7185

№11 Теорема и формулы Крамера решения системы n линейных уравнений с n переменными (без вывода).

Теорема: Пусть ∆-определитель матрицы системы А, ∆_j-определитель матрицы полученный из матрицы А заменой j-столбца столбцом свободных членов, если определитель матрицы А не =0, то система имеет ед. решение, найденное по формуле x_j=∆j/∆. Формулы x_j=∆j/∆(j=1,2,…,n) получили название формул Крамера.

№12 Теорема Кронекера-Капелли. Условие определенности и неопределенности совместных систем линейных уравнений.

Теорема: Система линейных уравнений совместна и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Если ранг системы равен числу неизвестных r=n, то система имеет ед. решение и явл. определенной. Если ранг системы меньше числа неизвестных r<n, то система явл. неопределенной и имеет бесконечное множество рашений.

№13 Понятие функции, способы задания ф-ций. Область определения. Четные и нечетные, ограниченные, монотонные функции.

Если каждому элементу х множества Х соответствует вполне определенный элемент у из множества У, то говорят, что на множестве Х задана ф-ция у=f(x), при этом х- независимый аргумент, у- зависимая переменная. F означает, что над переменной х необходимо провести какие-то операции, чтобы получить значение у. Множество Х- область опред. или область существования ф-ции D(f), D(y), множество У –значения ф-ции E(f),E(y).

Способы задания ф-ций: 1. Аналитический, т е ф задается в виде у=f(х).2. Табличный, задается таблица содержащая значения аргумента х и соответствующие значения ф-ции у(х). 3. Графический, состоит в том, что изображается график ф-ции, на числовой плоскости отмечаются точки, первая координата соответствует аргументу х, а вторая значения ф-ции у(х). Область определения может представлять собой: 1. интервал D(f)=(a;b); a<x<b.2.Отрезок D(f)=[a;b]; a<=x<=b. 3.полуинтервал D(f)=(a;b]; a<x<=b. D(f)=[a;b); a<=x<b.4.бесконечный интервал D(f)=(-∞;+∞);-∞<x<+∞. D(f)=(-∞;a];-∞<x<=a. D(f)=(b;+∞);b<x<+∞. 5.совокупность нескольких интервалов, полуинтервалов и отрезков.

Ф-ция у=f(x) наз четной, если для любого х из области определения выполняется у(-х)=у(х) и нечетной, если у(-х)=-у(х). Ф-ция у=f(x) наз ограниченной(sinx,cosx) на промежутке х, если сущ. такое положительное число М, что для всех х из этого промежутка (х€Х). f(x) по модулю не превосходит М(|f (х)|<=М), в противном случае ф-ция называется неограниченной.

Ф-ция у=f(x) наз. возрастающей(убывающей) на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее(меньшее) значение ф-ции. Возрастающие (убывающие) ф-ции называются монотонными. у=е^х, у=log_1/3х.

№1. а)Понятие матрицы. б)Виды матрицы. в)Транспонирование матрицы. г)Равенство матриц. д)Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц.

а)Матрицей размера m×n наз прямоугольная таблица сост из m-строк и n-столбцов.

⌠а₁₁а₁₂а_13……а_1n ⌠

А= |a₂₁a₂₂a_33……a_2n |=(a_ij)_m×n=[a_ij]_m×n.

|……………… |

⌡a_m1a_m2a_m3…a_mn⌡

a_ij-элементы матрицы. i-номер строки j-номер столбца

б)Матрица сост из одной строки наз матрицей строкой(вектором строкой):В=(b₁₁b_12…b_1n).

Матрица сост из одного столбца наз матрицей-столбцом(вектором-столбцом).

[c₁₁]

C=| c₂₁ |

| … |

[c_m1]

Если кол-во строк = кол-ву столбцов, то матрица наз квадратной размера m×n (матрица порядка m). Диагональная матрица-матрица все элементы кот, кроме диагональных =0.

Элементы матрицы у кот номер столбца = номеру строки наз диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Если у диагональной матрицы все диагональные элементы =1, то она наз единичной. (Е=(…)). Матрица любого размера называется нулевой если все ее элементы равны 0.

в)Транспонирование матрицы- переход от матрицы А к матрице А^/, в кот строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица А^/ наз транспонированной относительно матрицы А. Св-ва: 1) (А^/)^/=А, 2) (λА^/)^/=λА^/, 3) (А+В)^/=А^/+В^/.4) (АВ)^/=А^/В^/.

г)Две матрицы А и В одного размера наз равными,если они совпадают поэлементно, т е a_ij=b_ij для любых i=1,2,…m; j= 1,2,…,n.

д)1. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А на число λ наз матрица В=λА, элементы кот b_ij=λa_ij для i=1,2,…,m; j=1,2,…,n. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы. Произведение матрицы А на число 0, равно нулевой матрице. (0А=0).

2. сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера m×n наз матрица С=А+В, элементы кот c_ij=a_ij+b_ij для i=1,2,…,m; j=1,2,…,n. ( т е матрицы складываются поэлементно). В частности А+0=А.

3. Вычетание матриц. Разность двух матриц одинакового размера опред ч/з предыдущие операции А-В= А+(-1)В.

4. Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Произведением матрицы А размера m×k на матрицу В размера k×n наз матрица С размера m×n, каждый элемент кот = сумме произведений элементов i-строки матрицы А на соответствующие элементы j-столбца матрицы В. c_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+…+a_ikb_ik.

№4. а)Понятие минора к-го порядка. б)Ранг матрицы(определение).в)Вычисление ранга матрицы с помощию элементарных преодразований.Пример.

а)В матрице А размера т×п вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы к-го порядка, где к<=min(m;n). Определители таких подматриц наз минорами к-го порядка матрицы А.

б)Рангом матрицы А наз наивысший порядок отличных от 0 миноров этой матрицы.

в)Элементарные преобразования: 1) отбрасывание нулевой строки(столбца). 2) Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное 0. 3) Изменение порядка строк (столбцов) матрицы. 4) Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов др строки (столбца), умноженных на любое число. 5) Транспонирование матрицы.

Пример. (0 -1 3 0 2)

А= (2 -4 1 5 3)= (2 -4 1 5 3)

(-4 5 7 -10 0) (0 -1 3 0 2).

(-2 1 8 -5 3)

r(A)=2. Матрица имеет ступенчатый вид и содержит миноры 2-го порядка, не =0, например |2 -4|

|0 -1|=-2 не=0.

№5. а)Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. б)Теорема о ранге матрицы.

а) Если линейная комбинация строк λ₁е₁+ λ₂е₂+… +λ_ме_м=0, тогда и только тогда, когда все коэффициенты λ_i =0, т е λ₁=λ₂=…= λ_м=0,то строки е_1,е₂,…,е_т наз линейно независимыми. λ-число, е₁=а₁₁а₁₂а₁₃…_, е₂=а₂₁а₂₂а_23.

б)Ранг матрицы = максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, ч/з кот линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы).

2. а)Определители 2-го,3-го и п-го порядков (определения и из св-ва). б)Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца.

а) Определителем матрицы 2-го порядка наз число, кот вычисляется по формуле:

∆₂=|А|=|а₁₁а₁₂|=а₁₁а₂₂-а₁₂а_21.-члены определителя.

|а₂₁а₂₂ |

Определителем матрицы 3-го порядка кот вычисляется по формуле: ∆₃=|А|=а₁₁а₂₂а₃₃+а₁₂а₂₃а₃₂+а₂₁а₃₂а₁₃-а₃₁а₂₂а₁₃-а₁₂а₂₁а₃₃-а₃₂а₂₃а₁₁.

Определителем квадратной матрицы n-го порядка наз число =алгебраической сумме п! членов, каждый из кот явл произведением п элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем знак каждого члена определяется как (-1)^r(J)где r(J)-число инверсий в перестановке J из номеров столбцов элементов матрицы, если при этом номера строк записаны в порядке возрастания: ∆=|А|=∑_(J)(-1)^r(J)a_1j1a_2j2…a_njn.

C-ва:1) если какая-либо строка (столбец) матрицы сост из одних нулей, то ее определитель=0. 2) если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число λ, то ее определитель умножится на это число. 3) При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется |A^/|=|A|. 4) при перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный. 5) если квадратная матрица содержит две одинаковые строки(столбца), то ее определитель=0. 6) если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0. 7) сумма произведений элементов какой-либо строки(столбца) матрицы на алгебраичские дополнения элементов др строки (столбца) этой матрицы равна 0. 8) определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки(столбца) матрицы прибавить элементы др строки(столбца), предварительно умноженные на одно и тоже число. 9) Сумма произведений произвольных чисел на алгебраические дополнения элементов любой строки(столбца) = определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки(столбца) на числа b₁,b₂,…,b_n. 10) определитель произведения двух квадратных матриц= произведению их определителей.

б)Определитель п-го порядка = сумме произведения элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения. ∆=а_i1A_i1+a_i2A_i2+…+a_inA_in. –разложение по строке. ∆=a_ijA_1j+a_2jA_2j+…+a_njA_nj- разложение по столбцу.

№3.а)Квадратная матрица и ее определитель. б)Особенная и неособенная квадратные матрицы. в)Присоединенная матрица. г)Матрица, обратная данной, и алгоритм ее вычисления.

а)Если кол-во строк= кол-ву столбцов, то такая матрица наз квадратной размером m×m(матрица порядка m). Понятие определитель приминяется только для квадратных матриц, detA,(А),∆. Определителем кв матрицы А наз число, кот вычисляется по след правилам: 1) А=(а₁₁) detA=а_11. 2) А=(а₁₁а₁₂) detA=а₁₁а₂₂-а₁₂а_21.

(а₂₁а₂₂)

3) А=(а₁₁а₁₂а₁₃)

(а₂₁а₂₂а₂₃)

(а₃₁а₃₂а₃₃)

Для 3) правилом ∆(Саррюса). detA=а₁₁а₂₂а₃₃+а₁₃а₂₁а₃₂+а₃₁а₁₂а₂₃-а₃₁а₂₂а₁₃-а₁₁а₃₂а₂₃-а₃₃а₂₁а_12.

4) Определитель п-го порядка – сумме произведения элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения. ∆=а_i1A_i1+a_i2A_i2+…+a_inA_in. –разложение по строке. ∆=a_ijA_1j+a_2jA_2j+…+a_njA_nj- разложение по столбцу.А_ij=(-1)^i+jM_ij- алгеброическое дополнение.

в,г)Пусть матрица А- кв. Матрица А^-1-наз обратной к матрице А, если выполняется усл: А^-1А=АА^-1=Е. Мариица наз невыражденной, если ее определитель не =0, в противнос случае матрица-выражденная. Теорема(необходимое и достаточное усл сущ обратной матрицы):Обратная матрица А^-1сущ единственно тогда и только тогда, когда исходная матрица невыражденная и вычисляется по формуле А^-1= 1/ detA×А^~, А^~-присоединенная матрица сост из алгебраических дополнений транспонированной матрицы

А^~= (А₁₁А₂₁…А_п1/А₁₂А₂₂…А_п2/…/А_1пА_2п…А_пп). Схема вычисления обр матрицы:

1) вычисляем определитель матрицы. Если определитель равен нулю , то матрица вырожденная и обратной матрицы не сущ. Если detA не=0, то: 2) вычисляем алгебраические дополнения и составляем присоединенную матрицу А^~. 3) Составляем обратную матрицу по формуле: А^-1= 1/ detA×А^~. 4) Выполняем проверку: А^-1А=Е.

№8. а)Система т линейных уравнений с п переменными (общий вид). б)Матричная форма записи такой системы. в)Решение системы(определение).г)Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.

а) Система т линейных ур-ний с п переменными имеет вид:

{а₁₁х₁+а₁₂х₂+а₁₃х₃+…+а_1пх_п=b₁

{ а₂₁х₁+а₂₂х₂+а₂₃х₃+…+а_2пх_п=b₂

{……………………………….

{ а_т1х₁+а_т2х₂+а_т3х₃+…+а_тпх_п=b_т

б) Систему Ур-ний ↑ можно записать в матричной форме: А- матрица системы сост из коэффициентов при неизвестных. Х-матрица неизвестных, В-матрица-столбец свободных членов.

(а₁₁ а₁₂ а₁₃ …а_1п) (х₁) (b₁)

А=( а₂₁ а₂₂ а₂₃ …а_2п) Х= (х₂) В= (b₂)

(…………………..) (…) (…)

( а_т1 а_т2 а_т3… а_тп) (х_п) (b_n)

Система ур-ния в матричной форме имеет вид Ах=В.

в)Решением системы наз такая совокупность п чисел (х₁=к_1,х₂=к_2,…, х_п=к_п), при подстановке кот каждое ур-ние системы обращается в верное равенство.

г)Система ур-ний наз совместной,если она имеет хотя бы одно решение, несовместной, если не имеет решений. Совместная система ур-ний наз определенной,если имеет ед решение, и неопределенной,если имеет более 1 решения.

№9. а) метод Гаусса решения системы п-линейных ур-ний с п переменными. б)Понятие о методе Жордана-Гаусса.

а) Метод последовательного исключения переменных заключается в том, что с помощью элементарных преобразований строк и перестановок столбцов исходная система ур-ний приводится к равносильной системе ступенчатого или треугольного вида, из кот последовательно находятся все неизвестные переменные. Вычисление удобно проводить не с самими уравнениями, а с матрицами их коэффициентов.

№10. Решение систем п линейных уравнений с п переменными с помощью обратной матрицы (вывод формулы Х=А^-1В.

Рассм систему линейных ур-ний состоящую из п-ур-ний и п неизвестных:

{а₁₁х₁+а₁₂х₂+а₁₃х₃+…+а_1пх_п=b₁

{ а₂₁х₁+а₂₂х₂+а₂₃х₃+…+а_2пх_п=b₂

{……………………………….

{ а_п1х₁+а_п2х₂+а_п3х₃+…+а_ппх_п=b_п

Если матрица системы невырожденная (detA ≠0), то систему можно решить:1)матричным способом (метод обратной матрицы),2)По правилу Крамера, 3) методом Гаусса. Рассм 1 метод: Данная система в матричной форме имеет вид Ах=В, где А- матрица системы. Х-матрица неизвестных, В-матрица-столбец свободных членов.

(а₁₁ а₁₂ а₁₃ …а_1п) (х₁) (b₁)

А=( а₂₁ а₂₂ а₂₃ …а_2п) Х= (х₂) В= (b₂)

(…………………..) (…) (…)

( а_{п 1} а_п2 а_п3… а_пп) (х_п) (b_n)

Т к detA ≠0, то сущ. обратная матрица А^-1: А^-1(АХ)=А^-1В; А^-1(АХ)=(А^-1А)Х=ЕХ=Х;Х=А^-1В

№16. а)Общее ур-ние прямой на плоскости, его исследование. б)Условия || и ┴прямых.

а)Запишем ур-ние прямой с к=1: у=kх+b; -kx+y-b=0; -kx→Ax,y→By.-b→C;Ax+By+C=0-ур-ние прямой.Частные случай ур-ния Ах+Ву+С=0: 1) А=0,следов. Ву+С=0, В,С-const.у=-С/В. Прямая || оси ОХ. А=С=0,следов. у=0-прямая совпадает с осью ОХ.

2) В=0,следов. Ах+С=0, А,С- const. Х=-С/А. А≠0. Прямая || оси ОУ. В=С=0,следов. х=0- прямая совпадает с осью ОУ.

3) С=0, следов. Ах+Ву=0. у=-А/В×х-прямая проходит ч/з начало координат.

б)1. Если прямая L₁|| L₂,следов. φ =0, tg φ=0, следов. k₁₌k₂-условие || двух прямых.

2. L₁┴ L₂, тогда φ =π/2, следов. tg π/2-неопределен. сtg π/2=0, следов. сtgφ=1/tgφ=(1+k₁k₂)/( k₂- k₁). сtgφ=0, следов. 1+k₁k₂=0, k₁k₂= -1-условие ┴ двух прямых.

№19. а)Бесконечно малая величина (определение). б)Св-ва бесконечно малых (1 док-ть)

а)Функция L(х) наз бесконечно малой величиной при х→х_о, или при х→∞, если ее предел =0. Lim _{х→ хо (∞)}L(х)=0.

б)Св-ва: 1) Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая. 2) Произведение бесконечно малой величины на ограниченную ф-цию (постоянную, бесконечно малую) есть величина бесконечно малая. 3) Частное от деления бесконечно малой величины на ф-цию, предел кот отличен от 0, есть величина бесконечно малая.

Докажем 1^о: По усл L(х) и В(х)-бесконечно малые при х→х_о,следов. для любого Е^/=Е/2>0, найдутся δ₁>0, δ₂>0, что для всех х≠ х_о и удовлетворяющих условиям: |х-х_о|< δ₁ и |х-х_о|< δ₂ выполняются соответственно неравенства |L(х)|<E/2 и |В(х)|<E/2. Если взять δ=min{δ_1;δ₂}, то неравенству |х-х_о|< δ будут удовлетворять решения неравенств |х-х_о|< δ₁ и |х-х_о|< δ_2, следов. неравенства |L(х)|<E/2 и |В(х)|<E/2 будут одновременно верны. Складывая почленно получим: |L(х)|+|В(х)|< E/2 +E/2=Е, т к |L(х)+В(х)|≤ <|L(х)|+|В(х)|-(св-во абсолют. величин.), получаем: |L(х)+В(х)| <Е. Для любого Е>0 сущ такое δ>0, что для всех и х≠ х_о и |х-х_о|< δ неравенство |L(х)+В(х)| <Е верно, следов. ф-ция L(х)+В(х)- есть величина бесконечно малая.

№20. а)Бесконечно большая величина (определение). б)Связь бесконечно малых величин с бесконечно большими.

а)Ф-ция f(x) наз бесконечно большой величиной при х→х_о, если для любого, даже сколь угодно большого положительного числа М>0, найдется такое положительное число δ>0 (зависящее от М, δ= δ(М)), что для всех х ≠ х_о и удовлетворяющих условию |х-х_о|< δ, будет верно неравенство | f(x) |>М. Записывается, как lim _х→хо f(x)=∞ или f(x)→∞ при х→х_о.

б) Теорема: Если ф-ция L(х) есть бесконечно малая величина при х→х_о(х→∞), то ф-ция f(x)=1/ L(х) явл бесконечно большой при х→х_о(х→∞). И обратно, если ф-ция f(x) бесконечно большая при х→х_о(х→∞), то ф-ция f(x)=1/ L(х) есть величина бесконечно малая при х→х_о(х→∞).

№21. а)Второй замечательный предел, число е. б)Понятие о натуральных логарифмах.

а) е= lim_п→∞(1+1/п)^п. Числом е (вторым замечательным пределом) называется предел числовой последовательности е= lim_п→∞(1+1/п)^п ,е=2,718231… е- иррациональное число.

б) Число е (число Эйлера, неперово число) играет весьма важную роль в матиматическом анализе. Широко используются логарифмы по основанию е, наз натуральными. Обозначаются символом ln: log_ex=lnx.

№22. а)Пределы ф-ций. Раскрытие неопределенностей различных видов. Б)Правило Лопиталя.

а) [0/0]1. {необходимо числитель и знаменатель разложить на простейшие множители},2.{необходимо для иррациональных ур-ний найти сопряженное ур-ние и домножить и разделить части на сопряженное ур-ние}. [∞/∞] {необходимо в числителе и знаменателе вынести переменную с максимальной степенью}. [∞-∞]1. {умножим и разделим выражения в скобках на сопряженное выражение для иррац ур-ний},2{привести к общему знаменателюожим и разделим выражения в скобках на сопряженное выражение для иррац ур-ьюмволом лизе. ) есть величина бесконечно малая. 00}. [1^∞] {раскрывается с помощью второго замечательного предела } lim_п→о(1+п)^1/п=е.

б)Правило Лопиталя:Теорема: Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших ф-ций = пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний сущ в указанном смысле. Выполняется для неопределенностей вида [0/0] и [∞/∞]. {необходимо найти производную отдельно числителя и отдельно знаменателя.}

№27.а)Формулы производных основных элементарных ф-ций (одну из них вывести). б)Производная сложной ф-ции.

а)1)С^/=0; 2)х^/=1; 3) (х^п)^/=пх^п-1; 4)(х^1/2)^/=1/2х^1/2;5)(а^х)^/=а^хlna; 6)(е^х)^/=е^х; 7)(logx)^/=1/хlna; 8)(lnх)^/=1/х;9)(sinx)^/=cosx;10)( cosx)^/= -sinx; 11) (tgx)^/=1/ cos²x; 12) (сtgx)^/= -1/ sin²x;13)(arcsinx)=1/(1-х²)^1/2; 14) (arctgx)^/=1/(1+х²); 15) (arccosx)^/= 1/(1-х²)^1/2; 16) (arcсtgx)^/=-1/(1+х²);17) (lgx)^/=1/xln10.

Докажем что (х^п)^/=пх^п-1:1)Дадим аргументу х приращение ∆х≠0 и найдем наращенное значение ф-ции у+∆у=(х+∆х)^п ; 2) Находим приращение ф-ции ∆у=(х+∆х)^п- х^п= х^п+ пх^п-1∆х+ пх∆х^п-1+∆х^п-х^п=∆х(пх^п-1+пх∆х+∆х^п-1). 3)составим отношение ∆у/∆х= пх^п-1+пх∆х+∆х^п-1

4) найдем предел у^/=lim_∆x→0∆у/∆х= lim_∆x→0(пх^п-1+пх∆х+∆х^п-1)=nx^n-1.

б)Теорема: Пусть ф-ция у=f(x)- сложная ф-ция, где и=φ(х), тогда, если ф-ции f(и), φ(х) явл дифференцируемыми ф-ми, то производная сложной ф-ции по независимой переменной х: у^/х=f^|и×и^/х. 1)(z^a)^/=az^a-1×∙z^/; 2) (z^1/2)^/=1/2z^1/2∙ z^/;3) (sinz)^/=cosz∙z^/;4) ( cosz)^/= -sinz∙z^/;5) (tgz)^/=1/ cos²z∙z^/; 6) (сtgz)^/= -1/ sin²z∙z^/.

№26 Основные правила дифференцирования ф-ций одной переменной (одно из них доказать).

1) Производная постоянной равна нулю С^/=0(т к любое приращение постоянной ф-ции у=С равно0. 2)производная аргумента=1, т е х^/=1(следует из (х^п)^/=пх^п-1 при п=1).

В след случаях будем полагать, что и=и(х) и v=v(x)-дифференцируемые ф-ции. 3) Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых ф-ций равна такой же сумме производных этих ф-ций (и+ v)^/= и^/+ v^/. 4) Производная произведения двух дифференцируемых ф-ций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведения 1-го сомножителя на производную 2-го, т е (иv)^/= и ^/v + и v^/.

1^о Постоянный множитель можно выносить за знак производной: (си)^/= си^/. 2^о Производная произведения нескольких дифференцируемых ф-ций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные (uvw)^/= u^/vw+ uv^/w+ uvw^/. 5) Производная частного 2-х дифференцируемых ф-ций может быть найдена по формуле: (u/v)^/= (u^/v- uv^/)/ v².

Докажем 4): Пусть и=и(х) и v=v(x)-дифференцируемые ф-ции.Найдем производную ф-ции у= иv,∆х≠0,наращение для ф-ции и- и+∆и, для v- v+∆v, а ф-ция у- значение у+∆у=(и+∆и)(v+∆v). Найдем приращение: ∆у=(и+∆и)(v+∆v)-uv=uv+∆иv+u∆v+∆и∆v-иv=∆иv+ u∆v+∆и∆v,следов. ∆у/∆х=∆и/∆х v+ u∆v/∆х +(∆и/∆х)∙( ∆v/∆х) ∆х. Найдем придел этого отношения про ∆х→0, используя теоремы о пределах: lim_∆х→0∆у/∆х= lim_∆х→0∆и/∆х v+ lim_∆х→0 u∆v/∆х + lim_∆х→0 (∆и/∆х)∙ lim_∆х→0 ( ∆v/∆х)∙ lim_∆х→0 ∆х. На основании определения производной получили, что у^/= и ^/v + и v^/+и ^/ v^/∙0 или у^/= и ^/v + и v^/.

№29 Достаточные признаки монотонности ф-ций (один из них доказать).

Теорема (достаточное условие возрастания ф-ции). Если производная дифференцируемой ф-ции положительна внутри некоторого промежутка Х, то она возрастает на этом промежутке.

Рассм х₁ и х₂ на данном промежутке Х. Пусть х₂>х_1,х_1,х₂єХ. Докажем, что f(x₂)>f(x₁).Для ф-ции f(x) на отрехке [x₁;x₂] выполняются условия т. Лагранжа, поэтому f(x₂)-f(x₁)=f ^/(Е)(x₂-x₁), где х₁<Е>х_2, т е Е є промежутку, на кот производная положительна, следов. f^/(Е)>0 и правая часть равенства lim_{x→xo(x→∞)} f(x)/g(x)= lim_{x→xo(x→∞)} f^/(x)/g^/(x)- положительна. f(x₂)-f(x₁)>0 и f(x₂)>f(x₁).

Теорема (достаточное усл убывания ф-ции): Если производная дифференцируемой ф-ции отрицательна внутри некоторого промежутка Х, то она убывает на этом промежутке.

№31 Достаточные признаки существования экстремума (доказать одну из теорем).

1) Если при переходе ч/з т. х_о производная дифференцируемой ф-ции у=f(x) меняет свой знак с «+» на «-», то т. х_о есть точка максимума ф-ции у=f(x) , а если с «-» на «+», то –точка минимума.

Пусть производная меняет знак с «+» на «-»,т е в некотором интервале (а,х_о) производная положительна (f ^/(х)>0), а в некотором интервале (х_о;b)- отрицательна (f ^/(х)<0). Тогда в соответствии с достаточным условием монотонности ф-ция f(x) возрастает на интервале (а;х_о) и убывает на (х_о;b). По опред возрастающей ф-ции f (х_о)≥ f (х) при х є (а;х_о), а по опред убывающей ф-ции f (х_о)≤ f (х) при х є (х_о;b), т е f (х_о)> f (х) при всех х є (а;b), следов. т. х_о- точка максимума ф-ции у=f(x). Аналогично, когда производная меняет знак с «-» на «+».

2) Если первая производная f ^/(х) дважды дифференцируемой ф-ции =0 в некоторой точке х_о, а вторая производная в этой точке f ^//(х) положительна, то х_о- есть точка минимума ф-ции f ^/(х), если f ^//(х)-отрицательна, то х_о- точка минимума.

№32 а)Понятие асимптоты графика ф-ции. б)Горизонтальные, наклонные и вертикальные асимптоты.в) Примеры.

а)Асимптотой графика ф-ции наз прямая, обладающая след св-ми: при удалении точки на графике ф-ции от начала координат, расстояние от этой точки до прямой стремится к 0.

б)1) Прямая х=х_о явл вертикальной асимптотой графика ф-ии у=f(х), если хотябы один из односторонних пределов ф-ции при х→х_о равен ∞: lim _х→хо+-0 f(х)=∞.(рис.)

т.х_о при этом явл точкой разрыва ф-ции.

2) Прямая у=b явл горизонтальной асимптотой ф-ции, если ф-ция определена при достаточно больших значениях х и сущ предел: lim _х→∞f(х)=b.(рис.)

3)Прямая y=kx+b явл наклонной асимптотой ф-ии у=f(х), если ф-ия определена при достаточно больших значениях х и сущ конечные пределы: k=lim_x→+-∞ f(х)/х; b= lim_x→∞[f(x)-kx].(рис.)

Горизонтальная асимптота явл частным случаем наклонной асимптоты при k=0, поэтому у ф-ии в одном направлении не может быть одновременно горизонтальной и наклонной асимптот.