книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци

а из второго

I23 — 2/,2.

Угол поворота координатных осей определится из равенства

Этим преобразованием начало повернутой системы координат пере­

несено в точку О, (учесть, что это координаты нового

начала в системе координат ххОух).

В системе координат хаОхУг уравнение (10,40) запишется так:

11*5+ 1б»5“ 176

или

Зх* — 8ху + Ъу1+ Ъх + 8у — 39 = 0

и определить координаты ее центра и фокусов в первоначальной си­ стеме координат.

7. Нормированная матрица преобразования

линенная часть заданного уравнения 8* + 8«/— 39 преобразуется

к виду — * , — 39.

О т в е т . Кривая — гипербола. Ее каноническое уравнение

. » *

Уа _ * г _

Г 7 *•

В первоначальной системе координат ее центр находится в точке (4; 4), а фокусы — в точке (2; 6) и (6; 2).

Задача 10,7 (для самостоятельного решения). Упростить урав­ нение линии

5.Линейная часть уравнения

—1090* + 2616т/ Н- 24961

преобразуется к виду —2834*1 + 24961.

и определить координаты ее фокусов в первоначальной системе координат.

Пром еж уточны е результаты

1.Характеристическое уравнение

X2 — 13Х + 36 = 0.

2 . Матрица преобразования

4. В повернутой системе координат х,Оух заданное уравнение приобретет вид

9д^+ 4у\ + ^ х 1— ^ у , + 108 = 0.

5. После выделения полных квадратов это уравнение запишется так:

9(Ж1+Л)*+4(^“ ЙГ=36,

Координаты фокусов в первоначальной системе координат:

1 -5 ; б); ( - 3 , 2),

С о д е р ж а н и е . Поверхности уровне, производная по направлению, градиент функции.

Это и шесть следующих практических занятий посвящаются векторному анализу.

Прежде чем решать задачи из этого практического занятия, рекомендуется повторить основы векторной алгебры, в особенности такие понятия, как скадярное и векторное произведения, векторно­ скалярное произведение, двойное векторное произведение, а также основы теории проекций.

Ниже для справок помещены основные понятия и формулы век­ торной алгебры.

1 . Вектор и его координаты. В прямоугольной системе коорди­ нат каждому вектору а ставятся в соответствие три числа — его проекции ах, ау и аг на координатные оси Ох, Оу, Ог. Эти числа

системы координат равны разностям между одноименными коорди­ натами его конца и начала

а , = х2— х,; ау = уг— у{, аг = г2 — г,.

Учитывая эти формулы, вектор а можно записать и в таком виде:

^1*2 — Уг — Уи гг— г1}-

2.Длина вектора. Длина вектора 5, или (что то же) его мо­

Единичный вектор обозначается той же буквой, что и данный, но с ноликом в виде показателя степени. Таким образом, единичный вектор вектора а обозначается 3°

3 = аа°.

в. Направляющие косинусы вектора. Косинусы углов, которые -вектор составляет с положительными направлениями координатных осей, называются направляющими косинусами вектора. Углы, состав* ляемые вектором с координатными осями Ох, Оу и Ог, обознача­

7. Проекция вектора на ось. Проекция вектора 5 на ось есть скалярная величина, равная произведению модуля вектора на ко­ синус угла между направлением оси и направлением вектора:

а1■= пр^З = а соз (7, 3).

Проекции вектора 3 на оси Ох, Оу н Ог прямоугольной си­ стемы координат обозначаются соответственно через ах, ау и аг и определяются по формулам

(обозначение углов вектора с координатными осями дано в преды­ дущем пункте). Если 3° — единичный вектор, то на основании этих формул (учитывая, что в этом случае его модуль равен 1) его проекции на оси Ох, Оу, Ог равны его направляющим косинусам

тора а на оси Ох, Оу и Ог прямоугольной системы координат, а /