Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

14.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 384 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

30	МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ	о д н о й ПЕРЕМЕННОЙ		[Га. 1
	Ь - а ) >		Ъ— а
	Ь - а ) >		2Fn+i
			2Fn+i
	Пусть теперь щ > и \ . В худшем случае точка и*			мажет на
ходиться на отрезке [a, ui] длиной
	•		F
	их — а'> и \ — а =	— 2=i— (b — а ),

Fn+1

и для установления этого обстоятельства мы должны сделать по крайней мере три вычисления значений функции, причем хотя бы одно из них во внутренней точке отрезка [a, иД Следовательно, для поиска- и* на [а, щ] в своем распоряжении мы имеем самое боль шее п—2 вычисления значений функции на этом отрезке. Однако по предположению индукции

6,1_о («х — а)	их — а ^ ы\|— а	b — а
	2Fn-г ^ ZFn-г	2F„+i

так что

6«(Рп, Ь — а) > - Ь~ - а- И при

Аналогично доказывается это неравенство для случая ы2< « 2. Та ким образом, для всех стратегий Р„, начинающихся с выбора двух точек их, u2 6 [а, b] (s = 2), имеем

бЪп(Ра, Ь - а ) > - ± = £ - { П > 3).

^Гл+1

Перейдем к рассмотрению последовательных стратегий Рп, начи нающихся с выбора s точек uv иг, . . . , us 6 [а,Ь\, 2 < s < n . В этом случае, сравнивая значения J (uj), . . . , J ( u s), найдем отрезок [as, 6S],

содержащйй точки и*	и us,	a s<		us< jb s, с		вычисленным			значением
J (us) = min J (uj). Согласно следствию					3.1	при	любых даже			самых
l < i < s					будем иметь
наилучших действиях на классе Q* [a, b]					будем иметь
bs— a s >		Ь— а		где	т =	— > 2
bs— a s >				где	т =	— > 2
	т + 1			’		2
при четном s, т =	>	1	при нечетном s > 3 .
Далее нам понадобятся неравенства:
2Fn+i > ( s + 1) F n s +2			при всех		s =	2т +	1,	3 < s < /г
и
2Fn+i> ( s +	2)F„_s +2 при всех				s =	2in,	4 <	s <	n,	( 1)

§ Л

Оптимальный последовательный поиск

для

задачи

справедливость

которых

при

п — 1

вытекает

из

неравенств

(6 .1 — 2),

при s =

(1)

просто

доказать

помощью

индукции

по п.

стратегии

Рп оказалось

s = п, то

Если

бВп(Рп,

b — а) >

Ь— а

Ь — а

2Fп+1

2(/п+1)

в силу

следствия 3.1

неравенств (1)

при

s = n .

Поэтому

пусть

3 ^ s ■< п — 1.

Однако в этом

случае

первые s шагов

плана

Фп—i

приводят к

отрезку [а*, 6*] меньшей длины:

Ы - as = - - ^ - (Ь— a) < J ^ L < bs- a s,

Fn+i

m + 1

что вытекает из неравенств (1). Для

получения

отрезка

[as, bs] нам

понадобилось s значений функции,

поэтому для

поиска и1 на [as, 6S]

мы имеем в распоряжении еще п — s + J

значение

функции

на этом

отрезке,

включая

точку us с известным J (us).

Однако

по

предпо-

' ложению индукции

6®_s+i {Ь — а) =

bs — as

2Fn-s+г

поэтому

8ъп (Рп, b - a ) > -bs- -as

•flo

b — a

2F„_s+2

2Fn+1

2/Vj-s+2

Таким образом,

доказано,

что бб„(, Рл,

b — а) >•

b — а

для любой

последовательной стратегии Рп (п >

2Fn+i

любого е,

2), и, кроме того, для

О <с е <

■ Ь~

, существует

стратегия

Фп,

для которой

2Fл+1

Ь— а) <

Ь — а

бп (Ф п,

2Fп+1

Следовательно,

6 ® ( й - а ) =

inf6^(P„,

b — а ) =

Рп

2Fn+1

Заметим, что величина е на практике не может быть сколь угодно малой в силу ограниченных возможностей измерительных приборов, ЭВМ и тгп. Пусть е > 0 — тот наименьший сдвиг между

числами, который можно измерить, и пусть 0 < ^ 8 < [-^ — — . Учи-"

2Fn+i

тывая конечность числа е, вместо описанного выше плана Фп можно использовать следующий более точный и полностью сим-

МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ одной ПЕРЕМЕННОЙ

[Гл. 1

метричный план [230]. Этот план начинается с двух симметричных на [а, b] точек

ик = а + — — (b — а) + - Fn-n

1)nfl -в, ut = а + b — ик. F/i+1

Если после k вычислений функции найден отрезок						[aft,	(& >1;
а ± — а, ЬХ=	Ь), содержащий точки и*			и ик с	вычисленным		значени
ем J (ик) =	min /(«■), то	следующая		точка	берется	так:	Uk+i —
= ak + Ьк — ик и т. д. После п вычислений получим отрезок							[ап, Ьп\,
и можем положить ип =		я" Ьп .	С	помощью индукции			нетрудно
показать, что
	^ '	Ь —	а	Fn- 1
	^ '	&П\|^		2Fn
		2F,n+l		2Fn

Теперь можно ответить на вопрос: сколько следует произвести наблюдений значений /(к), чтобы с заданной точностью б> 0 оп ределить точку и* минимума /(i/)eQ *[a, 6 ]? Количество необхо димых для этого наблюдений равно наименьшему из чисел п, удов летворяющих неравенству

	Ь — а	I Fa-1
	2fn+i	Fn+i
Очевидно также, что гарантированная наименьшая возможная
.длина	отрезка [а„, Ьп], содержащего точку и*			минимума / (u )s
e Q *[a ,	b], который может быть получен по наблюдениям значений
этой функции в п точках		( п ^ 2 ),	задаваемых	последовательно,
всегда	больше 26^ (Ь— а) =	—— — .	Наконец, длина отрезка [а,Ь],
		Fn+i

на котором с заданной точностью 6 > 0 можно найти точку и* ми нимума / (ii)eQ *[a , b] по п наблюдениям значений /(w), меньше

Шп+Х.

§ 8. МЕТОД ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ

Описанные выше планы Фибоначчи являются эффективным методом отыскания точки и* минимума функции J(u )^ Q *[a, Ь]. Однако, к сожалению, нельзя воспользоваться планами Фибонач чи, не зная заранее числа п предполагаемых наблюдений значений ■функции, ибо выбор первых точек и\, «2 в этих планах требует знания числа п. Между тем на практике встречаются ситуации, когда число п по каким-либо причинам не может быть заранее определено. Иногда желательно не ограничивать себя каким-то

.наперед заданным числом п наблюдений значений J (и) и прово

§ «] Метод золотого сечения 33

дить наблюдения до тех пор, пока не удовлетворится какой-либо интересующий нас критерий, попутно стараясь, однако, чтобы ис пользуемый метод поиска по возможности скорее привел к точке минимума. В этом случае можно пользоваться методом деления отрезка пополам, не требующим знания числа п наблюдений зна

чений /(и). Однако существует еще один метод,	который также
не зависит от намечаемого числа п значений J (и)	и который при

достаточно больших п почти столь же эффективен, как и метод Фибоначчи. Это — метод золотого сечения [230].

Как известно, золотым сечением отрезка называется деление отрезка на две неравные части так, чтобы отношение всего отрезка к большей части равнялось отношению большей части к меньшей. Нетрудно проверить, что золотое сечение отрезка [а, Ь] произво дится двумя симметрично расположенными точками

их = а		3_^ 5			ы2 = а + b — их =
их = а		--------— (Ь— а) и			ы2 = а + b — их =
		= а +		(b — a),		u1< w 2,
причем
ь — а_ =	Ь-	их =	Ь — а	= , и, — а	=	1 + V5 _ j ^18033989.
Ь — их	их— а		щ — а	Ъ— и2		2

Замечательно здесь то, что точка щ в свою очередь производит золотое сечение отрезка [а, и2]: здесь

	и„ — их<^их— а = b — и2; и2— а								Г их — а
							их— а		« 2 — % ’
Аналогично точка и2 производит золотое сечение отрезка [«ь Ь\.
Опираясь		на	это свойство золотого сечения,							можно предложить
следующий метод поиска				точки и* минимума функции J (и) в Q* [а, Ь].
А именно сначала на отрезке [а, Ь] берем точки										их и и2,	задающие
золотое	сечение отрезка			[а,	Ь\ =	[ах,	6 Х].	Сравнивая J(u x) с J (и2),
находим	новый отрезок ,[а2,				А,],	а2 <^и* К		Ьг,	причем
	Ь2— = и 2 — а = Ъ— их						У 5— 1 {Ь — а),
								2
и на отрезке		[а2,	6 2] ’ находится			точка	w2, совпадающая с				одной из
точек их или		и»,	в которой		J (и2) = min J (щ)				и производящая золо-
						i< ;< 2					_
тое сечение отрезка [а2,				Ь2].	Далее берем			симметричную с и2 точку
и3 — аг + Ь2— Щ,			также	производящую				золотое		сечение	отрезка
[а2, 6 2],	вычисляя		значение J (и3)			и сравнивая			его	с J (u 2),	находим

2 Ф. П. Васильев

34 МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [Гл. I

новый отрезок [о3,

6 а], а 3<

и* <

Ь3, и т. д.

Пусть уже

известен

от

резок

/ " с " ___ J

V Л — 1

(— ------J

(Ь — а)

известна

точка ип, ап< ы л <

Ьп, производящая золотое сечение отрезка [ап,

6 „]

и _совпадающая

одной

из

точек

ult

и.,, ■<. ,

ы„,

которой

J (ип) =

min J (и,).

Тогда

качестве

« л+1

возьмем

точку

l<i<n

ип^\ =

ап -\-Ьп— ип,

также

производящую

золотое

сечение

отрезка

[ап, Ьп], вычисляем

значение J(u n+\)

и, сравнивая

с J(u n),

находим

новый отрезок

[я,1+ь b,i+i],

an+i < w* <

bn+i,

Ьп+1 — ал+, = [ ^

1 ) (ь — а)

и т. д. Процесс продолжаем до тех пор, пока не получим ы* с до статочной точностью или пока не выполнится другой интересующий нас критерий.

Пусть мы остановились на	п-м	шаге	(п > 2) и нашли отрезок
[a„, 6J , а„ < « * <& „. а также	точку	«л,	а„ < > „ < & „ , с вычислен

ным значением J ( u n) = min •/(«,), производящую золотое сечение от-

l < i < n

резка \ап, Ьп\. Заметим, что для этого нам понадобилось п вычис лений значений функции. Если мы решаем задачу А, то полагаем

ип= ип с погрешностью

|и* — Ип| < ш ах {й л — и„, ип — а„} = ^ ^ 1 ) (6 Л— а„)

Ь — а

( ^ У

Если решаем задачу Б, то полагаем ы„ = ап~^Ьп. с погрешно

стью

|и* — ип|< 6Л- * Л

W / 5 - i y - V - a ) =

Ь - а

2 V

^ / 5 + 1 J " 1

S 5]

Метод ломаных

Для сравнения с методами Фибоначчи для решения задач А и Б заметим, что при больших п число

Поэтому при достаточно больших п погрешность, получаемая при применении метода золотого сечения к решению задач А и Б, боль ше соответствующей погрешности метода Фибоначчи всего в

	Л 1 + .^ _ У _ ! _ ~					1,1708
	Ч		2	)	/ 5"
раз. Отношение	погрешности метода золотого сечения к погрешности
метода деления отрезка		пополам при решении задачи А равно
	2 _	2		У У 2 ^ (0,87		. . . ) " У 2 .
	/ 5	+	1	)	очень больших п преимущество ме
Отсюда видно,	что уже при не				очень больших п преимущество ме

тода золотого сечения становится ощутимым.

На практике иногда сочетают метод золотого сечения с мето дом Фибоначчи: на первой стадии поиска минимума применяют ме тод золотого сечения, затем, задавшись некоторым натуральным числом п, переходят к плану Фибоначчи Фп и на этом заканчива

ют поиск.			~
Упражнение. Пусть заданы /п чисел: а\,			а2, ..., ащ — и пусть
известно, что минимум minа и = а р достигается			при каком-то един-
1<А<т		... > а р, ap< a p+i<^ . .. ^ 0+.
ственном р, 1 ^ . р ^ т , причем а \ ^ а г^		... > а р, ap< a p+i<^ . .. ^ 0+.
Как организовать п выборок из	чисел	а\, а-2,	..., a,n, чтобы ар =
= minaft найти как можно точнее?	Существует ли наилучшая стра-

тегия определения р?

§ 9. МЕТОД ЛОМАНЫХ

N/B этом параграфе рассмотрим один простой метод минимиза ции функций /(«), удовлетворяющих условию Липшица на отрез ке [а, Ь\ позволяющий найти минимум с любой наперед заданной точностью [85, 182]. Напомним

О п р е д е л е н и е 1-. Говорят, что функция J (и) удовлетворяет условию Липшица на отрезке [а, Ь], если существует такая по

стоянная L ;> 0, что \|/(гг)— J(v) \|^L\|w— v\ при любых и, v^[a,			Ь].
Пользуясь формулой конечных	приращений Лагранжа,		не
трудно показать, что непрерывная	на отрезке функция J	(и) с	ку
сочно-непрерывной производной удовлетворяет условию		Липшица
с константой L = su p [/'(«) \|.

2 *

МИНИМИЗАЦИЯ

ФУНКЦИЙ

ОДНОЙ

ПЕРЕМЕННОЙ

[Гл. 1

Зафиксируем произвольную точку v отрезка [а, Ъ] и определим

функцию К{и,

и )= / ( о ) —L\u— v\ переменной и, а ^ и ^ Ь . Нетруд

но видеть,

что

функция К(и, v)

кусочно-линейна,

K{v, v ) = J ( v ) ,

К(и, v )^ .J(u )

при всех и, а ^ .и ^ Ь .

Опишем

метод

ломаных.

качестве

начального

при

ближения может быть взята любая точка и0 £

[а,

6 ]. Далее

состав

ляем функцию К {и,

«„) =

</(«„)— L |и — и01 и следующую

точку

их

определяем

из

условия min /С(и,

и0) = К (и1,

и0)

(очевидно,

их — а

или и1 = Ь).

Зная иь

а<и< 6

К {и, их), составляем новую функ

определяем

цию Рх(м) =

max К, (и, ис) и находим и.2 из условия Р х (и2) — min Р х(ц)

i = 0 , 1

.. ■,

и „ (я > 1)

уже

”

Тогда

(рис. 4). Пусть точки «0, их,

известны.

составим функцию

Рп (и) =

max К (и, и()

max {/([(ы, «„),

Рп~i («)}

( X i < n

(примем Р0 (и) = К(и, и0)) и следующую точку ип+1

найдем из усло

вия Рп (u„+i) =

min Рп(и)

и т.

д.

Если

min Рп (и) достигается

a<u< 6

a<u<b

нескольких точках,

то

каче

стве нп_)_1 берем

любую

.из

них.

Для доказательства сходи

мости этого метода нам пона

добятся

следующие

свойства

Рп(и), п = 0 ,

2 ,...: 1 )

Р„(и ) —

непрерывная

кусочно-линейная

функция и график ее представ

ляет

собой

ломаную линию,

состоящую

из

отрезков пря

мых

с угловым

наклоном

или — L\

2 ) P n {u).^.Pn+i(u),

Р п ( и ) ^ / ( и )

при

любых

и, а^.и<С.Ь

и любых

я = 0 ,

2 , . . . ;

3) Рп ( щ )= Ц щ )

при

всех

г= 0 , 1

ибо

1 ( щ ) ~

ДВС -график функции К(и.и ),

— К (Hi, Ui'j ^^Рп(^г)

J (^i) t

А;В,-график К (u ,u j, АВС.В,~график

4) Pn (u)

удовлетворяет

усло

р,(и}, АгВг Сг -граф ик К(и,иг),АоОгВг Вг8,-

граф и к Рг (и)

вию

Липшица

на

отрезке

Р и с.

[а, 6 ]

с константой L.

Т е о р е м а

Построенная

выше последовательность

{«„} та

кова, что:

lim

Pn(un+i) = J * =

in iJ(и) = J (и*)\

любая

пре-

п-»оо

a<u<6

S 5]

Метод ломаных

дельная точка ы последовательности {ип} является точкой мини мума функции /(и); 3) если J (и) достигает своего минимума на отрезке [а, b] в единственной точке и*, то вся последовательность {ип} сходится к и*.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Прежде всего заметим, что последователь

ность Р п («„-и)

монотонно возрастает и ограничена сверху;

р п- 1 («„) = minP„_i (ы)’<

Рп-

1 (ы„+1) <

Рп (ип+1),

аКи^Ь

Рп(«и-О =

min Рп (и) < Рп (а*) < J

(и*).

Следовательно,

существует

limP„r(«n+i) = P*k<

У*.

Покажем,

что

/1—>оо

Р* = J*. Пусть

и — произвольная предельная

точка последовательно

сти

{«„}. Тогда

существует подпоследовательность^{«nJ , сходящая к

и,

причем можем

считать,

что

л2< . . .

<C[nk< n k+1 <

) . . . .

Так

как

О < J

(«;) — Рп(“п+О =

р п (Щ) — Рп(«п+ 0 <

L I

— a„+i|

при

любом

/г

любых

0 <Ci<£n,

то

полагая

здесь

i =

nk—\,

n =

nk — \,

получим

0 < J (aBfc_i) — PBjk_, (aftJt) <

L \ua^ x— « „ J.

От

сюда при k -+ oo имеем

J* <

У (Д) =

lim / («„*_,) =

lim Рп,_ ! («„.) = P * < J*,

*-»oo

ft-»oo

t .

lim P„ (u„+ i) =

J* = J

(u).

П—>оо

Первое и второе утверждения теоремы доказаны. Третье утверждение теоремы теперь является простым следствием первых двух. А

Описанный метод ломаных имеет ряд достоинств. Он позволя ет получить приближенное значение точки абсолютного минимума функции J (и) на [а, Ь] и сходится при любом выборе начальной точки «о, лишь бы функция J (и) удовлетворяла условию Липшица. Метод ломаных не требует существования производной J'(u) во всех точках отрезка, наличия строгой квазивыпуклости /(«), кро ме того, функция J (и) может иметь сколько угодно локальных и абсолютных минимумов на отрезке [а, Ь]. Если константа Липшица L функции J (и) известна, то метод ломаных прост и удобен для использования на ЭВМ. На каждом шаге этого метода требуется решить простую задачу минимизации кусочно-линейной функции Р п (и), сводящейся к перебору известных вершин ломаной Рп (и), причем перебор здесь существенно упрощается, ибо ломаная Рп (ц) отличается от Р п-\{и) не более чем двумя новыми вершинами.

МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ о д н о й ПЕРЕМЕННОЙ

[ Г л. 1

Нетрудно модифицировать описанный метод ломаных так, чтобы последовательность Р п (ип+\) строго монотонно возрастала.

В работе [83] показано, что метод ломаных близок к опти мальным методам поиска минимума на классе функций, удовлет воряющих условию Липшица. Оптимальная стратегия поиска ми нимума строго квазивыпуклых функций, удовлетворяющих усло вию Липшица, рассмотрена в работе [241].

§ 10. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ. МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ

. Для минимизации некоторых классов функций можно исполь зовать более эффективные варианты метода ломаных. Опишем одну модификацию метода ломаных, пригодную для поиска мини мума выпуклых функций, когда в качестве звеньев ломаных бе


рутся отрезки касательных к графику функции.
О п р е д е л е н и е	1,- Функция			J{u ), определенная		на	отрезке
а ^ .и ^ Ь , называется выпуклой,			если
J (аи +	[ 1 — а] и) <		а/ (и) -f (1 — а) J (v)				(1)
при всех и, v£ [а, b]	и всех а, 0 <			а < I.
Когда а пробегает отрезок [0,				1], точки (а и + (1 — а) и,			a/(u)-f-
+ (1— a ) J ( v ) ) на плоскости		переменных (и, J)			пробегают хорду АВ,
соединяющую точки	Л = .(а ,	J(u ))		и B — (v,	J (и))	на	графике

функции. Поэтому неравенство (1) имеет простой геометрический смысл: график выпуклой функции на любом отрезке [и, o ] s [ a , 6 ] находится ниже хорды, соединяющей точки графика функции на концах отрезка [м, и]. Примерами функций, выпуклых на любом отрезке из области своего определения, могут служить следующие

элементарные	функции:	и2, и, — и,	\|«\|, еи, е~г\ — lnw.	Функция
sinw выпукла	на отрезке	—	и невыпукла при	О ^ и ^ л .

Более подробное изучение выпуклых функций отложим до сле дующей главы, а здесь отметим лишь некоторые свойства выпук

лых	функций,	необходимые	для описания	метода касательных
(см. также упражнения в конце настоящего параграфа).
	Т е о р е м а	1. Пусть функция I(и ) выпукла и непрерывно диф
ференцируема на отрезке [р,			Ь). Тогда: 1) справедливо.неравенство
		/ (и) > J	(v) -f J' (v) (и — v)	(2)
при	всех и, i>e[a, b] (иначе		говоря, график	гладкой выпуклой

функции лежит выше графика	любой ее касательной); 2 ) произ
водная /'(«) не убывает на [а ,	Ь]\ 3) J (и) удовлетворяет на [а, Ь]
условию Липшица с константой	L = m a x {\| / '(a + 0 ) \|, \|J'(b —0)\|}.

§ щ	Выпуклые	функции. Метод	касательных	39
	Д о к а з а т е л ь с т в о .	Перепишем	неравенство	(1) в виде

J (v-\-a(u— v ) ) —J(v) ^ . a [ J (и) — /(»)]. К левой части этого неравен ства применим формулу Лагранжа о конечных приращениях. По лучим

или

J ’ (v + Qa(u — о)) а (и — н ) < а [J {и) — J

(v)], О < 0 < 1 ,

J' (v +

0 а (« — и)) (и — и) <

J (и) — J

(v)

при

всех

О <

Отсюда

при

а -»■ +

О сразу

придем к неравен

ству (2 ).

Переменные и и v в (2 ) равноправны. Меняя их ролями, по

лучим J(v)

(« )+ / '(« ) (и— и)

при всех и,

и е [а , b]. Сложим по

следнее

неравенство

(2)

почленно. Будем иметь

[J'(u)-^J'(v)]

(и— и) ^

при всех и,

и е [а , Ь],

что равносильно неубыванию про

изводной J'(ti)

на отрезке [а, Ь]. Следовательно,

/'(а+ О )

J'(b —0)

при всех и,

a ^ lu ^ b . С помощью

формулы Лагранжа о

конечных приращениях отсюда имеем

|J (и) — J (v) |=

|/' (£) (и — v) |<

L |и — v |

при

всех

и,

v 6 [a,

6 J,

где

а < £ , < 6 ,

L = max{ |J' (а -{- 0)j,

|Л (6 — 0 )|}. А

Обозначим через U* множество точек глобального минимума

функции

/(«)

на отрезке [а, Ь], т. е.

U * = { и : a ^ . u ^ b , J(u) =

—

(и)}.

Возможны

следующие три

случая:

U* — пус-

тое множество

(примером такой функции может служить J (и) = и

при 0 < и ^ 1 ,

7(0) =

1 'на отрезке [0, 1]); 2)

U* состоит из одной

точки и*

(примером служит функция 7(ы) = и2на отрезке

[— 1, 1]) ;

U* состоит более чем из одной точки

(примером служит 7(ц) =

|ц| + |и— 1 |

на отрезке [—ll, 2]). В последнем случае существу

ет отрезок [р,

y ]sta ,

b], все внутренние точки которого

принадле

ж ат

U*,

а концы этого отрезка могут и не принадлежать

U* (при

мер: J(u )= s0

при O C w ^ l , 7,(0) = 1). В самом деле, если и* и

е У * , и.*фь*,

то

/ *^ / (а М *+ ((1— а) V*) ^ . а / ( « * ) +

(1— a . ) J ( v * )

= 7 * .

Следовательно,

7 (a u * -f (1— a ) u * ) = 7 * при всех a e [0 ,

1], т. е. весь

отрезок [и*, и*]с—U*. Теперь-остается взять p = in f[/ *,

Y=supt/*. А

Т е о р е м а

2 . Всякая выпуклая на отрезке [а, Ь] функция 7 (и),

достигающая своей нижней грани на этом отрезке, принадлежит подмножеству Q*{a, 6 ] строго квазивыпуклых функций на [а, 6 ].

Д о к а з а т е л ь с т в о .	По условию U* непусто.	Обозначим
p=infC/, Y =supf7. Как	было замечено выше, либо U* состоит
из одной точки и* и тогда	P==y = u*< либо P < y и тогда все точ
ки интервала P < w< y принадлежат U, т. е. 7 (ы )= 7		при Р

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 384 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ