книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци
.pdfВ первом слагаемом правой части равенства оператор у не действует на постоянный множитель / 1Г, а во втором — на постоян ный множитель }гс. Поэтому эти множители в каждом слагаемом правой части могут быть вынесены за знак оператора и мы полу чаем
§габ (М 2) = ^ гу /2 + }гМ1-
Применяя теперь в правой части этого равенства формулу (16,5)
и опуская индекс с за ненадобностью, |
получаем |
окончательно |
||
|
^гай |
2) — Лу/г + |
{гУ/1 |
(16.9) |
Задача 16,2. |
Найти |
дивергенцию произведения <ра, где <р — функ |
||
ция. |
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
По формуле (16,6) |
|
|
|
(Ну (<ра) = у • (9 а).
В правой части этого равенства оператор у применяется к чис ленному произведению функции на вектор, поэтому на основании правила 6 из сводки правил
|
У • (?а) = |
У • (<Рг°) + |
V • Ора.) = 9г (V • а) + |
а .у ? . |
|
||||||||
Запись второго слагаемого правой |
части в виде ае *(у-<р) |
была |
|||||||||||
бы неверной, так |
как под |
(у • <р) следует понимать скалярное про |
|||||||||||
изведение вектора-оператора у на функцию |
<р, чего быть не может, |
||||||||||||
поскольку |
понятие скалярного произведения относится к произ |
||||||||||||
ведению двух векторов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Замечая |
на основании |
(16,6), что |
у • а = сПуа.'а |
на основании |
|||||||||
(16,5) |
уср = §гас]<р |
и опуская индекс |
с, |
получаем окончательно |
|||||||||
|
|
|
Л у (<ра) = <р сНу а + |
а |
• ^гас! 9 |
|
|
(16,10) |
|||||
Эта формула была уже получена в задаче 14,2. |
|
|
|
|
|||||||||
Задача |
16,3 (для самостоятельного |
решения). Найти |
диверген |
||||||||||
цию |
поля |
<р (г) г, где г — радиус-вектор. |
|
|
|
|
|
||||||
У к а з а н и е . |
Использовать формулу |
(16,10) |
и учесть, |
что если |
|||||||||
г = Х1 + у]+ гк, то сПуг —3, |
а на |
основании |
результата задачи |
||||||||||
11,3 |
дгас!ср(г) = |
<р' (г) г°, |
гдег0 — единичный вектор |
вектора |
г. |
||||||||
О т в е т . |
сНу [9 (г) г) = |
З9 (г) |
+ гг°9 ' (г). |
|
|
|
|
|
|||||
Задача |
16,4. Найти ротор произведения 90. |
|
|
|
|
||||||||
Р е ш е н и е . |
На |
основании |
формулы |
(16,7) |
н |
правила |
8 из |
||||||
сводки правил |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
го!(9 5) = |
у х (95) = |
у х (9, 0) + |
у х |
(<?де) = |
|
|
||||||
|
|
|
|
= 9<(У X а) — а, |
X (У9). |
|
|
|
|
||||
Изменение между слагаемыми плюса на минус объясняется |
тем, |
|||
что в случае векторного произведения |
перестановка сомножителей |
|||
влечет за собой изменение знака векторного произведения. |
|
|||
Замечая, что на основании формулы (16,7) |
у ж а = го(а, |
а по |
||
формуле (16,5) у<р = |
§гас!'р, получаем |
окончательно, опуская |
ин |
|
дексы в последнем |
равенстве |
|
|
|
го! (<ра) «■ <р го! а — а х §га<1 |
(16,11) |
|||
Эта формула также |
была получена в |
задаче |
14,19. |
|
Задача 16,5 (для самостоятельного решения). Вычислить ротор |
||||
поля у (г) ■г, где г — радиус-вектор. |
|
|
|
|
У к а з а н и е . Использовать формулу |
(16,11) |
и учесть, что век |
||
торы г и &гас1 <р(г)— коллинеарны, так как §гас! <р(г) = <р, (л)го,г 0—
для вектора г является единичным вектором, а также то, что векторное произведение двух коллинеарных векторов равно нулю.
Установить, что |
ротор |
радиуса |
вектора г равен нулю (го! г =■ 0). |
||||
Ответ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
го! |« (г) • / ) = 0 |
|
(16,12) |
||
Задача 16,6. |
Найти |
сИу (а ж В). |
|
|
|
||
Р е ш е н и е . |
На |
основании формулы |
(16,6) |
и правила |
8 из |
||
сводки правил |
|
|
|
|
|
|
|
сПу (а х В) ** у |
• (а ж 5) =» у |
• (аг х |
5) + у |
- (а х Ьс). |
(А) |
||
Дальнейшее преобразование сводится к тому, чтобы постоянные множители в каждом из слагаемых правой части оказались перед оператором у. В данном случае следует использовать свойство цикличности смешанного произведения трех векторов, согласно которому
а • ф ж с) ■= Ь • (с ж а) — с • (а хЬ) |
(16,13) |
Преобразуем отдельно на основании этой формулы каждое сла гаемое правой части равенства (А;
у • (а, ж В) — ас • ф ж у).
Теперь в векторном произведении Ь ж у переставим местами век
торы Ъ и у и так как от такой перестановки знак векторного про изведения изменяется на обратный, то
Ь х у * » — у х 5 .
преобразуем |
так, |
чтобы |
постоянные |
множители |
стояли перед |
||
знаком у: |
|
|
|
|
Ос |
Ь |
|
у х |
(ае х Ь) = у |
Ос |
о |
||||
• Ое |
у • Ъ |
йс • V |
сИу ь |
||||
Очевидно, |
что |
у • ас= |
ас • у , |
так |
как скалярное |
произведение |
|
двух векторов не зависит от их порядка, а постоянный множитель
должен стоять перед знаком у, скалярное же произведение |
у »6 |
на основании (16,6) равно <Пуй. |
|
Раскрывая последний определитель и опуская теперь за |
йена- |
добностью индекс с, получаем |
|
|
у х (ае х Ь) = |
а (Ну Ь— (а • у) Ь. |
|
|||
Точно так же |
а |
Ье |
а _ |
Ьс |
|
|
|
|
|
||||
у х |
(а х |
Ьс) — | у • а |
у -Ьс |
у • О |
Ьс • у |
|
|
|
-■ (Ь • у) а — 6с1|уа. |
|
|
||
(индекс с опущен, |
у • а = сПуа). |
|
|
|
||
Складывая полученные результаты, окончательно имеем |
|
|||||
го1 (а хЬ) = а<Иу&— 6 <]|Уа (Ь • у )а — (а • у )Ь. |
(16,17) |
|||||
Дополнительные сведения из теории |
|
|
|
|||
Выясним |
теперь смысл выражений |
вида а • у, встретившихся |
||||
в формуле (16,17), т. е. смысл скалярного произведения вектора а
на |
оператор |
у, стоящий справа от него, (следует отличать выраже |
||||
ние |
а • у |
от |
выражения у • а) |
|
|
|
|
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
а = а} + |
<у + агБ; у = |
+ |
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(16,18) |
Проекции |
ах, ау, аг вектора а определяются до формулам |
|
||||
|
|
|
ах« |
асоз (а, х); ау = |
а соз (а, у); |
(В) |
|
|
|
|
аг =* а соз (а, |
г), |
|
поэтому по формуле |
(16,18) |
|
|
|||
|
а • у |
= осоз (а, |
х)§-х + а соз ОСу) ~ + асо$ (а, г)~ |
(16,19) |
||
Выполним теперь операцию а • у над функцией <р:
(а * у)ср = |
«С05(а, * ) ^ |
+ асо $(а, 0 )д * + асо $(а, г ) ~ = |
= а |
со5 {(С х ) + |
соз (а, у) + ^ со$ (а, г ) | . |
Выражение, стоящее в квадратных скобках на основании (11,3) равно производной ^ от функции <р по направлению вектора а,
поэтому
(а • у) <р= |
(16.20) |
т. е. результат применения операции а • у к функции <р равен произведению длины вектора а на производную от функции <р по направлению вектора а.
На основании (16,20) операция а ■у |
может |
быть |
записана в |
||||||||||
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а "* = а Та |
|
|
|
|
(16,21) |
||
Выполнение |
операции а ■у |
над вектором Ъ на |
основании |
(16,18) |
|||||||||
приводи! |
к вектору |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Г |
\ и |
|
Л |
дБ |
, |
ЗЬ |
|
|
(16.22) |
|
|
|
|
{ ач) Ь = а ,Тх + ауТу + агТг, |
|
|
||||||||
откуда следует, |
если учесть |
|
равенство (В), |
|
|
|
|
||||||
* |
, 7 |
|
/—^ |
|
\З Б , |
|
1 » ^ . ЗЬ . |
. —^ , дЬ |
|
||||
(а • у) 6 = а соз (а, х)^ + асоз(а, у)^ + асо$(а, г)^ =» |
|||||||||||||
— ° [ й с08(5, |
^ |
+ |
^ |
С05(а > У) + |
^ с о з(а Г г)]. |
О6*23) |
|||||||
Выражение, |
стоящее |
в квадратных скобках, |
есть |
производная |
|||||||||
вектора Ъ по |
направлению вектора |
а, т. |
е. |
|
Получаем |
оконча |
|||||||
тельно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( а . у ) 5 = 5 | |
|
|
|
|
(16,24) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задача |
16,8. |
Определить |
§гай (а • 5). |
|
|
|
|
|
|||||
Решение. |
На |
основании |
(16,5) |
и правила 8 из сводки |
правил |
||||||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
егай (а • Ъ) = |
у (5 • 5) » |
у(5с • 6) + |
V(а • Ьс). |
|
(16,25) |
|||||||
Перепишем (16.15) в виде
5 |
(Л ■В) = В (А . &) — А х |
(В х С). |
(16.26) |
||||
Для вычисления |
у (5, -5) положим |
в (16.26). |
что |
|
|||
Тогда |
5 = у; |
А =■ ас; |
В = |
Ъ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У (а, ♦ 6 ) = 6 (5с • у ) — ас X |
(6 |
х |
у); |
|
|||
У (Ос • 5) — (йс |
у)5 — а* х |
(5 х |
у). |
(16,27) |
|||
Так как в случае векторного произведения перестановка сомножи телей изменяет знак векторного произведения, то в последнем равенстве
—Ос х (В х у) —Зс х (у х 5).
Но на основании |
(16,7) |
|
а потому |
у х Ь = го1 5, |
|
— Ос х (В х у) = а, х го15. |
|
|
|
(А) |
|
Окончательно из |
(16,27) |
|
у (Ос • В) = (5с • у ) 5 + Лс х го! 6. |
|
|
Теперь преобразуем второе слагаемое (16,25) с помощью (16,26), полагая там
С ® у; А — |
^ и 01 |
|
У (Ь • Ьс) = а (5С• у) —6. х (а х у) = |
|
|
= (5> • у)0 + Ьс х (у X а) — (Ьс • у)а + Ве х го!а. |
(В) |
|
Складывая полученные результаты (А) и (В) н опуская за не надобностью индекс о, окончательно имеем
бга<1 (а • Ь) = (в • у)5 + ф . у )а + а х го1 В~+ Ь хт о1а. (16,28)
Задача 16.9 (для самостоятельного решения). Доказать, что для всякого постоянного вектора а имеет место соотношение
у (а ♦В) —(а • у) Ь + а х го! Ъ.
Задача 16,10_ (для самостоятельного решения). Доказать, что из ( 16,28) при ашшЬ следует
у §га<1 а* = (а • у) а + а х го1 а. |
(16,29) |
Дифференциальные |
операции второго порядка |
|
|||||||||
Задача 16,11. |
Рассмотреть |
у* — квадрат |
|
оператора у, |
понимая |
||||||
под этим скалярное произведение |
|
вектора |
у |
на |
самого себя. |
||||||
Р е ш е н и е . Помня, что скалярное |
произведение двух |
векторов |
|||||||||
равно алгебраической |
сумме произведений |
одноименных |
проекций |
||||||||
н что проекции оператора у |
на оси прямоугольной системы коор- |
||||||||||
дннат равны |
д |
д |
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ц , |
^ , получаем |
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
„ |
д |
д |
, |
!) |
д |
|
д |
д |
|
|
Л |
и |
и |
х |
и |
и . |
г/ |
и |
|
||
|
у = у * у = э г а ; - ,- ^ ’ й + а г з ; ; |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(16.30) |
Но так как |
|
|
+ др — оператор Лапласа |
Д, то |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(16.31) |
т. е. квадрат оператора у равен оператору Лапласа. Поэтому уравнение Лапласа Д? = 0 может быть записано в виде у 2© = 0.
Задача 16,12 (для самостоятельного решения). Доказать, что
Задача 16,13. |
С помощью оператора у найти |
|
|
|
||||||||
|
|
|
<Ну §гас! 9. |
|
|
|
|
|
|
|||
Р е ш е н и е . |
На основании (16,5) бга^ ? |
= |
У?* |
а на |
основании |
|||||||
(16,6) |
сйу а = |
у |
• а. Поэтому |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сНу §га<1 <р — у |
• у<р |
|
|
|
|
|
|||
Из |
результата |
задачи (16,11) у |
у = |
у* |
и |
поэтому |
|
|
||||
|
|
|
сНу §га<1 9 = |
у 29- |
|
|
|
(16,32) |
||||
Учитывая (16,30), |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(Иуегас19 = ^ |
+ |
9 |
+ |
5Р |
|
(16,33) |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Задача 16.14. Найти вихрь градиента |
скалярного |
поля, |
т. е. |
|||||||||
го^еглс!* |
На основании |
(16,7) |
го1 §га<19 =■ у |
х §га<1<р, а |
так |
|||||||
Р е ш е н и е . |
||||||||||||
как по |
(16,5) §гас!<р = у<р, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
го( §гас! 9 = |
у |
х |
У9. |
|
|
|
|
|
|
Скалярные множитель <р можно вынестн за знак векторного про изведения, поэтому
У X |
у<р = |
(у X |
\ 7)<р. |
|
Но векторное произведение |
двух |
равных векторов |
равно нулю, а |
|
потому у х у = 0 и окончательно |
|
|
||
---------------------» |
(>6,34) |
|||
го1 §га<1 <р = |
О |
|||
т. е. вихрь градиента любого скалярного поля равен нулю-
Задача |
16,15. |
Найти |
§га<1 сйуо, |
где а = |
а(х, |
у, г). |
|
||||||
Р е ш е н и е . |
На основании |
(16,5) |
н (16,6) |
|
|
|
|||||||
§гас] ейV а |
|
|
|
. |
“ |
, |
д г |
|
|
д°> |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
ду I |
|
дг |
|
|
1% |
|
Было бы ошибкой считать, что |
у (у • а) = у*а, |
так как |
н при дей |
||||||||||
ствиях с обыкновенными векторами умножение |
вектора Ь на ска |
||||||||||||
лярное |
произведение Ь• с, |
т. е. В ■ф • с) Ф Ь* • в. |
|
|
|||||||||
(Выражение |
у*о есть вектор, |
имеющий |
такой |
смысл: у*а = |
|||||||||
Зх* ~1~ду* |
дг*' |
пе слеДУет смешивать у*а с (уа)1, как нельзя сме |
|||||||||||
шивать |
у*<р |
с (у<р)2) |
|
|
|
|
где а = |
а(х, у, |
г). |
||||
Задача |
16,16. |
Определить |
(Нуго1а, |
||||||||||
Р е ш е н и е . |
По формулам (16,6) и (16,7) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
(Пу го( а = |
у • (у |
х а). |
|
|
|
|
|||
Здесь мы имеем дело с векторноскалярным произведением трех
векторов. Из векторной алгебры известно, что это произведение обращается в нуль, если в него входят два равных вектора.
Таким образом
(Иу го! а * О |
(16,35) |
Более сложным путем получен этот результат в задаче (14,23). Задача 16,17. Определить го1 го! а, где а = а(х, у, г).
Р е ш е н и е . На основании (16,7) го(го( а — у X (у х а). Ис пользуя теперь формулу (16,16) для двойного векторного произве дения, получаем
У X (у х а) = |
V |
а |
у - у |
у • а = У(У •<*) — ( У У ) * |
Но на основании |
(16,6) |
у - а = сИуа, а по |
(16,5) у(<11у о) « |
= §га<1 сПу о . На основании |
задачи 16,11 у • у = |
у*, поэтому окон |
|
чательно |
|
|
|
у |
х (у х |
а) = §га6 (Луо — у 2а |
(16,36) |
В задаче 14,27 эта формула была получена значительно более сложными выкладками.