Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Финансовый университет при Правительстве РФ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ЛА Задачник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.03.2015

Размер:

940.04 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Стр. 11 из 62

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2014/2015 уч. год

94. Найдите фундаментальный набор решений (ФНР) и размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений

−4x1 − 2x2 + x3 +3x4 + x5 = 0

x1 + x2 − x3 +5x4 +2x5 = 0

−4x1 − 2x2 +5x3 − 5x4 − 2x5 = 0

Нахождение ранга матрицы

	Найдите ранг матрицы	0	0	0	0	.
95.	Найдите ранг матрицы	0	0	0	0	.
		0	0	0	0
		0	0	0	0
		0	0	0	0
	Найдите ранг матрицы	−4		16		12
96.	Найдите ранг матрицы	5		−20		−15 .
		4		−16
		4		−16		−12
	−1			4		3
		−6		−6	6	−19
97.	Найдите ранг матрицы 8			−2	2	2 .
	2			−5	5	−10
		−11		6		−3
98.	Найдите ранг матрицы −8			4		0 .
		11		2		15
		11		2		15
			6	−15		−3

Транспонирование матриц

99. Транспонируйте матрицу

−8 7 −7 −4 −2 5 .

Сложение матриц и простейшие матричные уравнения

100. Произведите действия с матрицами:

			−2	8			1	3	−5
	−5 −3			−8			1	3	−5
	−5 −3			−8	+7	−8		−3	7
			6	−3
	матрицами:
101. Произведите действия с
8	−3	1		3	1		3		9	2	−7
−6 −4 8		3 +8 8 −1					6 − 5 −3 −1				2
−5 −6		6 3 −1 −8 2								9	2

Стр. 12 из 62

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2014/2015 уч. год

102. Произведите действия с матрицами:

−7

5 −8

8 −4

+3 −7 4

103. Решите матричнoе

уравнение:

3 5 5 − X = − 5 5

−3

−8

−5

−3

104. Решите матричную

систему уравнений:

−12

−6X +7Y =

−29

−73

2X − 9Y = 4

−86

След матрицы

−4

−2

−3

105. Вычислитеслед матрицы: −1

8 .

6−2 −8

106.						−7		9	−8	3
106.	Вычислите матрицу tr(A)B− tr(B)A, если A =							, B =		,
							0	8	−3	−3
Умножение матриц
	−2		−1	−1		4	−5
	Вычислите произведение 3					4	−5
107.	Вычислите произведение 3		−1	−1 −3			−2 .
	3		−2	1
	2	5
108.	Вычислите произведение 8	5		−7	3	.
	−2			5	.
109.	Вычислите произведение 0	1	−3 0		.

−2

Стр. 13 из 62

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2014/2015 уч. год

		−1
	3
		2
110.	Вычислите произведение	2				−1			0	−1			−5		−5 4		.
110.	Вычислите произведение					−1			0	−1			−5		−5 4		.

		2
	−1													−3
													2
														3
111. Вычислите произведение		2 −5			3		4		3	3				−1
111. Вычислите произведение		2 −5			3		4		3	3				−2	.
														−2

				−5			1						−1					2	3
112.	Вычислите ATB− 3C, если A =			−5			1		, B =				1	−3		и C =		2	3	.
112.	Вычислите ATB− 3C, если A =								, B =							и C =				.
			−1 0									3		1			−2 5
113.			3				1							1	−2
113.	Вычислите AB− 4BA, если A =								и B =							.
			0			−3							−1		3
		−4	−3			0						1	.
114.	Вычислите произведение 3		−1			2 2							.
	3		−5			2				−3
										1		2		−1
115.	Вычислите произведение −1		2		1	−2						−1		2 .
		−2	−2					−2				−3		−3
	Вычислите произведение 1		−1					−1				2		−1
116.	Вычислите произведение 1		−1				−1					−3		−3 .
	1			3							−1			−3
	−2		1			−1				−4				−6 .
117.	Вычислите произведение	1	−2			−3				−4				−6 .
										−4				−5
		−1		4		−3						−3		−1		−1
118.	Вычислите произведение 5		−3				4 2							−1		−1 .
	4		−4			−3					2			1		2

Стр. 14 из 62

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2014/2015 уч. год

				3	4		7			−3	3	−2
119. Вычислите AB+3BA, если A = 9					7	−8 и B = 2					1	1 .
			−2		4		1			1	1	−1
									1	−2	−3	.
120.	Вычислите P(A), если P(x) = 5x2 − 3x − 2 и A = −4									2	4	.
									4	2	1
					2			−1	5
121.	Вычислите A AT +3A− 5E, где A = −2							5	−1 , E — единичная матрица.
				−1				−3	1
								−1	5	3
122.	Вычислите A AT − tr(A) A+2E, где A = 0								−1	5 , E — единичная
матрица.							−4		−2	−5
				5			3	−2
123.	Вычислите AT A− A AT, где A = −1						2		1
				0		−3			2	−2	4	1
124.	Вычислите P(A), если P(x) = 3x3 − 3x2 +3x − 2 и A = −1										−2 1 .
Степени матриц										−2	3	4
125.	6		0
125.	Вычислите A3, если A =		.
	7		−7
126.	1		−1
126.	Вычислите A36, если A =			.
	0		1
127.	3		3
127.	Вычислите A4, если A =		.
	3		−3
128.	−3		1
128.	Вычислите A3, если A =		.
	3		2
	Вычислите A46, если A =		√2	√2	.
129.		− 2		2
129.		−√22		−√22
		−√23		−21
130.	Вычислите A86, если A =		21	−√23	.

Стр. 15 из 62

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2014/2015 уч. год

Определитель

Определитель матрицы
						3		−7	−2
131. Вычислите определитель матрицы A =					1			−1	9 .
					−2			4	0
					−2			4	0
\|	8	−3	\|		8			7	4
\|	8	−3	\|
132. Вычислите определитель \|	−1	7	\|.
\|	−1	7	\|
\|			\|
					−7			0	−1
133. Вычислите определитель матрицы A = 0								0	−1 .
\|	1	4	9	\|	1			1	6
\|	1	4	9
\|
\|	1	−1	−7 .
134. Вычислите определитель \|	1	−1	−7 .
\|
\|	4	2	4
\|	4	2	4
\|	0	0	2		2	\|
\|	0	0	2		2	\|
\|						\|
\|	0	0	0		7	\|
\|	0	0	0		7	\|
135. Вычислите определитель \|						\| .
\|	−2	7	−5		−5	\|
\|	−2	7	−5		−5	\|
\|						\|
\|	4	0	−4		1	\|
\|	4	0	−4		1	\|
\|	8	3	0		0	\|
\|	8	3	0		0	\|
\|						\|
\|	0	0	5		−5	\|
\|	0	0	5		−5	\|
136. Вычислите определитель \|						\| .
\|	0	0	−4		−8	\|
\|	0	0	−4		−8	\|
\|						\|
\|	3	−1	0		0	\|
\|	3	−1	0		0	\|
\|	0	0		2	4		\|
\|	0	0		2	4
\|
\|	−1	1		2	0
\|	−1	1		2	0			.
137. Вычислите определитель \|								.
\|	4	2	−2		−5
\|	4	2	−2		−5
\|
\|	1	−5		1	4
\|	1	−5		1	4
\|	−1	1	−4			1		\|
\|	−1	1	−4			1		\|
\|								\|
\|	3	3		24	−12			\|
\|	3	3		24	−12			\|
138. Вычислите определитель \|								\| .
\|	2	−4		6	−5			\|
\|	2	−4		6	−5			\|
\|								\|
\|	−1	7		11	−32			\|
\|	−1	7		11	−32			\|

Стр. 16 из 62

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2014/2015 уч. год

									−3	12	15	6	−3
								0		0	−5	−8	18
139.	Вычислите определитель матрицы A = 0									0	3	0	14
139.	Вычислите определитель матрицы A = 0									0	3	0	14	.
									−6	−12	−9	−9	−3
									9	0 −10		−1	12
Задачи на определители
140.										−3	1
140.	Вычислите определитель матрицы A2, если A =										.
										−7	4
													−2		5
141.	Вычислите определитель произведения матриц AB, если A = −6														−7 ,
B = −1		−2 2 .										7 1
	6	−2	3
142.												−5			4	−1
142.	Вычислите определитель произведения матриц AB, если A =															,
													5		7	−3
	−4	−6
B = 8		8 .
−4		−8											−1		7	6
143.	Вычислите определитель произведения матриц AB, если A = 6														6	5 ,
	−8	6		−6								4			6	10
B = −2		6		−2 .
−3		−1		3
144.	Вычислите определитель матрицы X, если известно, что она является решением
		−7		−8	5	−7	7	6
уравнения 9				8	−7 X = 4		9	−6 .
		7		8	−1	−2	8	1				1	−5		3
145.	При каких значениях параметра η определитель матрицы η												−6		1 не равен
нулю?												−8	4		9
												−8	6			3
146.	При каких значениях параметра η определитель матрицы 5												−2		−1 равен
												η	−6			9

Стр. 17 из 62

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2014/2015 уч. год

нулю?

							8	−4	γ
147.	При каких значениях параметра γ определитель матрицы 4							−2	3 равен
нулю?							−4	2	−2
		−6	6		−1
148.	При каких значениях параметра ζ матрица 10		−2			ζ невырожденная?
		−2	−6			9
		5	−4		−4
149.	При каких значениях параметра τ матрица 10		−2		−2 невырожденная?
		τ	−1		−4
		1	−1			1
150.	При каких значениях параметра θ матрица −2		2		−2 вырожденная?
		θ	−4			2
		−7		−5			−6
151.	При каких значениях параметра σ у матрицы 1				6		1 столбцы линейно
независимы?		7			σ		6
		−6			1		−6
152.	При каких значениях параметра ψ у матрицы 10			−4			10 строки линейно
зависимы?		−1			ψ		−7
			θ		−6		2
153.	При каких значениях параметра θ у матрицы −10				3		−1 строки линейно
независимы?			8		−6		2
		2	−7			−1
154.	При каких значениях параметра σ у матрицы 3		1			σ ранг меньший 3?
		6	4			5
		1			7		7
155.	При каких значениях параметра θ у матрицы −1			−3			−3 ранг равен 3?
		θ		−5			−3
		10			2		10
156.	При каких значениях параметра ξ у матрицы		5		1		5 ранг равен 3?
		−12			ξ		12

Стр. 18 из 62

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2014/2015 уч. год

Однородные системы уравнений

157.Определите, имеет ли данная однородная система

7x1 +5x2 − 2x3 − 7x4 = 0

9x1 +4x2 +2x3 +9x4 = 04x1 − 7x2 − 4x3 − 8x4 = 0

ненулевые решения? Ответ поясните.

158.Определите, имеет ли данная однородная система

−3x1 − 4x2 +6x3 = 0

2x1 +3x2 − 4x3 = 03x1 +7x2 − 6x3 = 0

ненулевые решения? Ответ поясните.

159. Определите, имеет ли данная однородная система

ненулевые решения? Ответ поясните.

Обратная матрица

−4x1 +9x2 − 5x3 = 0

2x1 +2x2 +3x3 = 0

8x1 +5x2 − 3x3 = 0

Формулы Крамера

160.Решите систему уравнений с помощью формул Крамера

−6x1 + x2 = − 2,

−x1 +2x2 = − 3.

161.Решите систему уравнений с помощью формул Крамера

−6x1 − 2x2 +3x3 = − 4

4x1 − 7x2 +6x3 = 2x1 − 2x2 +2x3 = − 4

Вычисление обратной матрицы

−3

162. Вычислите матрицу, обратную к матрице A =

163.Вычислите матрицу, обратную к матрице A = 1

−1

−7

−3	−1
−19	−12 .
−2	−2

Стр. 19 из 62

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2014/2015 уч. год

−2 −3 1 2

164.	Вычислите матрицу, обратную к матрице A = 3										6			−2		−1 .
									−1		1			−1			2
									−1		1			−1			2
Решение матричных уравнений								1			5			−2			2
165.	−3			9				−63			−27
165.	Решите матричное уравнение				X =								.
	5		−5						55		−5
166.	5		−2					19		−11
166.	Решите матричное уравнение X				=							.
	6			1			−31				9
167.	−1		−4					−17			−8				−3
167.	Решите матричное уравнение				X =											.
	−3		−1						−7		−13				2
	2		−3					22			33
	2		−3								−60 .
168.	Решите матричное уравнение X 7			6 = −37							−60 .
							−26				−27
	3		−4				1					3			−31
169.	Решите матричное уравнение −5		−3				5 X = −28								30 .
	−1		−3			−1					−4				−14
		−2			1		−1		−31				−7			25
	Решите матричное уравнение X 1						−5		−31				−7			25
170.	Решите матричное уравнение X 1				2		−5		=		−7		−3			9 .
	4				2		−5
	−1		−2			−3					18			−3			−6
171.	Решите матричное уравнение −3				2	−3 X = 20									1	−20 .
	1		−1			−2					3				2		−7
		−4			−3			1			−5				−2		11
172.	Решите матричное уравнение X 2				1		−5 = −5								−5		−4 .
		−3			−2			1			19				13		−22
			3				3					16			−3
173.	−1		3		X		3		−1		=	16			−3		.
173.	Решите матричное уравнение				X						=						.
	−2		1			−1			−2				7		14
	3		2					−11			7
174.	Решите матричное уравнение 3		1 X = −7								8 .
	2		3				−14				3

Стр. 20 из 62

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2014/2015 уч. год

−5	1	−1	−12	−6	9
175. Решите матричное уравнение X		=				.
1	−3	4	23	−13	16

Комплексные числа и многочлены

Многочлены и рациональные функции

176.Найдите целые действительные корни многочлена x3 +3x2 +4x − 8.

177.Найдите целые действительные корни многочлена x4 − 2x3 + x2 − 4x +4.

178.Найдите целые действительные корни многочлена

x5 − 7x4 +14x3 − 5x2 − 15x +12.

179.Найдите наибольший общий делитель многочленов: x3 +11x2 +32x +28 и

x3 +10x2 +28x +24.

180.Найдите наибольший общий делитель многочленов: x3 − 12x2 +36x − 32 и

x3 − 6x2 +11x − 6.

−6x3 +10x2 − 9x +7

181.В дроби выделите целую часть.

x− 1

6( − 2x − 7)

182.Представьте дробь в виде суммы простейших дробей над .

x2 +2x − 8

−3x2 +17x − 8

183. Представьте дробь в виде суммы простейших дробей над . (x − 2)3

x2 − 2x +1

184. Представьте дробь в виде суммы простейших дробей над . (x − 3)(x2 − 8x +16)

13(x2 − x − 3)
185. Представьте дробь	в виде суммы простейших дробей над .
(x − 5)(x2	− 4x +8)
6(x2 +2x − 4)
186. Представьте дробь	в виде суммы простейших дробей над .
(x − 2)(x2	− 2x − 8)