Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

15.42 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 4235 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

Задача 14,18* Доказать, что* вихрь суммы векторных полей равен сумме вихрей этих полей

го! (а + Ь) 1= го! а + го! Ъ.

(14,5)

Р е ш е н и е . Из определения вихря вектора следует

Первые три слагаемые есть го1а, а вторые три — го! Ь. Этим до* казано требуемое:

го! (а + Ь) * го! а + го! Ь.
Задача 14,19. (вычисление вихря произведения		скалярной функ
ции на вектор). Доказать, что
го! (ыа) — егаб и х	а + и го! а,	(14.6)
где и — скалярная функция от х, у,	г.
Р е ш е н и е . Докажем, что проекции векторов, стоящих в левой
и правой частях доказываемого равенства, равны		между собой

(го!иа)х = %-и(иаг) -	1(иау) -
д у г*	дг
ди л	ди	,

Векторное произведение векторов

бга<1 и х а =

Отсюда следует, что

риаг + и ^ - % а у			дг	=
дух*2 1		ду	дг
[даг		даи\		(А)
				(А)
§гас1 и и а равно:
1	1	Ь
ди	ди	ди
дх	ду	дг
ах	ау аг

ди	ди
д~у1	дг иУ"

В равенстве (А)

первые

два слагаемых

есть (§га<1и®а)х, а

выра

жение в круглых скобках есть

проекция го1 а

на

ось

Ох.

Таким

образом,

(го1 иа)х = (§габ и хо )л + и (го! а)х.

(А)

Аналогично

(го1 иа)и =

(§га<1 и х а)и + и (го( а)у

(В)

(го* иа)г =

(бгас1 и х а), + и (го1

а)г

(С)

Умножая (А), (В) и (С) соответственно на I,

/' и к и почленно скла

дывая, получим требуемую формулу.

Задача

14,20

(градиент скалярного произведения).

Доказать,

что

ЗгасЦо - Ь) =

о х го*5 + * х

г о й

^ +

€ .

(14,7)

—

аЬ

во

Р е ш е н и е .

В правой

части доказываемого равенства послед

ние два слагаемых являются производными

одного вектора по дру

гому вектору.

Начнем с

определения того,

«по называется

произ

водной вектора по другому вектору.

Определение. Производной вектора а по вектору

называется

вектор

лВ

да ,

да .

. да .

ТхЬ* + Ъ Ьу + Я Ьг

.Найдем

проекции этого вектора на координатные оси:

до*, ,

дйу-.

да2-т Ь*)

даж~. ,

дау~. ,

даг т

'5у

'5у1'Г 'ду^~г ~5ук

да

дах:.

дау -; ,

даг %

Умножая

каждое из

этих равенств соответственно на

Ьх,

Ьу и Ьх

и почленно складывая, найдем, что вектор

да

да.

, да.

да.

(дах .

,д а х .

да*

7т = 7ГхЬ‘ + ТуЬУ + & 1’*= 1‘3 7 6 * + д7Ь* +

3Г Ч 1+

ль

( I ? * . + % » , + % » ')! + (ж>- + Ъ ь‘‘ + т ? * ') 1-

йа

Отсюда следует, что проекции вектора -=, на координатные оси

аЪ

равны:

						(14.8)
( I	+ ^	Ь .и + ^
	+ ^	Ь .и + ^
Спроектируем левую и правую части доказываемой						формулы (14,7)
на координатные оси (очевидно, что			каждая из		частей этой фор
мулы есть вектор). Учитывая, что
а-Ъ = ахЬх + ари+ арг,
получим
егай (а - Ь) -	^{а хЬх +		« А	+ аА Й +
+ зр (°А + а1РУ+	огЬг) /' +	^	( а А	+ аА	+	бА ) *•

Продифференцировав первое слагаемое правой части, найдем, что проекция §>гас1 (а • Ъ) на ось Ох равна

1егаа<3 -5)1, - $ • » , + « .% + $ « * . + < > ,& + & » ,+ « ,§ .

или в более удобной записи,

даи

( в г . а й • « ) ) . - $ » , + % Ь ,+ & , + % „ , + & Ч + |М > , дГ

(14,9)

Теперь спроектируем на ось Ох вектор, -стоящий в правой части формулы (14,7),

(а х го1 Ь)х = ау (го1 Ъ)г — аг (го! Ь)у =
л	(дЬу	дЬЛ	(дЬх	дЬЛ	(А)
= А	Ы -	^ ) - ^	( а Г	- ат ) =	(А)
дь		дьх	дЬ,	дЬг
~ Ъ а» - Ъ а* - - § а’ + Ъ
Точно так же, меняя	местами а и Ь, получаем:
(6 X го й ), -					(B)
		-8хь‘ + - й ь» + ж ь*			(C)
( 4Ь\ _ д Ь х			дЬх	. дЬх

1 3 /, “ дГ а* + ~ду °У + 1Г аг

(В)

•Легко заметить,_что от почленного сложения (А), (В), (С) и (О)


получим [§гас1(а* 5)],. Точно так						же	мы прийдем		к	заключению,
что и проекции		левой и правой части					(14,7)	на оси	Оу и Ог равны
между собой. Но			если	проекции		двух векторов			соответственно
равны, то и сами векторы равны. Значит, требуемое доказано.
Задача	14,21	(дивергенция векторного произведения). Доказать,
что			(Ну (а х Ь) = Ъго1 а — а го1 Ь

(вектор а =	ах» +		ау/ +	ар;	вектор		Ъ-= ЬХ1 + Ьу] +			Ьр,	причем
проекции векторов есть функции х, у иг) .
Р е ш е н и е .		Расписываем			дивергенцию			вектора		по	формуле
сИу ( а х в ) = \| ( а х %					+ ^ ( а х В)у+ \| ( в х					%
сПу (а х 6 ) = \| ( а Д — ару) + щ(арх— ар2) +
+ 5 < « А - « А > -					+ а		т	Ч		+

Выражения в скобках в первой строке есть проекции вектора го( а соответственно на оси Ох, Оу, Ог, а во второй строке выражения

в скобках являются проекциями на те же оси вектора то\Ь. Таким образом, правая часть есть разность скалярных произведений

Ъ •	го! а — а • го1 Ъ
я, следовательно, требуемое доказано.
Задача 14,22 (дивергенция градиента). Доказать, что
<Ну (егаб () — А/,
где	д*Г \|_	пл т\
лг -
д' “	а7» + а ^ + э?	(14>Ю)

(Л/ называется лапласианом функции [).

Ре ш е н и е . Известно, что

=+Гу~1 +Тг*'

По	(13,6)
	*>'<Вга<1 / ) - ( з ( ) 1+			@	\| +			Щ	-
что	и требовалось.
	Задача 14,23 (дивергенция вихря). Доказать, что дивергенция
внхря равна нулю, т. е.
		<Иу (го( а) = 0.							(4,11),
	Р е ш е н и е . По формуле (13,6)
Но	б \|у(гой ) =	(го(жа); +		(го1уа); +					(го1га);.
Но			= д а г	д а , ,
	го(х а		= д а г	д а , ,
		го(„а =. д а х			д г ;
		го(„а =. д а х			3 *	1.
			1 7		д	х	•
		го12а	= д а у	~ ’	д а х		'
поэтому			1 7	~ ’	1 у		'
поэтому			.	в
			.	в
		( д а г	д а и \	,,	( д а г				д а , V
	“	(ду	1 7 )	+	[ 1		7	-	1 7 ) , +

+	_д а х \ '		д га г		1	* а х	д * а г , & а у	= 0.
	\"3л' 1 у ) г		д х д у > д г д х			д г д у	д х д у ' д х д г

	Задача 14,24		(дивергенция лапласиана). Доказать формулу
			(Ну (Да) — Д (<Иу о).					(14,12).
	Р е ш е н и е .	Выше в формуле				(14,10) уже употреблялся термин
«лапласиан». Возвратимся к этому весьма важному								понятию. Опе
ратором Лапласа			называется	выражение вида
			а	а* .		а* .	а*
			а ^ +			Зр + 5 ? -
Если его применить к скалярной функции /, то
Применяя оператор Лапласа				к	вектору о, имеем
			А—	д*а		д * а ,	д » а	(14,13)
			ла ~ а ? +			а р +	аГ»*

Так как

а = ах1 + аи] + а^г,

то, применяя к вектору а оператор Лапласа, получаем

	аи1+ а*к) +	+ аУ1+
+ агЬ) +	(ах1+ о,у1+ а2к) —

Отсюда, применяя оператор Лапласа к вектору а, найдем

Да = Дах • 7 + Даи • / + Даг • к.

Используя формулу (А), докажем требуемое

Выполняем в каждой скобке дифференцирование и почленно скла дываем:

Выражение в круглых скобках (оно во всех слагаемых одно и то же) есть дивергенция вектора 3, а потому из последней фор мулы заключаем, что требуемое доказано.

Задача	14,25— для самостоятельного						решения (вихрь гради~
ента). Доказать,			что	вихрь градиента равен нулю, т. е. что
					го1 (§габ/) = 0.			(14,14)
Задача	14,26	(для		самостоятельного решения)				(ротор вектор-
ного произведения). Доказать,						что
	го1 (а х			Ъ) =	ай\чЪ — Ъйуяа +			(14,15)
							йЬ	йа
У к а за н не. .Использовать						формулу	(14,8)	для определения
V	вектора		(1(1	на	координатные оси и наити проекции левой
проекции	вектора			на	координатные оси и наити проекции левой

и правой части доказываемой формулы на координатные оси. Ока

жется, что проекция левой части этой формулы на ось	Ох
го»* ( а х 6) = \| ( в Д — а Д ) — ^ (аД - а Д ).	(А)

Проекция же на ось Ох правой части

Продифференцировав выражение				(А),		найдем,		что оно равно выра
жению (В).
Задача 14,27 (вихрь вихря). Доказать, что
го* (го* о) =			§га(1 (сИу а) — До.						(14,16)
Р е ш е н и е . Обозначим
Тогда		го* о = 6.							(A)
Тогда	го(го а)				го*Ь.
	го(го а)				го*Ь.
Проекция го* (го* о)	на ось		Ох
(го* (го*5)1,									(B)
Но из (А) следует, что			д а х		_д а ,
			д а х		_д а ,
		‘	д г		"ЗГ'
			д а и		д а х
			-37- Х *
Подставляя эти значения в формулу (В), получим
1,01(ГО. аи, - & (3? -					%') -		1 (&	- § ) -
_ д * а у _д * а х __д * а х							д * а 2
~ ~ д х д у		д у 8			д г 2		' Ь х д г *
Прибавим и отнимем в правой части этого равенства									Тогда
м м а > , . - 5 ? + Й $ + Й -
	д * а х		д * а х			д * о х _			(С)
									(С)
- к й ? + %		+ &			) - -		к	* > -
Аналогично докажем,	что	проекции				вектора		го* (го* о) на	оси Оу
и Ог равны
1го* (го* а)1„ =				^	((Н V 5) — До^				(И)
(го* (го* о)), =				^	(<Иу о) — Да,				(Е)
Умножая обе части равенств (С),					(О)	и	(Е) соответственно		на 7, /
и к и почленно складывая, получим						требуемое.

С о д е р ж а н и е . Гармонические функции. Формулы Грина.

Гармоническая функция. Функция = х, у, г), имеющая непрерывные частные проиэводные по переменным х, у и г до второго порядка включительно, называется гармонической, если она удовлетворяет уравнению Лапласа

дю дч/ 04/ „

дх* + ду* + дг* ~ и-

Левая часть этого уравнения обозначается символом Ы) и на зывается лапласианом функции V.

Задача 15,1. Показать, что из формулы Остроградского (13, 17) следует

причем л — внешняя нормаль к		поверхности $,	а Ш — лапласиан
функции 66
Р е ш е н и е .	На основании	формулы (13,	17), прочитывая ее
справа налево,	найдем

(А)

(?)(5)

Если вектор а является градиентом скалярной функции I) —

—у, г), то

вж= <вг*К/),-аг; аи= (бга<1 Ц)9 = Щ;

		аг — (§га(1			6 0 ,=	дУ
						а?-
Учитывая,	что	Л у 0 =		^	~ду	^ ,		получим

или					, ем	,
	й\\	ёгас!	^				^ г	= А^
				= з ^ + д ^ +
(эта формула	уже	была	выведена		в задаче			14,22).

Известно, что проекция ап вектора а = §га<1 V на нормаль п равна ди — см. формулу (1 1 ,8).

Теперь, полагая в (А) вектор а = §гас! II, получаем требуемую формулу

Шлул,=я»*-

(») («

Задача 15,2. (для самостоятельного решения). Основываясь на результатах предыдущей задачи, доказать, что если I) — I! (х, у, г)— гармоническая функция во всех точках области о, ограниченной поверхностью 5, то

и г* -.

<«>

т. е. поток градиента гармонической функции через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Задача		15,3		(для самостоятельного решения). Доказать, что
функция V =			-у (г = У'х* + у1+			г*) — гармоническая				функция	во
всех	точках,		где	она	и ее частные		производные до			второго	по
рядка	включительно непрерывны.
Задача 15,4 (для самостоятельного решения). Доказать, что
если функция ?(* , у,					г) — гармоническая,			то	и функция ^ также
гармоническая.								х
У к а з а н и е .				Продифференцировать по				х	уравнение Лапласа
					дх* "Г дуг ^	дг*	0.
					дх* "Г дуг ^	дг*
Задача		15,5		(для самостоятельного решения). Доказать, что
если С!(х,		у. г) — гармоническая функция,						то и выражение
					зи ,	эй	ди
						+	г ЗГ
есть также		функция гармоническая.
У к а з а н и е .				Учесть, что, например,

дх»

где А оператор Лапласа

э*

+ ЗГ* ’

а если V — гармоническая функция, то Ш — 0.

1 . и ( —	-О
г и \ г *	г 9 г ) 9
где г = У'х2 + у* + г4, — также	гармоническая функция.

Задача 15.7. Доказать, применяя формулу Остроградского, что

<4								(•)
где х — объем,	5 — ограничивающая его поверхность,
дV		.			,,
— производная функции					V по внешней нормали, а
		А„		д*У	. д*у	,
		ЛК = 5 ? + 5 1 ? + а ? -
Р е ш е н и е .		Рассмотрим		вектор		13егад V,		где функция (/
=13 (х, у, г), и найдем его дивергенцию
й\м(V егас! У) = ~ ( У			бгаб V)х + ~			V &аА У)и + ~(13 &ай V),.
Учитывая,	что								,дУ
(1/ в г а й У ) , - 1 / ^ - ;			(1/ бгас1 У ),=				(1	/ 8гас1 У), =	,дУ
(1/ в г а й У ) , - 1 / ^ - ;			(1/ бгас1 У ),=				(1	/ 8гас1 У), =	1/ ^ ,
получаем
(у		- к(у к)+ т ,{ и					% ) +к(у аг) -
-М + « Э Ч т * + 1'ЗЫ*Т+'«'г)-
Раскрывая скобки и учитывая,					$%]/'		М\/	(ру	находим
Раскрывая скобки и учитывая,					что ^			= ДУ,	находим
(«V (С/«г«1 У) = 1/АУ + ^							^		(А)
Проекция на	нормаль		к поверхности				3 вектора 13дгай У равна
			(1 / бга				дV		(В)
			(1 / бга		<				(В)
					<
Полагая теперь		в формуле		(13, 17)
				о =	§;габ У,
получаем
Ш		(Иу (13§габ У) Л *■ К					(13§гас1 У)„ й&,

*<*>" (-5)

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 4235 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги