книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци

Дифференцирование обеих частей каждого из этих равенств по х9 у, г и / дает

и, таким образом, проекции ускорения частиц жидкости являются частными производными по координатам одной и той же функции

. а отсюда на основании определения градиента функции

заключаем, что

- рай ( ^ »• + §*).

Ф ункция <р, удовлетворяющая этому уравнению, называется гармонической. В случае плоского потенциаль­ ного движения несжимаемой жидкости уравнение Лапласа (12,11) имеет вид

С= —

*Сп­

итак, имеем следующие уравнения семейства векторных линий:

= ^ и г* = СЛх.

Надо иметь в виду, что начало координат является здесь особой точкой: если х-»-0 , то у-*- оо при ( ^ # 0.

Задача 12 ,7. Движение жидкости задано проекциями скорости

У* — —Ьу: Уу — кх,

где к — постоянная величина. Требуется найти линии тока и направ­ ление движения.'

движении жидкости называются дифференциальными уравнениями ли­ ний тока. В каждый данный момент времени каждая частица жидкости, находящаяся на линии тока, имеет скорость, совпадающую по на­ правлению с касательной к этой линии (движение жидкости назы­ вается установившимся, если проекция скорости частицы жидкости не зависит от времени).

В нашем случае эти дифференциальные уравнения (12,5) запи­

шутся так:

Лх = 0у —ку кх*

Отсюда

кхйх — —ку йу.

Сокращая на к и интегрируя, получаем

х' + у* = С

и у> 0, то соз (Р, х) < 0 и скорость V с положительным направ­ лением оси Ох образует тупой угол. Это говорит о том, что дви­ жение происходит против хода часовой стрелки

Задача 12,7а. Движение жидкости задано проекциями скорости

У, = —* + * У „~у + и

Перепишем их в виде

Интегрируем эти уравнения по правилам 'интегрирования ли­ нейных дифференциальных уравнений:

что Сх = — 1 , С* — —2 и уравнения траектории примут вид

х= ~е~' + ( - 1;

уа ~2е1 — 1— 1.

За м е ч а н и е . Сравнивая уравнения (А) и (В), видим, что при

неустановившемся движении жидкости линии тока не совпадают с траекториями жидкой частицы (при установившемся движении жидкости линии тока являются одновременно и траекториями частиц).

Задача 12 ,8. (для самостоятельного решения). Поле скоростей жидкости задано следующим образом:

Задача 12,9. (для самостоятельного решения). Напряженность

примем за ось Ог, в сторону, откуда вращение представляется про­ исходящим против движения часовой стрелки. Проекции векторов

о» и л на координатные оси равны:

Подставляя значения проекций векторов и» и г из равенства (А), получаем

1 / к

V = 0 0 (1) = —<*>у7+л>*/ ,

X У г

откуда следует, что проекции вектора V равны:

ох = —<оу; ьу — и>х; Уг = 0.

Чтобы воспользоваться формулой (12,6) для определения ротора вектора, найдем входящие в эту формулу частные производные

от проекции вектора о:

до

Ч

дх и’ ду

до

д ? ~ ш' & 0;

Подставляем эти значения в формулу (12,6):

Итак,

го! V— 2<л>к.

В связи с тем что вектор ш — приходим к заключению: го( V =» 2ш,

а отсюда следует: ротор линейной скорости точек вращающегося

твердого тела имеет постоянное значение во всех точках тела и равен удвоенной угловой скорости его вращения.

Задача 12,11 (для самостоятельного решения). Най,ти векторные линии поля вектора

О — —0)1/1 + а>ДГ/ + кЛ,

где со и А —* величины постоянные.

Ук а з а н и я .

1.Уравнения векторных линий запишутся так!

2. Из первых двух уравнений получаем, дифференцируя обе части каждого из них по I,

г - — * а - - *

3. Общими решениями втих линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами будут:

4. Учесть уравнения (А) н показать, что между произвольными постоянными существуют соотношения

Вх ——Аъ Вг ™ Ах