7185

№54 Разложение в ряд Маклорена ф-ии у=ln(1+x)(вывод). Интервал сходимости полученного ряда.

Получить разложение ф-ии у=ln(1+x) след образом: Рассм геометрический ряд 1/(1+х)=1-х+х²-х³+…+(-1)^пх^п+… со знаменателем q= -x, кот сходится при |q|=|-x|<1, т е при -1<x<1, к ф-ии f(x)=a/(1-q)=1/(1+x). Интегрируя равенство 1/(1+х)=1-х+х²-х³+…+(-1)^пх^п+… в интервале (0;х), где |x|<1, с учетом того, что ∫^х_оdx/(1+x)=ln|1+x||^x_o=ln(1+x), получим ln(1+x)=х-х²/2+х³/3-…+((-1)^пх^п+1)/(п+1)+…. Область сходимости ряда (после выяснения сходимости на концах интервала сходимости) есть (-1;1].

№55 Разложение в ряд Маклорена ф-ции у=(1+х)^п (вывод). Интервал сходимости полученного ряда.

у=(1+х)^п, где п- любое действительное число. Имеем f(x)=(1+x)ⁿ, f ^/ (x)=n(1+x)^n-1, f ^// (x)=n(n-1)(1+x)^n-2, f ^/// (x)=n(n-1)(n-2)(1+x)^n-3,…,f⁽ⁿ⁾(x)=n(n-1)…(n-k+1)(1+x)^n-k. При х=0 f(0)=1, f ^/ (0)=m, f ^// (0)=n(n-1), f ^/// (0)=n(n-1)(n-2), …, f⁽ⁿ⁾(0)=n(n-1)…(n-k+1). По формуле f(x)=f(0)+ f ^/ (0)x+ (f ^// (0))/2! ∙x²+( f ^/// (0))/3!∙x³+…+( f⁽ⁿ⁾(0))/n!∙xⁿ+…, получаем:

(1+x)ⁿ=1+nx+(n(n-1))/ 2! ∙x²+(n(n-1)(n-2))/ 3!∙x³+…+(n(n-1)(n-k+1))/ n!∙xⁿ+….Интервал сходимости ряда (-1;1) (на концах интервала при х=+- 1 сходимость ряда зависит от конкретных значений п). Ряд (1+x)ⁿ=1+nx+(n(n-1))/ 2! ∙x²+(n(n-1)(n-2))/ 3!∙x³+…+(n(n-1)(n-k+1))/ n!∙xⁿ+…. наз биномиальным. Если п- целое положительное число, то биномиальный рад представляет формулу бинома Ньютона, т к при k=n+1, n-k+1=0, n-ый член ряда и все последующие равны нулю, т е ряд обрывается и вместо бесконечного разложения получается конечная сумма.

№39 Метод интегрирования по частям для случаев неопределенного и определенного интегралов (вывести формулу). Примеры.

Пусть и=и(х) и v=v(x)-дифференцируемые ф-ии. Тогда по св-ву дифференциала d(uv)=vdu+udv или udv=d(uv)-vdu. Интегрируя обе части и учитывая, что: d(∫f(x)dx)=f(x)dx u ∫(f(x)+-g(x))dx=∫f(x)dx+-∫g(x)dx, получаем: ∫udv=uv-∫vdu-формула интегрирования по частям для неопред интеграла. Пусть ф-ии и=и(х) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a;b], тогда : ∫^b_a udv=uv|^b_a-∫^b_a vdu, где uv|^b_a=u(b)v(b)-u(a)v(a)-для опред интеграла. Т к (uv)^/=u^/v+uv^/, то ф-ия uv явл первообразной для ф-ии u^/v+uv^/. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница u ∫(f(x)+-g(x))dx=∫f(x)dx+-∫g(x)dx, получаем: uv|^b_a=∫^b_a(u^/v+uv^/)dx=∫^b_avu^/dx+ ∫^b_auv^/dx, что равносильно ∫^b_a udv=uv|^b_a-∫^b_a vdu, т к по определению дифференциала u^/(x)dx=du и v^/(x)dx=dv. Примеры:А) ∫xln(x²+1)dx=|u= ln(x²+1), dv=xdx,du=2xdx/(x²+1), v=∫dv=∫xdx=x²/2|=x²/2ln(x²+1)-∫x²/2∙2xdx(x²+1)=x²/2ln(x²+1)-∫x³/(x²+1)dx=| x³/(x²+1)=x+x/(x²+1)=x²/2ln(x²+1)-∫(x-x(x²+1)dx= x²/2ln(x²+1)-∫xdx+∫x/(x²+1)dx=x²/2ln(x²+1)-x²/2+∫x/(x²+1)dx=|x²+1=t, 2xdx=dt, xdx=dt/2|=x²/2ln(x²+1)-x²/2+∫dt/2t=x²/2ln(x²+1)-x²/2+1/2lnt=x²/2ln(x²+1)-x²/2+(ln(x²+1))/2= ln(x²+1)(x²/2+1/2)-x²/2=((x²+1)2)ln(x²+1)-x²/2+C. Б) ∫^e-2_-1ln(x+2)dx=|x+2=t, dx=dt,x=e-2 t=e, x=-1 t=1|=∫^e₁lntdt=|u=lnt, dv=dt, v=∫dv=∫dt=t, du=dt/t|=|∫^b_a udv=uv|^b_a-∫^b_a vdu|=tlnt|^e₁-∫^e₁t/tdt=elne-1ln1-x|^e₁=e-(e-1)=e-e+1=1

№40 а)определенный интеграл как предел интегральной суммы. б)Св-ва определенного интеграла.

a)Определенным интегралом от ф-ии у=f(x) на отрезке [a;b] наз предел интегральной суммы ∑^п_i=1f(c_i)∆x_i=f(c₁)∆x₁+ f(c₂)∆x₂+…+ f(c_n)∆x_n при λ→0 ∫^b_af(x)dx=lim_λ→o ∑ⁿ_i=1f(c_i) ∆x_i.

b) 1) Постоянный множитель можно выность за знак определенного интеграла: ∫^b_aLf(x)dx=L ∫^baf(x)dx L-const. 2) Определенный интеграл от алгебраической суммы ф-ций равен такой же сумме интегралов от этих ф-ий ∫^b_a[f(x)+-G(x)]dx= ∫^b_af(x)dx+- ∫^b_aG(x)dx. 3)При перестановке пределов интегрирования знак опред оитеграла меняется на противоположный ∫^b_af(x)dx= -∫^a_bf(x)dx. 4) Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждого полученного отрезка: ∫^b_af(x)dx=∫^с_af(x)dx+∫^b_сf(x)dx, a<c<b. 5) Если на отрезке [a;b] ф-ия φ(х) не превосходит ф-ии g(x) |φ(x)≤g(x)|, тогда ∫^b_af(x)dx≤ ∫^b_ag(x)dx. 6) Теорема о среднем: Если на отрезке [a;b] ф-ия у=f(x) непрерывна, то внутри отрезка найдется такая точка С, что выполняется выражение ∫^b_af(x)dx=φ(с)(b-a). Теорема о среднем утверждает, что сущ такая точка С, принадлежащая отрезку Сє [a;b], что площадь под кривой у=f(x) равна площади прямоугольника со сторонами: φ(с) и b-a. (рис)

№1. а)Понятие матрицы. б)Виды матрицы. в)Транспонирование матрицы. г)Равенство матриц. д)Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц.

№2. а)Определители 2-го,3-го и п-го порядков (определения и из св-ва). б)Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца.

№3.а)Квадратная матрица и ее определитель. б)Особенная и неособенная квадратные матрицы. в)Присоединенная матрица. г)Матрица, обратная данной, и алгоритм ее вычисления.

№4. а)Понятие минора к-го порядка. б)Ранг матрицы(определение).в)Вычисление ранга матрицы с помощию элементарных преодразований.Пример.

№5. а)Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. б)Теорема о ранге матрицы

№8. а)Система т линейных уравнений с п переменными (общий вид). б)Матричная форма записи такой системы. в)Решение системы(определение).г)Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.

№9. а) метод Гаусса решения системы п-линейных ур-ний с п переменными. б)Понятие о методе Жордана-Гаусса.

№10. Решение систем п линейных уравнений с п переменными с помощью обратной матрицы (вывод формулы Х=А^-1В.

№11 Теорема и формулы Крамера решения системы n линейных уравнений с n переменными (без вывода).

№12 Теорема Кронекера-Капелли. Условие определенности и неопределенности совместных систем линейных уравнений.

№13 Понятие функции, способы задания ф-ций. Область определения. Четные и нечетные, ограниченные, монотонные функции.

№14 а)Понятие элементарной ф-ции. б)Основные элементарные ф-ии и их графики (постоянная, степенная, показательная, логарифмическая).

№15 а) Уравнение линии на плоскости. б)Точка пересечения двух линий.в) Огсновные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести).

№16. а)Общее ур-ние прямой на плоскости, его исследование. б)Условия || и ┴прямых.

№17 а)Предел последовательности при п→∞ и предел ф-ии при х→∞.б) Признаки существования предела (с доказательством теоремы о пределе промежуточной ф-ии).

№18 а)Определение предела ф-ии в точке. б)Основные теоремы о пределах (одну доказать).

№19. а)Бесконечно малая величина (определение). б)Св-ва бесконечно малых (1 док-ть)

№20. а)Бесконечно большая величина (определение). б)Связь бесконечно малых величин с бесконечно большими.

№21. а)Второй замечательный предел, число е. б)Понятие о натуральных логарифмах.

№22. а)Пределы ф-ций. Раскрытие неопределенностей различных видов. Б)Правило Лопиталя.

№23 а)Непрерывность ф-ии в точке и на промежутке.б) Св-ва ф-ций, непрерывных на отрезке. в)Точки разрыва.г)Примеры.

№24 а)Производная и ее геометрический смысл.б) Уравнение касательной к плоскости кривой в заданной точке.

№25 а)Дифференцируемость ф-ции одной переменной.б) Связь м/д дифференцируемостью и непрерывностью ф-ии (доказать теорему).

№26 Основные правила дифференцирования ф-ций одной переменной (одно из них доказать).

№27.а)Формулы производных основных элементарных ф-ций (одну из них вывести). б)Производная сложной ф-ции.

№28 Теоремы Ролля и Лагранжа (без док-ва). Геометрическая интерпретация этих теорем.

№29 Достаточные признаки монотонности ф-ций (один из них доказать).

№30 а)Определение экстремума ф-ии одной переменной.б) Необходимый признак экстремума (доказать).

№31 Достаточные признаки существования экстремума (доказать одну из теорем).

№32 а)Понятие асимптоты графика ф-ции. б)Горизонтальные, наклонные и вертикальные асимптоты.в) Примеры.

№33 Общая схема исследования ф-ий и построения их графиков. Пример.

№34 а)Ф-ции нескольких переменных. Примеры.б)Частные производные (определение). в)Экстремум ф-ции нескольких переменных и его необходимое условие.

№35 а)Понятие об эмпирических формулах и методе наименьших квадратов.б) Подбор параметров линейной ф-ции( вывод системы нормальных уравнений).

№36 а)Дифференциал ф-ции и его геометрический смысл. б)Инвариантность формы дифференциала 1-го порядка.

№37 а)Понятие первообразной ф-ции. б)Неопределенный интеграл и его св-ва (одно доказать).

№38 Метод замены переменной в неопределенном интеграле и особенности применения этого метода при вычислении определенного интеграла.

№39 Метод интегрирования по частям для случаев неопределенного и определенного интегралов (вывести формулу). Примеры.

№40 а)определенный интеграл как предел интегральной суммы. б)Св-ва определенного интеграла.

№41 а)Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу. б)ТФормула Ньютона-Лейбница.

№42 а)Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.б)Интеграл Пуассона(без док-ва)

№43 вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла. Примеры.

№44 Приближенное вычисление определенного интеграла по формуле трапеций.

№45 а)Понятие о дифференциальном уравнении.б)Общее и частное решения.в) Задача Коши.г)Задача о построении матеметической модели демографического процесса.

№46 Простейшие дифференциальные ур-ния 1-го порядка (разрешенные относительно производной, с разделяющими переменными) и их решение. Примеры.

№47 Однородные и линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и их решения. Примеры.

№48 а)Определение числового ряда.б) Сходимость числового ряда.в) Необходимый признак сходимости рядов (доказать). Примеры.

№49 Гармонический ряд и его расходимость (доказать).

№50 Признаки сравнения Доламбера сходимости знакоположительных рядов. Примеры.

№51 Интегральный признак сходимости знакоположительных рядов. Пример.

№52 а)Знакочередующиеся ряды. б)признак Лейбнмца сходимости знакочередующихся рядов.в)Абсолютная и условная сходимость рядов.

№53 а)Условия разложения ф-ий в степенной ряд.б) Ряд Маклорена.в) Разложение в ряд Маклорена ф-ии у=е^х(вывод).г) Интервал сходимости полученного ряда.

№54 Разложение в ряд Маклорена ф-ии у=ln(1+x)(вывод). Интервал сходимости полученного ряда.

№55 Разложение в ряд Маклорена ф-ции у=(1+х)^п (вывод). Интервал сходимости полученного ряда.

№56 Приближенные вычисления значений ф-ий и определенных интегралов с помощью рядов. Примеры.

№49 Гармонический ряд и его расходимость (доказать).

Ряд 1+1/2+1/3+…+1/п+…, наз гармоническим. Необходимый признак сходимости выполнен: lim_n→∞u_n= lim_n→∞1/n=0. Докажем, что несмотря на это, гармонический ряд расходится. Вначале получим вспомогательное неравенство. С этой целью запишем сумму первых 2п и п членов ряда: S_2n=1+1/2+1/3+…+1/n+1/(n+1)+…+1/2n, S_n=1+1/2+1/3+…+1/n. Найдем разность: S_2n-S_n=1/(n+1)+…+1/2n. Заменяя в сумме каждое слагаемое наименьши, равным 1/2n, придем к вспомогательному неравенству S_2n-S_n>1/1n+…+1/2n=n∙1/2n=1/2 или S_2n-S_n>1/2. Предположим противное, т е что гармонический ряд сходится, тогда lim_n→∞S_n= lim_n→∞S_2n=S и, переходя к пределу в неравенстве |f(x)-A|<ε, получим, что S-S≥1/2 или 0≥1/2. Мы пришли к противоречию, следовательно, наше предположение о сходимости гармонического ряда неверно, т е гармонический ряд расходится.

№56 Приближенные вычисления значений ф-ий и определенных интегралов с помощью рядов. Примеры.

Степенные ряды имеют самые разнообразные приложения. С их помощью вычисляют с заданной степенью то точности значения ф-ий, определенных интегралов, кот слишком сложны для вычисления, интегрируются дифференциальные ур-ия.

Вычислить приближенно с точностью до 0,0001:

А) 36^1/5; Представим 36^1/5 в виде 36^1/5=(32+4)^1/5=2(1+1/8)^1/5. Т к х=1/8 входит в область сходимости степенного ряда (-1;1), то при х=1/8, м=1/5, учитывая u_n≤v_n, получим 36^1/5=2(1+1/5∙1/8+(1/5(1/5-1))/2!∙1/8²+…+(1/5(1/5-1)…(1/5-п+1))/п!∙1/8^п+…=2+0,05-0,0025+0,000188-0,000016+…=2,0477. (Для обеспечения данной точности расчета необходимо взять 4 члена, т к по следствию из признака Лейбниза для сходящегося знакочередующегося ряда погрешность |R_n|<0,000016<0,0001).

B) 1/e^3/5. Для вычисления 1/e^3/5= e ^-3/5,запишем ряд е^х=1+х+х²/2!+х³/3!+…+х^п/п!+… . при х= -3/5, принадлежащем области сходимости (-∞;∞):

е^-3/5=1-3/5+3²/52∙2!-3³/5³∙3!+…+(-1)^п/5^п∙п!+…=1-0,6+0,18-0,036+0,0054-0,000648+0,0000648-… . Взяв первые шесть членов разложения, на основании следствия из теоремы Лейбница для сходящегося знакочередующегося ряда мы допустим погрешность |R_n|, меньшую первого отброшенного члена (по абсолютной величине), т е |R_n|<0,0000648<0,0001. Итак, 1/e^3/5=1-0,6+0,18-0,036+0,0054-0,000648=0,548752=0,5488.

№46 Простейшие дифференциальные ур-ния 1-го порядка (разрешенные относительно производной, с разделяющими переменными) и их решение. Примеры.

Определение: ДУ 1-го порядка назыв ур-ние в кот входит неизвестная ф-ия, независимая переменная и производная ф-ии, F(x,y,y^/)=0. Общим решением ДУ 1-го порядка явл ф-ия y=φ(x;c). Основные типы ДУ 1-го порядка.

С разделяющимися переменными: а) y^/=f(x)g(x), б)P(x)Q(y)dx+N(x)M(y)dy=0,Решение: Необходимо преобразовать исходные ур-ия, т о чтобы ф-ии зависящие от х и dx были в одной части равенства, а ф-ии зависящие от у, dy-в др.(процедура разделения переменных). Далее необходимо про интегрировать обе части равенства: а) y^/=dy/dx. Dy/dx=f(x)g(x), dy/g(y)=f(x)dx, ∫dy/d(y)=f(x)dx. Б)P(x)Q(y)dx+N(x)M(y)dy=0, P(x)dx/N(x)= -M(y)dy/Q(y). ∫P(x)dx/N(x)=-∫M(y)dy/Q(y). Примеры: 3x²ydx+2(4-x³)1/2dy=0- С разделяющимися переменными.(3x²dx)/(4-x³)^1/2=-2dy/y. ∫(3x²dx)/(4-x³)^1/2=-∫2dy/y. ∫(3x²dx)/(4-x³)^1/2=|4-x³=t,-3x²dx=dt|=-∫dt/t^1/2=-2t^1/2= -2(4-x³)^1/2+C. -2(4-x³)^1/2+C₁= -2ln|y|+C₂ или -2(4-x³)^1/2+C= -2ln|y|. ln|Cy|=(4-x³)^1/2. Cy=e^(4-x3)1/2. y=C₁∙ e^(4-x3)1/2.

Однородные: у^/=f(y/x). Решение: Выполняем замену у=и(х)х. у^/=и^/х+х^/и=и^/х+и. и^/х+и=f(их/х).Получили уравнение с разделяющими переменными: и^/х=f(и)и. хdи/х=f(и)-и. Пример: (ху-х²)у^/=у²-уравнение с разделяющими переменными у^/=у²/(ху-х²)=у²/х²(у/х-1)=(у/х)²/(у/х-1)-однородное уравнение. и^/х+и=f(их/х)=(их/х)²/(их/х-1); и^/х+и=и²/(и-1); dи/dx∙х=(и²/(и-1))-и; dи/dx∙х=и/(и-1); dи∙х=и(и-1) dx; (и-1)/и dи=dх/х; ∫(и-1)/и dи =∫ dх/х; ∫(и-1)/и=∫и/и-∫1/и=и-ln|и|; и=ln|u|+C=lnx; u=ln|u|+ln|x|+ln|C|; u=ln|cux|; y|x=ln|c∙y/x∙x|; y/x=ln|cy|; y=xln|cy|.

Линейные: у^/+Р(х)у=Q(x). Решение: Замена у=u(x)∙v(x) или y=uv. y^/=u^/v+v^/u, y=u(x)v(x). u(v^/+P(x) v)+u^/v= Q(x). Пусть { v^/+P(x) v =0; u^/v= Q(x)}. Каждое уравнение системы явл дифференциальным уравнением с разделяющими переменными. Решаем их и записываем общее решение, как у=u v. Пример: у^/-2у=е^2х, у= u(x)∙v(x), y^/=u^/v+v^/u, u^/v+v^/u-2 uv=е^2х; u(v^/-2v)+u^/v=e^2x; {u^/-2v=0,u^/v=e^2x}; dv/dx=2v; dv=2vdx; dv/v=2dx; ∫dv/v=2∫dx; ln|v|=2x+C (C=0); v=e^2x. u^/v=e^2x; u^/e^2x=e^2x; u^/=1; du/dx=1; du=dx; ∫du=∫dx; u=x+C; y=uv=(x+C)e^2x-общее решение.

№53 а)Условия разложения ф-ий в степенной ряд.б) Ряд Маклорена.в) Разложение в ряд Маклорена ф-ии у=е^х(вывод).г) Интервал сходимости полученного ряда.

a) Если ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница (знакочередующейся и его значения должны по абсолютной величине убывать), то ошибки при замене суммы ряда несколькими его первыми слагаемыми не превосходит абсолютной величины первого из отбрасываемого членов ряда.

Б)Предположим, что ф-ия f(x), определена и п раз дифференцируемая в окрестности точки х=0, может быть представлена в виде суммы степенного ряда или, др словами , может быть разложена в степенной ряд f(x)=c_o+c₁x+c₂x²+c₃x³+C₄x⁴+…+C_пХ^п+… Выразим коэффициенты ряда ч/з f(x). Найдем производные ф-ии f(х), почленно дифференцируя ряд п раз: f ^/(x)= c₁+2c₂x+3c₃x²+4C₄x³+…+nC_пХ^п-1+…,f ^//(x)= 2c₂x+3∙2c₃x+4∙3∙C₄x²+…+n(n-1)C_пХ^п-2+…, f ^///(x)= 3∙2c₃+4∙3∙2∙C₄x+…+n(n-1)(n-2)C_пХ^п-3+…,…….. f⁽ⁿ⁾(x)=n(n-1)(n-2)∙3∙2c_n+… . Полагая в полученных равенствах х=0, получим f(0)=c_o, f ^/(0)=c₁, f ^//(0)=2∙1∙c₂=2! c₂, f ^///(x)= 3∙2c₃=3!c_3,…, f⁽ⁿ⁾(0)=n!c_n, откуда С_о= f(0), с₁= f ^/(0), с₂= f ^//(0)/2!, с₃= f ^///(0)/3!,…, с_п= f⁽ⁿ⁾(0)/п!. Подставляя значения коэффициентов с_о, с₁, с₂, с₃,…, с_п, получим ряд f(x)=f(0)+f ^/(0)x+ f ^//(0)/2! X²+ f ^///(0)/3!x³+…+f⁽ⁿ⁾(0)/n!xⁿ+…- называемый рядом Маклорена.

В) у=е^х. Имеем f(x)=f ^/(x)=f ^//(x)=…=f⁽ⁿ⁾(x)= е^х; f(0)=f ^/(0)=f ^//(0)=…=f⁽ⁿ⁾(0)= е^o=1. По формуле 1/1∙2+1/2∙3+…+1/3∙4+…+1/п(п+1)+…. е^х =1+х+х²/2!+х³/3!+…+х^п/п!+…. Область сходимости ряда (-∞;+∞).