Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

15.42 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 4228 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Учитывая, что масса т стержня равна его объему, умножен ному на плотность (стержень однороден), имеем

т — 21$ч

н тогда

где верхний знак соответствует случаю х < — 1, а нижний — слу чаю х >1. Если бы в точке М была помещена не единица массы, а масса т 1( то сила притяжения была бы равна

	Задача 11,5.. Вычислить		потенциал	однородного			стержня дли
ной 2/ относительно точки			М массы т = 1 , если точка находится
в любом месте		плоскости	(но только не внутри			стержня		и не на
его	поверхности). Стержень рассматривать				как	отрезок		прямой.
	Р е ш е н и е .	Обозначим	координаты	точки М через х и у. Ее
расстояние до		переменной	точки N (и,	О)	стержня		вычисляется
по	формуле.
		г?=У (и-х)* + у>.
	Если поперечное сечение стержня равно 5, а					его	плотность ?,
то элемент стержня длиной йи имеет массу

йт = ч&йи.

По формуле (11,15) потенциал стержня

V = Г

/ ( “ — *)* + у*'

где х и у следует рассматривать как величины постоянные, а лере-

менноя интегрирования является и. Выполняя интегрирование, по лучим

		V = 75 !п [ы — х + У (и — х)2+							уг]	=
= Т5 [1п ( / - ж			+		+ «/’) - ! п		( - / - * + / ( И				- * ) * + «/*)]-
Окончательно
					V — 75 1п У « - х ) » +		у * + 1 - х
					V (I + х)* +		у* — 1— х '
Таким образом, потенциал V является функцией х и у.
Теперь,		зная		потенциал, определим силу, с						которой стержень
притягивает		точку			М. Выполним	дифференцирование функции V
по х и у:	УГ			\|	I		/		—Л)		а\
р	УГ			\|	I		/		—Л)		а\
' х ~	** ~ 7 51Уи - х р + 7 + 1 - *						’ {У(1-)г + у ~ 1)
		~ У ( 1 + х ) * + ~ у » - 1 - х ' ( Т с Г + ^ Т ? - * О )
ИЛИ
		р	=	„ с [ ________ X — I — У (1 — х)а +					у»____________
		'		‘	К / ( 1 - х ? + у ' +	1 - х ) .		У (I -		X)* +	Уг
			_________ 1 + * - У ( 1 + х ) * +					у*		]
Отсюда				( / ( / + ) + У* ~ * ~		х) / ( /		+	хУ +	у»]'
Отсюда
			Р х ~		7517 ( 1 + X)'- + у*	~	V ( I - X)* +			у»}

Замечая, что знаменатель первой дроби есть расстояние точки М до левого конца стержня В(—1, О), т. е. ВМ, а знаменатель вто

рой дроби есть расстояние точки М до правого конца стержня А{1, О), т. е. АМ, получаем

— Т5 а м } ’

р — дУ___„ Г________ 1 ___

' Ъ ‘ [У й= *ГТ? + 1 - х 'у $ = .*)*+У*

*	У
У(1 + х )»+ у* — I — х	У (I + )» + у

В первых дробях каждого из произведений в квадратной скобке последнего выражения уничтожим иррациональность в знаменателе:

р _	у* ( У {1 — х)* + у * — 1+ х	У (1 + х ») + у» + 1 + х	Л
у	у \ У и — ) + у г	У (1+ х)* + У2	)

у	\				1	— -	/ + * 1
						/(< + )+У*/
и окончательно		1—х
Р - '	75			I	-	1+х	\
			*
'	у V /(/-* )» + ^ у ( П					г ^ г + р ) -
Учитывая, что / — х *» АС\			1 + х = ВС
У У — хУ + У2 = И Л 1 , а К ( Г + ху + у* = В М ,
получим		с	Т5 глс		в с ]

		у	у	[Ш	Ъ7л\л

Преобразуем теперь выражения, найденные для Рх и Ри. Из чер-

тежа видно,	что					у
ВМ =	• ^ д; АМ =	—-—;	-гг* = з!п а;		в М	= з1п б
	С05 6 *	СОЗ а ’	А М	11	в М	— д ш р ,
					В М
поэтому Рх и Ру могут быть записаны в виде
	Рх	СОЗ а
	Рх	У
		У
	р у =	($Ш а		51П (3)

Модуль силы притяжения

Р = УР^ + Р1

и тогда

^ = ] /" ^ (С 0 5 р -С 0 5 а )а +

(51П а + 51П б)2 =

= ~ V С05* Р — 2сОЗ ОСОЗр + С082 а + $1П2 а + 2$1П а 51П Р + 5Ш2 Р =

= ^ -1 /2 — 2 (созасозр — 51п а 51п Р) =

= 7 ^ 2 К 1 - С 0 5 ( а	+	р) = Ч~	К 2 У	25«П2^
С _ 2Т5 с!п 1 ± 1			*	(К\
^ -	у	5 т —	*	(А)

Из'чертежа видно, что, если провести дугу окружности с цент ром в точке М радиусом равным ординате точке М, то длина хорды Ей, которая стягивает дугу этой окружности, заключен ную между отрезками, соединяющими точку М с концами стержня, будет равна

ЕО = 2у з т Ц ^ .

Умножая в (Л) числитель н знаменатель дроби на у и замечая» что масса т хорды Ей (если считать ее плотность и поперечное сечение такими же, как и у стержня АВ) будет равна

		т = 2у $ш		♦ 5 Т
		I__________I
получим		лляна хорда

т. е. величина силы притяжения			стержнем			точки		М равна силе,'
с которой эту	точку	притягивала	бы		масса т,			сосредоточенная
в середине дуги	Е Р,	построенной,	как		указано		выше. .
		Задача			1 1 ,6.		Определить				потен
		циал круглого однородного диска от
		носительно точки М единичной мас
		сы, находящейся					на	перпендикуляре
		к диску,		восстановленном из его цент
		ра. Расстояние точки М от. диска рав
		но г, плотность диска 7, его радиус К,
		толщину диска Л во внимание не
		принимать.			Определить				также		силу
		притяжения диском указанной									точки.
		Р е ш е н и е .				Поскольку,				как ука
		зано в условии задачи, толщину дис
		ка не следует принимать во внимание,
		диск можно рассматривать								как	круг,
		а поэтому			при		вычислении				потен
		циала	будем пользоваться							формулой
		(11,16).		Если		бы	этого		указания не

было, вычислять потенциал следовало бы по формуле (11,17). Введем на плоскости диска полярные координаты р и <р, по местив полюс полярной системы координат в центр диска. В поляр ной системе координат элемент площади равен рАрАу. Элемент

объема диска

ЛрАрА<р,

а масса	этого	элемента
		Ат — ч/грАрАу.
В формуле		(11,16) расстояние	г точки М до элемента диска
равно
и тогда	потенциал
	<*)	О о	г -
	<*)	О о
		V — 2*7/1 ( К	я ч ^ - г ) .

Модуль силы притяжения найдем по формуле (11,14). Так как

точка /И	симметрична	по отношению	к диску, то проекции Рх и
Р„ силы	притяжения	на оси Ох и Оу равны нулю: Рх — р„ Л 0.-
Остается	ЛЛ/		У
Остается	найти Рг =

Если учесть, что масса диска т «= пЫ}уН, то ук =

и поэтому

г2т г — У к * + г *

**Рг * У Я Н ?

Задача 11,7. Определить потенциал и силу притяжения по лого шара (шарового слоя) относительно точки М единичной

массы, лежащей:	1) вне шара; 2) внутри полого	пространства
3) внутри массы слоя.
Радиусы шаровых поверхностей, ограничивающих слой для
внутренней и внешней поверхности, равны соответственно а и к
(а < /?), плотность у является известной функцией		р — расстояния
точки слоя от центра шара: у ■» <\|>(р).
Решение. Обозначим расстояние точки М от центра шара через
г и расположим	координатные оси так,, чтобы положительное на

правление оси Ог проходило через точку М. На			чертеже ОС = а;
00 — Я; ОМ =» г; ОЫ= р.	Применим	сферические координаты.
Известно, что в сферической системе		координат	элемент объема
(IV = р®51П б^р		АЪ.
Поскольку плотность т =	ф (р), находим, что		масса элемента
слоя

ёт ■» <|»( р) р* 51п 0 йр

Так как мы имеем дело с телом, то для решения задачи надо воспользоваться формулой (11,17). Входящая в нее величина

г = V •+■ р*— 2ргсоз0

равна расстоянию МЫ точки М до элемента объема и тогда по тенциал

Ф(р) ра$1п е

л<р ль

г%+ р®— 2рг со$ 6

Я2к *

&\пЪ4Ъ

■а + Ра — 2рг соз 0 *


/ =	Г -	81пМЙ		в	а. 1 ] / г* +			р*-_2р2СО8 0 Г =
^	У г г + рг — 2ргсо5			в		Р* г		V	V	\|0
	=	± (Кг* +	Р2 +		2рг -		Кг* +		р * - 2рг).
При вычислении		интеграла была				использована формула				,) г и
= 2 К й + с.	Производная		подкоренного выражения по							,) г и
= 2 К й + с.	Производная		подкоренного выражения по							переменной
6 равна 2рг $ш 0.		Следует	учесть,			что
		V г2 +	р* —	2рг =			V ( г —	р)* =

г — р, | если г > р (т. е. если точка М лежит вне шарового слоя)

р — г, / если г< р (т. е. если точка М лежит внутри полого простран ства).

Случай 1 (фиг. 11,1). Когда точка М лежит вне шарового слоя, то г > р , К ( г — р)г = г — р, а

/ = ^ [ ( г + Р )~ <г — Р) = ^ ( 2 + Р— г + Р) = 7 ’

	2*
Тогда, учитывая,	что^	</<р =	2*, получаем
	о	я	я
^	* 2« ^ ф (р) р^р — ^ ^ <р (р> ра <р,
или иначе			П
			П
		У =	-^4<\|» (р)р<*р.	(11,18)

Выражение 4*р*Лр есть объем бесконечно тонкого шарового слоя, а так как <Ь(р)— плотность, то 4*^(р)р2^Р есть масса бес

конечно тонкого шарового слоя, поэтому [ 4к<|> (р) Р2^Р равен всей

а
массе т рассматриваемого шарового слоя.
Окончательно относительно внешней точки потенциал шарового
слоя
т	(11.19)

Случай 2. Если точка М лежит внутри полого пространства

шара, то г < р , У (г— р)* = р— г,	а интеграл
/ = ~ [ ( р + г ) - ( р - 2 ) ] =	1(р + г - Р + 2) = !
	Р*

и тогда относительно точки, лежащей внутри полого пространства,

с учетом того, что ^ </<р = 2л,

V = 4* ^ <\|»(р) рйр.	(11,20)
а

Из этой формулы следует, что внутри полого пространства потен циал шарового слоя не зависит от г, т. е. он одинаков во всех точках.

Нам осталось рассмотреть случай, когда точка М лежит внутри шарового слоя.

Случай 3 (фиг. 11,2). Проведем две концентрических шаровых по верхности: одну — радиусом г — е, другую — радиусом г + е. Эти две поверхности разделят шаровой слой на три части: Ти Т0 и Т2. Точка М лежит в слое Т0- По отношению к слою Т2 она является внешней. Поэтому потенциал этого слоя, который мы обозначим через

Уь следует вычислять по формуле	(11,18),	а интеграл, входящий
в эту формулу, надо вычислять в	пределах	от а до г — е, после

чего вычислить предел полученного выражения при г -*-0. Таким образом,

	2—л
	\| ф(р)р<р.
	а
По отношению же к слою	Тг точку М нужно рассматривать
как лежащую внутри полого	пространства. Поэтому потенциал

этого слоя, который мы обозначим через следует вычислять по формуле (1 1 ,20), интеграл в ней взят в пределах от г 4- е до Я, а в полученном выражении перейти к пределу, устремляя е к нулю.

Таким образом,

4* ^ | <Нр) Р^Р- *+•

Потенциал V всего шарового слоя рассмотрим как сумму потен циалов слоев Тх и Т

У = Ух + Уй,

х. е.

			*-«			Я
			I И р) Р4		4-4* Нш		И р)Р<*Р-	0.1,21)
			а			г + а
Если п л о тн о с т ь		<)>(р)	слоя есть		величина		постоянная,	равная 7 ,
ТОI			И р ) -	сопз1 =		т,
ТОI		*— ■			Я
		*— ■			Я
V =	у ^	]* ТРа <*Р +		1'т	\|	ТР<*Р =	Т [	+
		а			г + а
4- 47 П т - ^ 1		= ^	П т ((г—е ^ а 3] 4- 27 Н т [Л — (г 4- е)2).
•-♦ 0	А \|2+*		*-»0				а-г0

Вычисляя входящие в эту формулу пределы, можно сделать вывод, что если шаровой слой однороден, то его потенциал на вну треннюю точку

	У =	■ § (г8 -	а8) +		2*7 (Яг- г%	( 1 1 ,22)
При а =	0 в шаре	не будет полого пространства (полный шар)
и тогда при	постоянной плотности 7 относительно					внешней точки
потенциал шара на основании (11,19)
			V	м_
где М — масса шара.			V	г	'
				г	'
			находится внутри полного шара, а —
В случае же, если точка			находится внутри полного шара, а —
= 0 из ( 1 1 ,22) потенциал
		V =	1172* +		27/? — 2*7г\
или
		У = 27/?2 - - \| т г 4.				(И.23)

Если точка лежит на поверхности шара, то г = Я и из (11,23)- следует, что потенциал однородного шара относительно точки, ле жащей на его поверхности,

V — 2*7Л2 — у ку/Р

или

V - 4 т /г * .

Теперь перейдем к вычислению силы, с которой точка притяги

вается	шаровым слоем.							V вы
Случай		1	(точка лежит вне шарового			слоя).	Потенциал
числяется по формуле (11,19). Проекция						Рг силы притяжения на
ось Ог				дУ _	_т
			Рг =					(11,24)
				дг ~	г*
Очевидно,			что проекции	Рх и Р„ силы притяжения на оси Ох
и Оу ввиду		симметрии точки М относительно шара равны						нулю:
			Рх — Р у - О-
На	основании (11,24) мы заключаем,					что шаровой слой		притя
гивает	точку,		находящуюся	вне его,	с такой же		силой, как если

бы вся его масса шара была сосредоточена в его центре.

Случай 2 (точка лежит внутри полого пространства шара). По тенциал подсчитывается по формуле (1 1 ,20), от г он не зависит. Поэтому проекция силы притяжения на ось Ог

Случай 3 (точка находится внутри однородного шарового слоя). На основании формулы (11,22)

Г , — $

(П.25)

Но масса слоя Ти которую мы обозначим через ш1( равна

у ^ ( г 3 — а*), поэтому

Рш	щ	(11.26)
	г»

Таким образом, получается, что сила притяжения шаровым слоем точки, находящейся внутри его, такая же, как если бы вся масса этого шарового слоя находилась в его центре. Можно по казать, что это заключение остается верным и для неоднородного шарового слоя.

Укажем, что формулы (11,24) и (11,26) верны и тогда, когда вместо шарового слоя берется полный шар. Тогда в этих форму лах т— масса полного шара, а /п, масса шара радиуса г(г< /?).

Из формулы (11,23) заключаем, что притяжение полным шаром постоянной плотности внутренней точки

Р	_	- т *тг.
Р* ~ Т г ~

т. е. притяжение пропорционально расстоянию точки от центра шара.

З а м е ч а н и е . Если в точке М помещена не единичная масса, а мас са т0, то при вычислении потенциала и притяжения в соответствую щих формулах этой задачи правые части следует умножить на т0.

Задача 11,8. Дано скалярное поле <р = -рР . В каком направле

нии функция <р будет возрастать быстрее всего,		если исходить из
точки А (1, 2 ,	— 1)?
Р е ш е н и е .	Известно, что направление, в	котором функция

растет с наибольшей скоростью, указывается градиентом этой функции. Поэтому прежде всего найдем градиент заданной функ ции в произвольной точке. У нас

Подставляя значения этих производных в формулу (11,4), опреде ляющую градиент функции, получаем


	бгаб <р =		, Зху г		.2 х*у>т
	бгаб <р =
Теперь	найдем	§габ(р в точке		А (1,	2, — 1), заменив в	этой
формуле х,	у и г	их значениями в точке А:
		дс — 1; у — 2; г -• — 1 .
Вектор (§габ<р)л =		Ш ■+-12/ + 16&		и указывает направление,		в ко

тором заданная функция растет скорее всего, если исходить из точки А.

Задача	11,9	(для самостоятельного решения). Докажите, что
функция V =		V х*+ У%+		удовлетворяет уравнению Лап-
ласа		дЧ'	т	л

		1? +	3 ^ +	1? = °*
У к а з а н и е .		Используйте найденные в задаче 11,4 значения
Ж дУ	дУ

дх ' ду' дг *

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 4228 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги