книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци

Частные случаи: а) если 9 а ф, то

ёгаб <р* а 2<р§га<19}

б) если ф = С, то

§габ С9 = С§га<19.

С о д е р ж а н и е . Векторное поле. Потенциальные векторы.' Потенциал »бкторного поля. Циркуляция ректора. Линейный интеграл. Вихрь вектора.

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

Векторное поле. Физическое, поле называется векторным, если образующее его физическое явление характеризуется вектором (например, поле силы тяжести, поле скоростей).

В случае векторного поля каждой точке Р пространства, в кото­ ром происходит образовавшее его физическое явление, ставится

в соответствие определенный вектор а{Р), являющийся функцией координат точки, т. е. а = а (х, у%г).

Вектор а(х, у, г) можно представить в виде

а(х, у\ г) = ах(х, у, г)1 + ау(х, у, г)] + аг(х, у, г ) \

Из этого следует, что для полного определения векторного поля требуются три скалярные функции трех независимых переменных

х, у и г :

М * . у, г); а„(х, у, г); аг(х, у, г) —

— проекции -вектора а (х, у, г) на оси прямоугольной системы коор­ динат (во всех последующих формулах предполагается, что эти функции непрерывны, однозначны и имеют непрерывные частные производные).

1.Потенциальный вектор. Вектор в называется потенциаль­

ным, если он является градиентом некоторой скалярной функции

? (х, у, г) (а ~ §гас! <р). Поле потенциального вектора а = §габ <р на­ зывается потенциальным, а скалярная функция ? — потенциалом этого поля. В дальнейшем предполагается, что функция <р и ее частные производные до второго порядка включительно непрерывны.

Необходимым и достаточным условием потенциальности вектора а является выполнение равенств:

(12,1)

даи дах ~3х &

Пример. Потенциальным векторным полем является поле силы

= 1 до начала координат (г Ф 0). Потенциалом этого поля является

функция о = — (см. задачу 11,3).

2.Циркуляция вектора и линейный интеграл. Циркуляцией Гх.

причем, обход замкнутого контура Ь в правой системе координат должен происходить против движения часовой стрелки.

Если Ь — незамкнутая кривая, то интеграл в формуле (12,2) называется линейным интегралом вектораЪ и обозначается буквой и

или в векторной форме

(АВ)

где 6г — дифференциал радиуса-вектора точки, движущейся по кри­ вой АВ

3.Векторная линия. Векторной линией векторного поля вектора

аназывается кривая, в каждой точке которой касательная совпа­

дает с направлением вектора а. Через каждую точку Р векторного поля вектора а проходит по одной векторной линии.

Дифференциальные уравнения векторных линий записываются так:

2В7

Проекции этого вектора на координатные оси равны

Модуль вектора го! а определяется формулой

+ ( * - & + & - % ) '■ <вд

Формулу (12,6) можно записать в виде, удобном для запоми­ нания

где вектор о = о (дс, у, г) — скорость жидкости в рассматриваемой точке.

Доказать, что при безвихревом движении жидкости и сущест­ вовании однозначного потенциала скорости о циркуляция скорости о, взятая по любой замкнутой кривой, равна нулю.

Р е ш е н и е . Обозначим проекции скорости о на оси прямо­

угольной системы координат через ох, уу, о2. Равенств*) го! о= 0 на основании формулы (12 ,6) можно переписать в виде

го1 о

Из этого следует, что

Выполнение этих равенств является необходимым и достаточ­

V — §габ 9

(см. определение на стр. 263).

Отсюда

динатную ось прямоугольной системы координат равна частной

динат ее концов А и В, так как 9 (А) н 9 (В) — значение потенциала 9 в точках А и В (предполагается однозначность потенциала ско­

замкнутой кривой при наличии однозначного потенциала равна

нут, т. е.. если о * &гас! 9 и 9 — однозначная функция, то

ф'охйх + оус1у + огйг — 0.

(Предположение об однозначности функции 9 является весьма суще­ ственным. Если 9 — неоднозначная функция, то сделанный вывод не всегда верен).