25.08.2019880.64 Кб0курсовые работы с задачами.doc
#
24.03.2016270.34 Кб141КЭАХД шпоры.doc
#
24.09.201997.28 Кб2Л. США.doc
#
13.08.2019214.53 Кб2Л3. Графический интерфейс-SDI+MDI . NotifyIcon.doc
#
13.03.2015940.04 Кб11ЛА Задачник.pdf
#
20.12.201867.58 Кб4ла.doc
#
12.11.2019551.26 Кб2Лаб работа 2.docx
#
13.03.20153.03 Mб19Лаб. 10.docx
#
13.03.201576.98 Кб7Лаб. 3.docx
#
13.03.2015972.29 Кб178лаб.doc