7185

Пример: у=(2х²-1)/х. 1)вертик.асимптоты х=0; lim _х→0+0(2х²-1)/х= -∞; lim _х→0-0(2х²-1)/х=∞; х=0-вертик. асимптота. 2) наклонные асимптоты y=kx+b; k=lim_x→+-∞ f(х)/х= lim_x→+-∞(2х²-1)/хх =[∞∕∞]= lim_x→+-∞(х²(2-1/х²)/х²=2; b= lim_x→∞[f(x)-kx]= lim_x→∞[(2х²-1)/х-2х]= lim_x→∞(2х²-1-2х²)/х = lim_x→∞(-1)/х =0. у=2х+0; у=2х-наклонная асимтота. {если k=0, то горизонтальная асимптота }, {если получается ∞, то горизонтальных и вертикальных асимптот нет}.

№33 Общая схема исследования ф-ий и построения их графиков. Пример.

1) Область определения ф-ии, 2) исследовать на четность, нечетность, 3) найти асимптоты графика, 4)Исследовать ф-цию на возрастание и убывание и найти экстремумы. 5) Найти точки пересечения с осями координат. 6) Построить график ф-ции.

Пример: у= х²/(1-х²). 1) 1-х²≠0, х≠ + -1, (-∞;-1)V(-1;1)V(1;+∞). 2) четная- симметрична относительно ОУ. 3) асимптоты : -вертикальные: х= -1 lim_x→-1-ox²/(1-х²)= -∞;

lim_x→-1+ox²/(1-х²)=+∞. Х=1 lim_x→1-ox²/(1-х²)= +∞; lim_x→1+ox²/(1-х²)= -∞; х=1; х= -1-вертикальные асимптоты. Наклонные: y=kx+b; k=lim_x→+-∞ f(х)/х= lim_x→+-∞(х²(1-х²)х) =[∞∕∞]= lim_x→+-∞(х/х²(1/х²-1)=0; k=0; b= lim_x→∞[f(x)-kx]= lim_x→∞[х²/(1-х²)]=[∞/∞]= 2х/(-2)х= -1 b= -1; y= -1 –горизонтальная асимптота. 4) у^/=х²/(1-х²)=(2х²(1-х²)+х²(2х))/(1-х²)²=2х/(1-х²)². у^/=0, у^/- не сущ. 2х=0, х=0 , 1-х²=0, х= +-1. min(0;0), 5) ОХ у=0, х=0; ОУ х=0 у=0.

6)

№34 а)Ф-ции нескольких переменных. Примеры.б)Частные производные (определение). в)Экстремум ф-ции нескольких переменных и его необходимое условие.

а) Пусть имеется п переменных величин и каждому набору из значений (х_1,х_2,…,х_п) из некоторого множества Х соответствует одно вполне определенное значение переменной величины z. Тогда говорят, что задана ф-ция нескольких переменных z=f(x₁,…,x_n). Z=πх₁²х₂- задает объем цилиндра z как ф-цию 2-ух переменных: х₁(радиус основания) и х₂(высоты). Z=а₁х₁ +а₂х₂+…+ а_пх_п+ b, где а,…, а_п, b-постоянные числа (линейная ф-ция). Ф-ция Z=1/2∑^п_i,j=1b_ijx_ix_j (b_ij-постоянные числа) называется квадратической.

б) Частной производной ф-ции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения ф-ции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к 0( если этот предел сущ) Z^/x, f ^/х(х,у) .

в) Точка М(х_о;у_о) называется точкой максимума (минимума) ф-ции z=f(x_,у)_, если сущ окрестность точки М, такая, что для всех точек (х;у) из этой окрестности выполняется неравенство f(x_o;y_o)≥f(x;y)(( f(x_o;y_o)≤f(x;y)).

Необходимое условие экстремума. Теорема: Пусть точка (x_o;y_o)- есть точка экстремума дифференцируемой ф-ции z=f(x_,у). Тогда частные производные f ^/х(x_o;y_o) и f ^/у(x_o;y_o) в этой точке =0.

№35 а)Понятие об эмпирических формулах и методе наименьших квадратов.б) Подбор параметров линейной ф-ции( вывод системы нормальных уравнений).

а) Формулы служащие для аналитического представления опытных данных наз эмпирическими формулами. Суть метода наименьших квадратов: Неизвестные параметры ф-ции у= f(x) подбираются таким образом, чтобы ∑ квадратов невязок была минимальной. Невязками наз отклонения м/д теоретическими значениями f(x_i), полученных по формуле у= f(x) и эмпирическими значениями у_i обозначается δ_i= f(x_i)-у_i.

б) Предположим, что м/д х и у сущ линейная зависимость (х, у- переменные), т е у=ах+b. ∫=∑^п_i=1(ах_i+b-y_i)² должна быть min. а,b-переменные;{S^/а=0, S^/b=0}; S^/а=∑^п_i=12(ах_i+b-y_i)(х_i)=0, S^/b=∑^п_i=12(ах_i+b-y_i)1=0; ∑^п_i=1(ах_i+b-y_i)(х_i)=0, ∑^п₀₌₁(ах_i+b-y_i)=0; {∑^п_i=1ах_i+∑^п_i=1bх_i-∑^п_i=1y_iх_i=0; ∑^п₀₌₁ах_i+∑^п₀₌₁b-∑^п₀₌₁y_i)=0};и {а∑х_i²+b∑х_i=∑y_iх_i; a∑х_i+nb=∑y_i}.

№36 а)Дифференциал ф-ции и его геометрический смысл. б)Инвариантность формы дифференциала 1-го порядка.

а)Дифференциалом ф-ции наз главная линейная относительно ∆х часть приращения ф-ции равная произведению производной на приращение независимой переменной (обозначается dy- главная линейная часть) dy= f(x) ∆х (1). Дифференциал независимой переменной х равен приращению этой переменной, тогда формулу (1) можно записать как dy= f^/(x)dх. С геометрической точки зрения дифференциал ф-ии есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции у= f(x) в данной точке, когда х получает приращение ∆х.

Рассм график ф-ии у= f(x):

т.М –произвольная, <φ-егол наклона касательной к ОХ. ∆у=АВ+ВК, из ∆АМВ найдем АВ: АВ=tg φМА= tg φ∆х=f ^/(х) ∆х; ∆у= f ^/(х) ∆х+ВК.

б)Инвариантность (неизменность) формулы дифференциала: Если ф-ция у= f (х), следов. dy= f^/(x)dх. Рассм сложную ф-цию у=f(u),где u=φ(х). Найдем производную ф-ции. у^/х= f ^/u∙ u^/х |∙ dх; у^/х dх= f ^/u∙ u^/х dх; dу= f ^/u∙ du. Т о видно, что формула дифференциала не изменится, если вместь ф-ции от независимой переменной Х рассматривать ф-цию от зависимой переменной u.

№52 а)Знакочередующиеся ряды. б)признак Лейбнмца сходимости знакочередующихся рядов.в)Абсолютная и условная сходимость рядов.

а) Под знакочередующимся рядом понимается ряд, в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны: и₁-и₂-и₃-и₄+…+(-1)^п-1и_п+…, где и_п>0.

б)Теорема(Признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и₁ >и₂>…>u_n>…и предел его общего члена при п→∞ равен 0, т е limu_n=0,то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена: S≤u₁.

в) Ряд наз абсолютно сходящимся, если сходятся как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Ряд наз условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

№14 а)Понятие элементарной ф-ции. б)Основные элементарные ф-ии и их графики (постоянная, степенная, показательная, логарифмическая).

а) Ф-ции, построенные из основных элементарных ф-ий с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной ф-ции, наз элементарными.

б)1)Постоянная: у=b (b||OX) (рис.)

2)Степенная: А) у=х^п, п -натуральное число. Для п-четного (рис у=х², у=х⁴): 1-D(f)=(-∞;+∞); 2-Е(f)=[0;+∞); 3(-∞;0)-убывает, (0;+∞)-возрастает; 4-четные; 5- непериодические. Для п-нечетного(рис у=х, у=х³, у=х⁵): 1- D(f)=(-∞;+∞); 2-Е(f)=(-∞;+∞); 3- (-∞;+∞)-возрастает; 4- нечетные; 5- непериодичные. Б) у=1/х^п, п- натуральное число. Для п-четного (рис у=1/х², у=1/х⁴); 1-D(f)=(-∞;0)V(0;+∞); 2-Е(f)=[0;+∞); 3(-∞;0)- возрастает, (0;+∞)- убывает; 4-четные; 5- непериодические. Для п-нечетного(рис у=1/х): 1- D(f)=(-∞;0)V(0;+∞); 2-Е(f)= (-∞;0)V(0;+∞); 3-(-∞;0), (0;+∞)-убывает; 4- нечетные; 5- непериодичные. В) у=х^1/п. Для п-четного (рис у=х^1/2). 1-D(f)=[0;+∞); 2-Е(f)=[0;+∞); 3(0;+∞)-возрастает; 4-общего вида; 5- непериодические. Для п-нечетного(рис у=х^1/3): 1- D(f)=(-∞;+∞); 2-Е(f)=(-∞;+∞); 3- (-∞;+∞)-возрастает; 4- нечетные; 5- непериодичные.3)Показательная: у=а^х (а>0; a≠1). Для а>1(рис): 1-D(f)=(-∞;+∞); 2-Е(f)=(0;+∞); 3(-∞;+∞)-возрастает; 4-общего вида; 5- непериодические. Для 0<a<1(рис): 1- D(f)=(-∞;+∞); 2-Е(f)=(0;+∞); 3- (-∞;+∞)-убывает; 4- общего вида; 5- непериодичные. 4)Логарифмическая: (а>0; a≠1). У=log_ax. Для а>1(рис): 1-D(f)=(0;+∞); 2-Е(f)=(-∞;+∞); 3(0;+∞)-возрастает; 4-общего вида; 5- непериодические. Для 0<a<1(рис): 1- D(f)=(0;+∞); 2-Е(f)=(-∞;+∞); 3- (0;+∞)-убывает; 4- общего вида; 5- непериодичные.

№23 а)Непрерывность ф-ии в точке и на промежутке.б) Св-ва ф-ций, непрерывных на отрезке. в)Точки разрыва.г)Примеры.

а) Функция у= f (х) наз непрерывной в точке х_о, если она удовлетворяет след условиям:1)определена в точке х_о, т е сущ f (х_о), 2) сущ конечные односторонние пределы ф-ии при х→х_о слева и справа. 3) Эти пределы равны значению ф-ии в точке f (х_о)=lim_x→xo-o f (х)= lim_x→xo+o f (х). Ф-ия у= f (х) наз непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

б)1^о Если ф-ия у= f (х) непрерывна на отрезке [a;b],то она ограничена на этом отрезке. (рис.) 2^о Если ф-ия у= f (х) непрерывна на отрезке [a;b],то она достигает на этом отрезке наименьшего значения т и наименьшего М. (рис). 3^о Если ф-ия у= f (х) непрерывна на отрезке [a;b] и значения ее на концах отрезка f (а) и f (b) имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется т. Е є (a;b) такая, что f (Е)=0. (рис).

в) Если в какой-либо точке х_о для ф-ии у=f(х) не выполняется по крайней мере одно из условий непрерывности, то точка х_о наз точкой разрыва ф-ии, причем 1)если сущ конечные односторонние пределы ф-ии, не равные др другу, т е lim_x→xo-o f (х)≠ lim_x→xo+o f (х), то точка х_о наз точкой разрыва 1-го рода. 2)если хотябы один из односторонних пределов ф-ии =∞ или несущ: lim_x→xo-o f (х)=∞, lim_x→xo+o f (х)=∞, то точка х_о наз точкой разрыва 2-го рода.

г) Пример: Исследовать ф-цию на непрерывность, установить характер точек разрыва. У=х/(х-1) х=1 1) f(1)-неопределенна, 2) lim_x→1-o х/(х-1)= -∞, lim_x→1+o х/(х-1)= +∞,

х=1- точка разрыва 2-го рада.

№28 Теоремы Ролля и Лагранжа (без док-ва). Геометрическая интерпретация этих теорем.

Теорема Роля: Пусть ф-ия у= f (х) удовлетворяет след условиям: 1) непрерывна на отрезке [a;b],2) дифференцируема на интервале (a;b), 3) на концах отрезка принимает равные значения f (а)=f (b), тогда внутри отрезка сущ по крайней мере одна точка С є (a;b), производная в кот =0, f ^/(С)=0.Рассм геометрич смысл теоремы: Теорема Роля утверждает, что если ф-ция удовлетворяет всем указанным условиям, то внутри интервала найдется хотыбы одна точка С (в нашем сл их 3-С₁,С₂,С₃), касательная к графику в этой точке будет параллельна оси ОХ.

Теорема Лагранжа: Пусть ф-ия у= f (х) удовлетворяет след утверждениям: 1) непрерывна на отрезке [a;b],2) дифференцируема на интервале (a;b), то тогда внутри интервала (a;b) сущ по крайней мере одна точка С є(a;b), производная ф-ии в кот =отношению приращения ф-ии на этом интервале к приращению аргумента f ^/(С)=(f (b)- f (с))/ (b-с). Рассм геометрич смысл теоремы: Теорема Лагранжа утверждает, что в интервале (a;b) найдется по крайней мере одна точка С такая, что касательная проведенная к графику ф-ии в этой точке будет || прямой АВ, соединяющей концы графика ф-ии на отр АВ.

№24 а)Производная и ее геометрический смысл.б) Уравнение касательной к плоскости кривой в заданной точке.

а)Производной ф-ии у= f (х) наз предел отношения приращения ф-ции ∆у к приращению аргумента ∆х при условии, что ∆х→0: у^/=lim_∆х→0∆у/∆х.. Геометрич смысл производной ф-ии в точке: производная ф-ии в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику ф-ии в этой точке. k=f ^/(х_о).

б) у-у_о= f ^/ _хо (х_о)(х-х_о)- уравнение касательной.

№25 а)Дифференцируемость ф-ции одной переменной.б) Связь м/д дифференцируемостью и непрерывностью ф-ии (доказать теорему).

б)Теорема: Если ф-ия у= f (х) дифференцируема в точке х_о, то она в этой точке непрерывна.

По усл ф-ия у= f (х) дифференцируема в точке х_о, т е сущ конечный предел lim_∆х→0∆у/∆х= f ^/(х_о),где f ^/(х_о)-постоянная величина, не зависящая от ∆х. Тогда на основании теоремы о связи бесконечно малых с пределами ф-ий можно записать: ∆у/∆х= f ^/(х_о)+L(∆х), где L(∆х)- бесконечно малая величина при ∆х→0 или ∆у= f ^/(х_о) ∆х +L(∆х) ∆х. При ∆х→0 на основании св-в бесконечно малых устанавливаем, что ∆у→0 и следов по опред ф-ия у= f (х) в точке х_о явл непрерывной. Обратная теорема не верна. Т о неперерывность ф-ии необходимое, но не достаточное усл дифференцируемости ф-ии.

№37 а)Понятие первообразной ф-ции. б)Неопределенный интеграл и его св-ва (одно доказать).

а) Ф-ия F(x) наз первообразной ф-ией для ф-ии f (х) на интервале Х, если в каждой точке этого интервала F^/ (x)= f (х).

б) совокупность всех первообразных ф-ции f (х) на промежутке Х наз неопред интегралом от ф-ии f (х). Обозначается ∫ f (х)dx=F(x)+C , (х)-подынтегральная ф-ия. f (х)dx-подынтегральное выражение, dx-дифференциал переменной интегрирования. Св-ва: 1)Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной ф-ии (∫ f (х)dx)^/= f(х). Дифференцирую левую и правую части равенства, получаем: (∫ f (х)dx)^/=( F(x)+C)^/= F^/ (x)+C^/= f (х). 2) дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению. d (∫ f (х)dx)= f (х)dx. 3) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой ф-ии равен этой ф-ии с точностью до постоянного слагаемого ∫ d F(x)= F(x)+С. 4) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: ∫С f (х)dx=С ∫f(х)dx; 5) Интеграл от суммы (разности) ф-ий равен сумме (разности) интегралов от этих ф-ий: ∫(f(х)+- g(х)) dx= ∫f(х) dx +- ∫g(х) dx.

№38 Метод замены переменной в неопределенном интеграле и особенности применения этого метода при вычислении определенного интеграла.

Пусть задан интеграл ∫ f (х)dx- не может быть непосредственно преобразован к табличному интегралу. Введем новую переменную t след образом: х=φ(t). Dx= φ^/(t)dt. ∫ f (х)dx=∫ f [φ(t)]φ^/ (t)dt=∫ φ(t)dt-формула замены переменной в неопред интеграле.

Пусть ф-ия х= φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [L;B], причем а=φ(L), b=φ(B). А данная ф-ия f (х) не прерывна в каждой точке х, где х= φ(t), тогда справедлива след формула: ∫^b_a f (х)dx=∫^b_a f [φ(t)]φ^/ (t)dt- формула замены переменной в определенном интеграле.

№41 а)Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу. б)ТФормула Ньютона-Лейбница.

а)Теорема: Пусть ф-ия f (х) непрерывна на отрезке [a;b], тогда в каждо точке х отрезка [a;b] производная ф-ии Ф(х) по переменному верхнему пределу равна подынтегральной ф-ии f (х), т е Ф^/(х)=(∫^х_аf(t)dt)=f(x).

б) Пусть ф-ия у=f (х) непрерывна на отрезке [a;b], F(x)-любая первообразная для ф-ии f (х) на отрезке [a;b], тогда определенный интеграл от ф-ии f (х) на отр [a;b] равен приращению первообразной F(x) на этом отрезке: ∫^b_af(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)|^b_a.-формула Ньютона-Лейбница.

№42 а)Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.б)Интеграл Пуассона(без док-ва)

а) Несобственным интегралом с бесконечным верхним переделом ∫^+∞_а f(x)dx от ф-ии f(x) наз предел интеграла ∫^t_а f(x)dx, t→+∞, ∫^+∞_а f(x)dx=lim_t→+∞ ∫^t_а f(x)dx. Если этот предел сущ или равен конечному числу, то интеграл наз сходящимся, а противном случае расходящимся. Аналогично: Несобственный интеграл с нижним бесконечным пределом: ∫^b_-∞ f(x)dx=lim_t→-∞ ∫^b_t f(x)dx.

№43 вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла. Примеры.

1)Пусть ф-ия у= f(x) неопределенна и неотрицательна на отр [a;b], тогда согласно геометрическому смыслу определенного интеграла S криволинейной трапеции, ограниченной кривой у= f(x), осью ОХ, слева прямой х=а, справа прямой х=b численно равна опред интегралу от ф-ии f(x) на отрезке [a;b]. S=∫^b_af(x)dx. (рис).

2)Если ф-ия у= f(x) неположительная на отр [a;b], то S над кривой у= f(x) вычисляется по формуле : S=-∫^b_af(x)dx. (рис).

3)Пусть плоская область ограничена сверху ф-ией у= f(x), снизу ф-ией у= g(x), слева и справа прямыми х=а, х=b, тогда ее S вычисляется по формуле: S=∫^b_a[f(x)-g(x)]dx. (рис).

Пример: Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями у= -х²,у=е^2х,х=0,х=1. (рис). S=∫¹_o(e^2x+x²)dx=∫¹_oe^2xdx+∫¹_ox²dx=| 2x=t, 2dt=dt, x=0 t=0, x=1 t=2|= 1/2∫²₀e^tdt+x³/3|¹_o=1/2e^t|²_o+1/3=1/2(e²-e^o)+1/3=e²/2-1/6 (кв.ед).

№45 а)Понятие о дифференциальном уравнении.б)Общее и частное решения.в) Задача Коши.г)Задача о построении матеметической модели демографического процесса.

а)Дифференциальным уравнением наз уравнение, связывающее искомую ф-цию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков донной ф-ии.

б)Общим решением дифференциального ур-ния g(x,y,y^/,…,y⁽ⁿ⁾)=0 n-го порядка наз такое его решение у=φ(х,с_1,…,с_п), кот явл ф-ией переменной х и произвольных независимых постоянных С_1,С₂,…,С_п. (независимость постоянных означает отсутствие каких-либо соотношений м/д ними). Частным решением дифференциального ур-ния наз решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных С_1,С₂,…,С_п.

№47 Однородные и линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и их решения. Примеры.

Однородные: у^/=f(y/x). Решение: Выполняем замену у=и(х)х. у^/=и^/х+х^/и=и^/х+и. и^/х+и=f(их/х).Получили уравнение с разделяющими переменными: и^/х=f(и)и. хdи/х=f(и)-и. Пример: (ху-х²)у^/=у²-уравнение с разделяющими переменными у^/=у²/(ху-х²)=у²/х²(у/х-1)=(у/х)²/(у/х-1)-однородное уравнение. и^/х+и=f(их/х)=(их/х)²/(их/х-1); и^/х+и=и²/(и-1); dи/dx∙х=(и²/(и-1))-и; dи/dx∙х=и/(и-1); dи∙х=и(и-1) dx; (и-1)/и dи=dх/х; ∫(и-1)/и dи =∫ dх/х; ∫(и-1)/и=∫и/и-∫1/и=и-ln|и|; и=ln|u|+C=lnx; u=ln|u|+ln|x|+ln|C|; u=ln|cux|; y|x=ln|c∙y/x∙x|; y/x=ln|cy|; y=xln|cy|.

Линейные: у^/+Р(х)у=Q(x). Решение: Замена у=u(x)∙v(x) или y=uv. y^/=u^/v+v^/u, y=u(x)v(x). u(v^/+P(x) v)+u^/v= Q(x). Пусть { v^/+P(x) v =0; u^/v= Q(x)}. Каждое уравнение системы явл дифференциальным уравнением с разделяющими переменными. Решаем их и записываем общее решение, как у=u v. Пример: у^/-2у=е^2х, у= u(x)∙v(x), y^/=u^/v+v^/u, u^/v+v^/u-2 uv=е^2х; u(v^/-2v)+u^/v=e^2x; {u^/-2v=0,u^/v=e^2x}; dv/dx=2v; dv=2vdx; dv/v=2dx; ∫dv/v=2∫dx; ln|v|=2x+C (C=0); v=e^2x. u^/v=e^2x; u^/e^2x=e^2x; u^/=1; du/dx=1; du=dx; ∫du=∫dx; u=x+C; y=uv=(x+C)e^2x-общее решение.

№48 а)Определение числового ряда.б) Сходимость числового ряда.в) Необходимый признак сходимости рядов (доказать). Примеры.

а)Числовым рядом наз бесконечная последовательность чисел и_1,и_2,…,и_п,…, соединенных знаком сложения. и₁₊и_2+…+и_п…=∑^∞_п=1и_п,, и₁₊и_2+…+и_п…-члены ряда, и_п-общий или п-ый член ряда.

б)Ряд наз сходящимся, если сущ конечный предел последовательности его частичных сумм, т е lim_n→∞S_n=S. Число S- сумма ряда. В этом смысле можно записать и₁₊и_2+…+и_п+…=∑^∞_п=1и_п=S.

в)Теорема( необходимый признак сходимости). Если ряд сходится, то предел его общего члена и_п при п→∞ равен нулю, т е lim _п→∞u_n=0. Выразим п-ый член ряда ч/з сумму его п и (п-1) членов, т е и_п=S_n-S_n-1. Т к ряд сходится, то lim _п→∞ S_n=S и lim _п→∞S_n-1=S, следов. lim _п→∞u_n= lim _п→∞ (Sn- S_n-1)= lim _п→∞ S_n- lim _п→∞S_n-1=S-S=0.

Пример: ∑^∞_п=1(4n+3)/(5n-7); lim _п→∞u_n= lim _п→∞(4n+3)/(5n-7)=4/5≠0, т е ряд расходится.

№15 а) Уравнение линии на плоскости. б)Точка пересечения двух линий.в) Огсновные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести).

а) Уравнением линии на плоскости Оху наз уравнение, кот удовлетворяют координаты х и у каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой прямой.

б) Пусть даны две прямые А₁х+В₁у+С₁=0 и А₂х+В₂у+С₂=0_. Очевидно, координаты их точки пересечения должны удовлетворять уравнению каждой прямой, т е они могут быть найдены из системы: { А₁х+В₁у+С₁=0 ; А₂х+В₂у+С₂=0}. Если прямые не параллельны, т е А₁/А₂≠В₁/В₂, то решение системы дает ед точку пересечения прямых.

№30 а)Определение экстремума ф-ии одной переменной.б) Необходимый признак экстремума (доказать).

а)Экстремумами наз точки максимума и минимума. Точка х_о наз точкой максимума ф-ии f(x), если в некоторой окрестности т. х_о выполняется неравенство f(x)≥f(x_o). Точка х₁ наз точкой минимума ф-ии f(x), если в некоторой окрестности т. х₁ выполняется неравенство f(x)≤f(x₁).

б)Необходимое условие экстремума: Для того чтобы ф-ия у= f(x) имела экстремум в точке х_о, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю (f ^/(x_o)=0) или не существовала.

№50 Признаки сравнения Доламбера сходимости знакоположительных рядов. Примеры.

Теорема. Пусть для ряда ∑^∞_п=1и_п с положительными членами сущ предел отношения (п+1)-го члена к п-му члену lim_n→∞(u_n+1)/u_n=L. Тогда, если l<1, то ряд сходится, если l>1, то расходится, если l=1, то вопрос остается нерешенным. Примеры: а) ½+2/2²+…+п/2^п+…, т к lim_n→∞(u_n+1)/u_n= lim_n→∞((п+1)/(2^п+1))п/2^п= lim_n→∞(п+1)/2п=1/2<1, то по признаку Даламбера ряд сходится. б) ∑^∞_п=13^пп!/п^п, т к lim_n→∞(u_n+1)/u_n= lim_n→∞(3^п+1(п+1)!/(п+1)^п+1)/(3^пп!/п^п)= lim_n→∞(3п/(п+1))^п=3/( lim_n→∞(п/(п+1))^п=3/е>1-расходится.

№51 Интегральный признак сходимости знакоположительных рядов. Пример.

Теорема: Пусть дан ряд ∑^∞_п=1и_п,члены кот положительны и не возрастают, т е u₁≥u₂ ≥…≥u_n≥…_, а ф-ия f(x), определенная при х≥1, непрерывная и невозрастающая и f(1)=u₁, f(2)=u₂,…, f(n)=u_n,…,тогда для сходимости ряда ∑^∞_п=1и_п необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл ∫^∞₁f(x)dx. Пример: ∑^∞_п=11/п². Пусть f(x)=1/x². Функция f(x) при х>0 (а значит и при х≥1) положительная и невозрастающая (точнее убывающая). Поэтому сходимость ряда равносильна сходимости несобственного интеграла ∫^∞₁dx/х², следов. I=∫^∞₁dx/x²=lim_b→∞∫^b₁ dx/x². Если L=1, то I= lim_b→∞(ln|x||^b₁)= lim_b→∞(ln|b|-ln1)=∞. Если L≠1, то I= lim_b→∞((x ^-L+1)/(-L+1)|^b₁)= 1/(1-L) lim_b→∞(b^1-L-1)={1|(L-1) при L>1; ∞ при L <1}-ряд сходится при L>1 и расходится при L ≤1 .

№17 а)Предел последовательности при п→∞ и предел ф-ии при х→∞.б) Признаки существования предела (с доказательством теоремы о пределе промежуточной ф-ии).

а) Число А наз пределом чиловой последовательности {a_n}, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ε >0, найдется такой номер N (зависящий от ε, N=N(ε)), что для всех членов последовательности с номерами n>N верно неравенство |a_n-A|<ε. Предел числовой последовательности обозначается lim_n→∞a_n=A или a_n→∞ при n→∞. Последовательность, имеющая предел, наз сходящейся, в противном случае-расходящейся. Число А наз пределом ф-ии у=f(x) при х→∞, если для любого сколь угодно малого положительного числа Е найдется такое положительное число М=0, что для всех х удовлетворяющих равенству |x|>M выполняется неравенство |f(x)-A|<E.При этом говорят, что A=lim_x→∞f(x).

б)Теорема1: Если числовая последовательность {a_n} монотонна и ограничена, то она имеет предел. Теорема2: Если в некоторой окрестности точки х_о (или при достаточно больших значениях х) ф-ия f(x) заключена м/д двумя ф-ями φ(х) и ψ(х), имеющими одинаковый предел А при х→х_о (или х→∞), то ф-ия f(x) имеет тот же предел А. Пусть при х→х_о lim _х→хо φ(х)=А, lim _х→хо ψ(х)=А. Это означает, что для любого ε>0 найдется такое число δ>0, сто для всех х≠х_о и удовлетворяющих условию |x-x_o|<δ будут верны одновременно неравенства | φ(х)-А|<ε, | ψ(х)-А|<ε или А-ε< φ(х)<A+ε, A-ε< ψ(х)<A+ε. Т к по усл ф-ия f(x) заключена м/д двумя ф-ми, т е φ(х)≤ f(x) ≤ ψ(х), то из неравенства А-ε< φ(х)<A+ε, A-ε< ψ(х)<A+ε следует, что A-ε< f(х)<A+ε, т е |f(x)-A|<ε. А это и означает, что lim_x→хоf(x)=А.

№18 а)Определение предела ф-ии в точке. б)Основные теоремы о пределах (одну доказать).

а)Число А наз пределоф ф-ии f(x) при х→х_о (или в точке х_о), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ε>0, найдется такое положительное число δ>0 (зависящее от ε, δ=δ(ε)), что для всех х≠х_о и удовлетворяющих условию |x-x_o|<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε. Этот предел ф-ии обозначается lim_x→xof(x)=A или f(x)→A при x→x_о.

б) 1) Ф-ия не может иметь более одного предела. Док-во: Предположим противное, т е что ф-ия f(x) имеет два предела А и D, A≠D. Тогда на основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами ф-ий в соответствии с формулой f(x)=A+α(x), f(x)=D+β(x),где α(x), β(x)- бесконечно малые при x→x_o(x→∞). Вычитая почленно эти равенства, получим 0= A-D+(α(x)-β(x)), откуда α(x)-β(x)= D-А. Это равенство не возможно, т к на основании св-ва 1 бесконечно малых α(x)-β(x) есть величина бесконечно малая. Следовательно, предположение о существовании второго предела неверно. 2) Предел алгеброической суммы конечного числа ф-ии равен такой же сумме пределов этих ф-ий, т е lim_x→xo(∞)[f(x)+φ(x)]=A+B. 3) Предел произведения конечного числа ф-ий равен произведению пределов этих ф-ий, т е lim_x→xo(∞)[f(x)φ(x)]=AB. В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела, т е lim_x→xo(∞)(сf(x))=сA. 4) Предел частного двух ф-ий равен частному пределов этих ф-ий (при условии, что предел делителя не равен нулю), т е lim_x→xo(∞)f(x)/φ(x)=A/B (В≠0). 5) Если lim_u→uof(u)=A, lim_x→xoφ(x)=u_o, то предел сложной ф-ии lim_x→xof[φ(x)]=A. 6) Если в некоторой окрестности точки х_о ( или при достаточно больших х) f(x)<φ(x), то lim_x→xo(∞)f(x)≤ lim_x→xo(∞)φ(x).