9

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию гоу впо Всероссийский заочный финансово-экономический институт

Контрольная работа по предмету

«Эконометрика»

Вариант ?

Преподаватель Прокофьев О.В. Работа выполнена ?????????

Факультет финансово-кредитный

3 курс

№ личного дела ??????????

группа №?

Пенза 2012 г.

Задача

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (, млн. руб.) от объема капиталовложений (, млн. руб.)

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера, найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости, если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

7. Представить графически: фактические и модельные значения точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

• гиперболической;

• степенной;

• показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?

1. Найдем параметры уравнения линейной регрессии, дадим экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

Значения параметров а и bлинейной модели определим, используя данные таблицы 1.1.

???

???-??????=???

Уравнение линейной регрессии имеет вид: =???+???*x.

С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции увеличиться в среднем на ??? млн. руб. Это свидетельствует об эффективности работы предприятия.

2. Вычислим остатки; найдем остаточную сумму квадратов; оценим дисперсию остатков ; построим график остатков.

Остатки см табл 1.1 столбец

Остаточная сумма квадратов =????

Дисперсия остатков ??.???

График остатков

3. Проверим выполнение предпосылок МНК.

Проверка выполнения предпосылок МНК выполняется на основе анализа остаточной компоненты.

• случайный характер остатков

• нулевая средняя величина остатков, не зависящая от от x_i

• гомоскедастичность – дисперсия каждого отклонения e_iодинакова для всех значенийx

• отсутствие автокорреляции остатков

• остатки подчиняются нормальному распределению

• случайный характер остатков

Для простейшей визуальной проверки строится график зависимости остатков e_i от теоретических значений результативного признака ŷ

e(y)

На графике остатки расположены случайным образом, значит остатки e_iпредставляют собой случайные величины и МНК оправдан

Для проверки с помощью критерия поворотных точек строится график е(х) (используются отсортированные значения Х в порядке возрастания). .

x i сортированные	e i	поворотные точки
?	?	пусто
?	?	?
?	?	?
?	?	?
?	?	?
?	?	?
?	?	?
?	?	?
?	?	?
?	?	пусто
?	?
	сумма	?

Количество поворотных точек р=?.

Критическое число

при n=10 равно 2.

Р>2, предпосылка о случайном характере остатков выполняется.

• нулевая средняя величина остатков, не зависящая от от x_i

Для простейшей визуальной проверки используется ранее построенный график е(х) зависимости остатков e_iот факторов, включенных в регрессиюx_i.

Остатки на графике расположены случайным образом внутри симметричной горизонтальной полосы, значит их математическое ожидание не зависит от x_i.

Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю осуществляется в ходе проверки соответствующей нулевой гипотезы H_0:. С этой целью строитсяt-статистика, где _.

t=?2,262 (α= 0,05;ν=n-1=9) гипотеза принимается.

t-статистика			?
t крит 0,05			2,262
t	ei=yi-yi^	(ei-ei cp)^2
1	?	?
2	?	?
3	?	?
4	?	?
5	?	?
6	?	?
7	?	?
8	?	?
9	?	?
10	?	?
Сумма	?	?
Среднее	?

• гомоскедастичность – дисперсия каждого отклонения e_iодинакова для всех значенийx

Коэфф. Спирменагде

t-статистика ? это меньше(больше)t Крит=2,306, следовательно гипотеза об отсутствии гетероскедастичности при пятипроцентном уровне значимости принимается (отвергается)

К проверке предпосылки МНК №3 по тесту Спирмена
r(x)	r(e)	r(x)-r(e)	(r(x)-r(e))^2
?	?	?	?
?	?	?	?
?	?	?	?
?	?	?	?
?	?	?	?
?	?	?	?
?	?	?	?
?	?	?	?
?	?	?	?
?	?	?	?
Сумма			?
Коэфф. Спирмена			?
t-статистика			?
t крит 0,05			2,306

Гомоскедастичность присутствует

Независимость остатков проверяется с помощью критерия Дарбина – Уотсона.

dw=?/?=?

Верхние (d₂=0,88) и нижние (d₁=1,32) критические значения, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции, зависят от количества уровней динамического ряда и числа независимых переменных модели.

Если 0<d<d1, то уровни автокоррелированы, то есть зависимы, модель неадекватна.

Если d1<d<d2, то критерий Дарбина-Уотсона не дает ответа на вопрос о независимости уровней ряда остатков. В таком случае необ­ходимо воспользоваться другими критериями (например, проверить независимость уровней по первому коэффициенту автокорреляции).

Если d2<d<2 , то уровни ряда остатков являются независимыми.

В нашем случае d2<d<2 уровни ряда остатков являются независимыми.

(В нашем случае 0<d< d1 уровни ряда остатков являются зависимыми.)

(В нашем случае d1<d<d2, зона неопределённости. Проверяем независимость ряда остатков по первому коэффициенту автокорреляции

=?/?=?

Это значение меньше (больше) критического 0,36 и ряд остатков можно (нельзя) считать некоррелированным)

нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими уровнями 2,67-3,69;

Рассчитаем значение RS: RS = (E_max - E_min)/ S,

где E_min - максимальное значение уровней ряда остатков E(t);

E_max - минимальное значение уровней ряда остатков E(t)

S - среднее квадратическое отклонение.

Emax=	?
Emin=	?
Emax-Emin=	?
S=	?
RS=	?

Так как ?<?, ?<?, полученное значение RS попало в за­данный интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нор­мальному распределению.

Таким образом, предпосылки МНК выполняются.

4. Осуществим проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента

Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии связана с определением расчетных значений t-критерия (t–статистики) для соответствующих коэффициентов регрессии:

= ? < 2,306

= = ?>2,306

Затем расчетные значения сравниваются с табличнымиt_табл= 2,306. Табличное значение критерия определяется при (n-2) степенях свободы (n - число наблюдений) и соответствующем уровне значимости  (0,05)

Если расчетное значение t-критерия с (n - 2) степенями сво­боды превосходит его табличное значение при заданном уровне зна­чимости, коэффициент регрессии считается значимым.

В нашем случае коэффициент a регрессии незначим, коэффициент b регрессии значим (a регрессии значим, коэффициент b регрессии значим).

5. Вычислим коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера, найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Определим линейный коэффициент парной корреляции по формуле

== ?

Рассчитаем коэффициент детерминации:

?

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на ? % объясняется вариацией фактора X (объемом капиталов­ложений).

Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помо­щью F-критерия Фишера:

?

F>F_табл.=5,318 для α=0,05; k₁=m=1; k₂=n-m-1=10-1-1-8.

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статис­тически значимое, т. к. F > F_табл.

Определим среднюю относительную ошибку:

?%

В среднем расчетные значения у для линейной модели от­личаются от фактических значений на ?%.

Вывод о качестве модели. Все (не все) предпосылки МНК выполнены, модель качественная и может быть применена для прогнозирования (нуждается в совершенствовании).

6. Осуществим прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости, если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

Прогнозное значение показателя, если прогнозное значение фактора составит 80% от его максимального значения =?*0,8=? составит

=?+?*?=?

Интервальный прогноз:

=?

для 10 - 2 =8 степеней свободы и уровня значимости 0,1 равно 1,859.

Тогда

7. Представим графически: фактические и модельные значения точки прогноза.

Таблица 1.1.

n

y

x

1

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

-

-

?

?

2

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

3

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

4

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

5

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

6

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

7

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

8

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

9

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

10

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

итого

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

ср. знач

?

?

?

?

?

?

диспер

?

?

?

8. Составим уравнения нелинейной регрессии:

• гиперболической;

• степенной;

• показательной.

Приведем графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найдем коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравним модели по этим характеристикам и сделаем вывод.