книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци

я

Г

\а 1йх + ауАу — ( а, соз* I (—За, соз* I з т Г)й1 —

Таким образом,

Г / . - - а ? + у + т = °.

Задача 12,15 (для самостоятельного решения). Найти циркуля­

цию вектора а — уЧ по замкнутой кривой, составленной из верх­ ней половины эллипса

4_ Промежуточный результат: ^ з!п3 (А( = — з •

о

О т в е т . -5-06®.

<**+»* + г*? Рг = — цт ____ 2

1 * (**+Уа+ г »)5

С о д е р ж а н и е . Поток векторного поля. Дивергенция вектора. Формула Остроградского.

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

1. Поверхностные интегралы. Пусть 5 — гладкая или кусочно гладкая поверхность, ограниченная определенным контуром, кото­

внутренняя сторона соответствует отрицательному направлению оси Ог. На нормали к поверхности 5 можно рассматривать два возможных направления: одно, идущее в сторону возрастающих, другое — в сторону убывающих 2-ов. Если на нормали выбрано направление в сторону возрастающих г-ов, то она называется

ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПЕРВОГО ТИПА

(поверхностный интеграл по площади поверхности)

Пусть в каждой точке поверхности 5 задана функция / (*, у, г). Поверхность 5 разобьем на п частей, площади которых обозначим через Д5х, Д5а, . . . Д5„. На каждой такой площадке Д5* выберем произвольную точку Ак(хк, ук, гк), вычислим в ней значение за­ данной функции /(* , у, г), т. е. найдем число / (хк, ук, гк) и составим сумму произведений (интегральную сумму)

/ (*!» Уи 2х) Д*$1 + {(*а, у2, г2) Д5а + • • • + / (ха, уп, г„) Д5„ =»

Л

Если функция { (дг, у, г) непрерывна во всех точках поверхности 5, то предел этой интегральной суммы при условии, что максималь-

Если 5 — замкнутая поверхность, то поверхностный интеграл пер еого рода обозначается символом \ \ [ (дг. у, г) (1$.

Ак(хк, уи, гк) и вычислим в ней функцию /(* , у, г}, т. е. найдем

Если функция }(х, у, г) непрерывна в каждой точке поверх­ ности 5, то ее предел при условии, что т а х Д5* -►0 существует, называется поверхностным интегралом второго типа от / (х, у, г) йа, распространенным на выбранную сторону поверхности (5), и обоз­ начается символом

д, г) (1а или ЭД/(х, у, г)йхйу.

При замене выбранной стороны поверхности 5 противоположной ее стороной знак интеграла поменяется на противоположный, а его абсолютная величина сохранится прежней.

Если элементы, на которые разбита поверхность 5, проекти­ ровать на плоскость хОг и уОг, то получаются соответственно два интеграла

Ц / (*. У. г)йхйг и Ц / (х, у, г)йуйг.

Если Р(х, у, г). <2(х, у, г) и /?(х, у, г) — функции, определен­ ные во всех точках поверхности 5, то под составным поверхност­ ным интегралом второго типа понимается интеграл вида

Р(х, у, г)йуйг + С1(х, д, г) (1г(1х + Р (х, у, г)йхйу.

Подчеркиваем еще раз, что поверхность 5 является двусторонней» а интеграл распространяется на ее определенную сторону, причем указание этой стороны следует всякий раз оговаривать.

Поверхностный интеграл второго типа вычисляют по формуле

Общая формула, по которой поверхностный интеграл второго типа сводится к поверхностному интегралу первого типа запи­ сывается так:

нусы нормали, направление которой соответствует выбранной сто­ роне поверхности.

2. Поток вектора. Потоком вектора а через поверхность 5 на­ зывается скаляр, определяемый формулой

где а„— проекция вектора а на нормаль к поверхности 5, причем нормаль берется определенная— внешняя или внутренняя.

Проекцию вектора а на нормаль к поверхности находят по формуле

Учитывая, что

Из этого определения видно, что дивергенция вектора а — ве­ личина скалярная и ее определение связано с выбором координат­ ной системы. Ниже в связи с формулой Остроградского дается

другое определение дивергенции вектора а, которое устраняет этот недостаток.

Термин «поток вектора» имеет физическое происхождение. Ука­ жем примеры физических величин, которые вычисляются при по­ мощи формулы (13,11):

а) Если векторное поле рассматривать как поле скоростей движущейся жидкости, то поток ее и через поверхность 5 равен количеству жидкости, протекающей через поверхность 5 в единицу времени в направлении от отрицательной к положительной стороне поверхности. Если поток через замкнутую поверхность 5 положи­