книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци

V. Если известны проекции векторов 3 и Ъна оси прямоугольной системы координат

а (а х. а „ ,а х}; 6 {6Х, 6„ 6г},

то их векторное произведение определяется по формуле

2 x 6 = (аА — а\Ьу)1 + (аА — а А )7 -И (« А — ° А )

где 1, / и Л — орты координатных осей.

Отсюда видно, что проекции векторного произведения на коор­

VI. Условие параллельности двух векторов. Необходимым и достаточным условием параллельности двух векторов а {ах, ау, ах)

и ЪА , Ьу, Ьг\ является равенство нулю их векторного произве­ дения, т. е. необходимым и достаточным условием параллельности двух векторов является выполнение условия 3 х7> = 0 , или, что равносильно, пропорциональности их одноименных проекций

лярно умножается на вектор с. Через проекции сомножителей на оси прямоугольной системы координат векторно-скалярное произ­ ведение

Свойства векторно-скалярного произведения

I. Если в векторно-скалярном произведении два каких-либо множителя коллинеарны, то это произведение равно нулю.

II. В векторно-скалярном произведении допустима циклическая перестановка множителей.

13. Векторно-векторное произведение трех векторов. Так назы­ вается произведение трех векторов, имеющее вид

а х (Ъх с).

Иногда вектОрно-векторное произведение называетсядвойным вектор­ ным произведением.

Векторно-векторное произведение а х (Ь хс) трех векторов вы­ числяется. по формуле

а х (В х с) — Ь (а ♦ с) — с (а • Ь).

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

1 . Физическое поле. Физическим полем называется часть прост­ ранства или все пространство, в котором происходит физическое явление.

2. Скалярное поле. Физическое поле называется скалярным, если физическое явление, его образующее, характеризуется функцией [ = / (х, у, г), зависящей только от координат точек про­ странства, в котором это явление происходит. Скалярное поле пол­ ностью определено заданием одной функции / (х, у, г) трех незави­

ние, ставится в соответствие определенное число, характеризующее данное явление в рассматриваемой точке. Это число есть частное значение функции / (х, у, г), вычисленное в точке Р (примерами скалярного поля являются: поле электростатического потенциала, давление в атмосфере).

3. Поверхность уровня. Если однозначная функция соответствует скалярному полю, образованному физическим явлением, то поверх­ ностью уровня (или эквипотенциальной поверхностью) этого поля называется поверхность, во всех точках которой функция ( (х, у, г)

где С— постоянная величина.

Придавая постоянной С различные числовые значения, получим семейство поверхностей уровня. Через каждую точку пространства проходит одна поверхность уровня. Во всех точках поверхности

Уравнение х* 4- У4 4- г4 = определяет семейство концентриче­

Поэтому

д г______ 2х_____________х____ _

ду ду

Подставив значения найденных частных производных ^ , ц

и ^ в формулу (11,4), получим

у = г°, получим окончательно ^гаё <р« _ 1 л

По закону Кулона напряженность Ё~в точке электростатического поля точечного заряда определяется вектором 4*г0. Последнюю формулу поэтому можно переписать в веде

бгад <? = —Ё

или

,|ега<1 <р| =

Направляющие косинусы вектора §га<1у найдем по формулам

Задача 11,3. Найти градиент функции <р (г), где г — расстояние

точки А (х, у, г) поля до начала координат (г ** К * 1 + У1+ г2). Р е ш е н и е . Чтобы воспользоваться формулой (11,4), определим

= ?' (г) • 7 = ? ' (г) • Го.

На основании формул (11,11) и (11,12)

Р - р з Л Й .

Легко проверить, что проекции силы притяжения Рх, Ру и Рг

а ее проекции на оси прямоугольной системы координат равны частным производным от функции V — ^ , которая называется по­

тенциалом силы притяжения (это свойство потенциала силы при­ тяжения было замечено Лагранжем). Поэтому для определения силы притяжения между двумя точками надо только найти ее потенциал, отыскать его частные производные по координатам х, у иг, кото­ рые равны проекциям силы притяжения, а ее модуль найдется по формуле

Р е ш е н и е . Поместим начало координат в середину стержня./ Расстояние точки М от начала координат обозначим через х. При решении задачи будем считать стержень отрезком прямой,-поэтому воспользуемся формулой (11,15). Если бы в условии задачи не было этой оговорки, интегрирование следовало бы производить по объему стержня при помощи формулы (11,17).

Входящий в числитель подынтегрального выражения (11,15) элемент массы мы найдем как произведение объема элемента стержня на его плотность

йт «= 75 йг,

где ^ — постоянная плотность стержня (постоянная потому, что стержень однороден), ^/- — элемент длины стержня.

Кзадаче 11,4

Вформуле (11,15) г — расстояние точки М до любой точки N