книги из ГПНТБ / Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач

230

ДОСТАТОЧНЫЕ

УСЛОВИИ

ОПТИМАЛЬНОСТИ

[ Г л . а

3.

О п р е д е л е н и е

1. Функцией Кротова задачи

(1) — (3),

ответствующей

допустимой

паре

([*(],

[«;]) € D или

последова­

тельности

пар

([xih\,[Uih])<^D,k=l,2,...,

назовем всякую

функцию-

Ki(x),

l— 0, 1,

N, удовлетворяющую условиям теоремы

1.

Заметим, что если существует хотя бы одна функция Кротова

K i(x);

i = 0, 1,

N, то

функция

K i( x )+ a i

при любых au i —

= 0 , 1,

N, также является, функцией Кротова. Поэтому без ог­

раничения

общности чв

теореме

1 можем принять i?tmin=0, i =

= 0 , 1 ,

.... N— l, rImln= 0 ,

ибо в противном случае функцию K i{x}

заменим новой функцией Кг {х) + а ь

где .

N — 1

~

^

R j min Т O rn ln -

i =

0 ,

R

^

"1

П min­

imi

или последовательности

([х{й], [и^]), k — l, 2,

...,

согласно теореме 1

удовлетворяет условиям

Кг (X,

и) =

Ki+l (Fi (X,

и)) -

Ki (X) +

F°i (X,

и) >

0,

(X, и) 6 Dh

t = 0,

1.......... N

- 1,

_

'

(6>

г х ( х ,

и ) = — K n { X ) - Г ф х ( * ) + F n (х , и ) > 0 ,

( х ,

и ) е D m ,

Г 0 С*") = *0 С*") “Ь Ф() (•*")

Г 0 mini

причем неравенства

здесь

должны

обратиться

в

равенства

при

х = х\,

и = и*, или при x — Xiu, u— Uih в пределе,

когда £-voo,

i —

= 0 , 1,

..., N.

Возможно определение функции Кротова из условий

inf

[Ki+i (Ft (х,

и)) + F? (х,

и)\ - K t (x) =

0,

* 6 X t,

ueo.-w

i = 0,

, N — 1,

(7У

1,

inf F°n (x,

u) — KN (x) +

(x) = 0,

x € XN,

u £ V „

где Di (x) — множество всех тех u e K , для которых

(х, и)<=Ои i —

= 0, 1,

..., N - 1.

Сравнение условий (6), (7) с уравнением Веллмана (4.1.13)-

показывает, что функция Кротова Ki(x)

является более широким,

понятием, чем функция Веллмана Bi(x).

Определение функции Ki(x), удовлетворяющей

условиям

(7),.

и управления и = щ ( х ) ,

на

которой

реализуется

нижняя

грань в-

левой части уравнений (7), равносильно решению задачи

(1) — (3)

и соответствующей ей проблемы синтеза

(при Ф0= 0 ) . Это утверж­

дение доказывается так же, как аналогичные теоремы 4.1.2— 5.

За­

$ 3]

Дискретные управляемые системы. Оценка погрешности

231

метим, что при некоторых ограничениях на данные задачи

(1) — (3)

пример, теорему 4.1.1).

взяли некоторую функцию Ki(x) и

4.

Допустим, что мы

равление u.=Ui(x), x e l,- ,

удовлетворяющее условию

inf

Ri(x, u) = Ri (x,

щ(х)),

inf Гу(х, и) = Гу(х, uN(x)),

u&D^x)

«6Кjy

где функции Ri, r\ взяты из

(4).

Пусть траектория [хг]=|(л;0, .... xN)

удовлетворяет условиям

(2), (3)

при щ = щ (Х {) и некотором х0=

— х0^ Х 0.

Примем пару

({*,•], [щ=щ{хг)\)

в качестве приближен­

ного решения задачи (1) — (3)

и оценим

получающуюся при этом

Juj]) ^ D имеем

-

N~ 1

_

-

_

_

- '( Ы ) — ^([«<]) =

2

№ (*/,

“d — Ri(X[, U t)]+ rL(xN, «лг) —

£=0

rl (XN, Un) +

—

N~ 1

_

_

го(•'-о)

Г0(Хо)

[ Rl min -+ Ri {xi,

Wf)] -j-

£=0

-)- Гу {Xf i,

Uflf) ■

Гу mjn

r 0 m]n -f- Г 0 (Xq) ^

8 ([W f]),

откуда

1

([“Л) — inf1

([«Л) < 8 (Ы ) •

(8)

D

^ ([“*]) =

Ка£> хд +

(ut-)] -f'(c,

xN)

i—1

при условиях xi+i =

Atxt +

B c(ut),

ut e v it

i =

0,

1 , . . . , N — 1;

x0 = а, где Д- — матрица

порядка

n x tv,

B t, a h

с, a — я-мерные

векторы, bi(u) —

скалярная функция

переменной

u ^ V i^ E T, i =

области продолжает расти (см., например, [3, 4,

7, 10, 30, 35, 46, 53,.

64,

65,

73,

81,

82,

97,

99— 101,

108,

121,

122,

128,

129,

135,

139,

142,

148,

153— 156,

161, 162, 175,

187,

'195,

199,

218,

221,

229, -250,

256).

$ П

Вспомогательные сведения

233

§ 1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Говоря о банаховых и гильбертовых пространствах,

всюду ни­

функционалов, определенных на В. Примем также

обозначения:

U — замыкание множества, U, U0— множество

внутренних то­

чек U.

1. При исследовании экстремальных задач

в

бесконечномер­

О п р е д е л е н и е 1. Функционал /(«),

заданный на множест­

ве U некоторого банахова пространства В,

называется дифферен­

которых

u+/iet/,

приращение

функционала молено представить

в виде

J(u + h) — J

(«).=

(/' (и), h) + o(\\h\\),

(1)

где

J ' (и) — некоторый линейный

ограниченный функционал

на В

(т. е. /' (u) g B *),

(J'(u ), h)

—

результат применения функционала

J'(u)

к

элементу

h ;

—

>>0 при ||/г|[->-(Г Главная линейная

II h|

ционал J'(u)

называется первой

производной или

градиентом

функционала /(и) в точке u^U .

Если В — гильбертово

пространство, то сопряженное к нему

пространство

Б * согласно

теореме

Рисса— Фреше

мол<ет быть

отолсдествлено с В, и поэтому дифференциал

(/ '(«),

К)

мол<но рас­

сматривать как скалярное

произведение

некоторого

элемента

J ' ( u ) ^ B на элемент h ^ B .

234 МЕТОДЫ МИНИМИЗАЦИИ В ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

[Гл. &

Заметим, что из представления (1) следует

П т

П и + аН )-П а )

eeb{j , {u)>

а-Н-0

а

Напомним, что сопряженное

пространство В* само

является ба­

наховым с нормой |[с||в* = sup (с,

и)

для

каждого с £ В*.

Отсюда

имеем; |(/' (и), Л) |< |J'

Мв<1

(и) |в. |h |в .

О п р е д е л е н и е

2.

Функционал J (и)

называется

непрерывно»

цируемых на U в смысле Фреше,

будем обозначать через

C‘ (t/).

Очевидно, всякий

функционал

/( и ) е С 1 (U) непрерывен

на U.

О п р е д е л е н и е

3. Говорят,

что градиент /'(и) функционала

всех

и, и е В .

Симметричный ограниченный билинейный функцио­

нал

Q(u, v)

при

u = v порождает

квадратичный

функционал

Q(u,

и) с нормой

IQI — sup |Q(u,u)\.

Ml=l

естественным

Понятие квадратичного функционала является

обобщением понятия квадратичной формы

Г

(Аи, м)== ^

йци1и/

*./=1

пространстве является квадрат нормы

элемента: (и, u ) = u 2=

=з<(£и, и), где Е — тождественный оператор.

О п р е д е л е н и е 5. Функционал /(и),

заданный на множестве

LJ банахова пространства В, называется

дважды дифференцируе­

■$ п

Вспомогательные

сведения

235

мым в точке u ^ U в смысле Фреше,

если при всех /ге5, для

ко­

j („ +

h) — J (и) = (Я (и), / 1 ) | | ( Г (и) К

/г) т- о (I /г f ) ,

(2)

где J'(u) — градиент функционала,

a i (J"(u)h,

h) — квадратичный

функционал,

называемый вторым

дифференциалом

/(«) в

точке

« е U\ —

— * 0 при I h |-*■ 0.

Функционал

J (и)

называется

ционал J ( u) = ~y (Au,

и) —

(6, и) принадлежит С2(Я ), причем,

как нетрудно убедиться, разложение (2)

в данном случае будет

иметь вид

J(u + h ) - J ( u ) =

{Au — b ,h ) +

-L(A h, h).

Следовательно, J'(u ) — Au— b, J" (u ) — A.

Пусть 7 ( « ) е О ( Я )

( р =

1 или 2), пусть и, h — некоторые фик­

236 МЕТОДЫ М И Н И М И З А Ц И И В ФУНКЦ И ОНАЛЬНЫ Х ПРОСТРАНСТВАХ

[Гл. б

О п р е д е л е н и е 7. Функционал /(«), определенный на выпук­

лом множестве U, называется выпуклым, если

J (аи + (1 — a) v) < a J

(и) + (1 — a) J (v)

(3)

при всех и, v ^ U и всех а, О ^ а ^ '1 .

Если в (3) равенство возмож­

но только при а = 0

и а = 1 , то функционал J (и)

называют строго

выпуклым.

Сравнивая эти

определения с определениями

2.1.1—2,

видим,

аналогия может быть продолжена далеко не всегда.

О п р е д е л е н и е

8. Говорят,

что функционал J (и) достигает

в точке u *^ U своего

абсолютного минимума (или просто миниму­

ма) на множестве U, если /(и*)

(и) при всех u^U . Функцио­

нал J (и) достигает в точке u *^ U

своего локального минимума на

множестве

U, если

существует

окрестность

0 = { и :

u^U , 6 > 0 ,

||и— «*11 < 6 } точки

и*, такая, что J ( u * ) ^ J ( u )

при

всех н еО .

Ясно, что всякий абсолютный минимум является и локальным,

но обратное, вообще говоря, неверно.

3.

Вопрос о достижении функционалом своей нижней грани

1

П р и м е р 2. Функционал J {и) =

j (х2— и2) dt

на множестве

о

U = {u = u { t ) :u { t ) e L 2[0, 1], | и (0| < 1,

х = и,

х(0) = 0},

inf/(гг) ==— 1.

Заметим, что здесь множество U ограничено и зам ­

кнуто в L4 0 ,

1] (оно даже выпукло), а функционал /(«) непреры­

вен в норме Ь2[0, 1] (однако /(«) невыпуклый).

П р и м е р

3. Функционал

§ П

Вспомогательные

сведения

237

на шаре

£/ = {и =

и ( / ) : и ( 0 е С [ - 1 , 1 ] , |и(/)| < 1}

пространства

С[—II,

1] также не достигает своей

нижней грани

in f/ (w )= — 2,

хотя J (и)

непрерывен в

норме С[— 1,

1],

выпуклый

(он даже линейный),

а

множество

U

ограничено,

замкнуто в

С[— 1, 1], выпукло. Заметим, что пространство С[— 1, 1]

нерефлек­

годной в В-пространствах.

что последовательность ип из не­

О п р е д е л е н и е

9.

Говорят,

которого В-пространства слабо

сходится к

элементу и е б ,

если

П т (с, и„) — (с,

и)

для

любого

функционала с из .сопряженного

П ->оо

пространства В *.

Если В -— гильбертово пространство, то. согласно теореме Рис-

са— Фреше (см., например,

[127],

стр.

132, [137], стр.

177) В =

В*,

поэтому слабая

сходимость

ип к и в

этом

случае

означает,

что

П т (с, ип) = (с,

и)

для любого с е В .

оо

О п р е д е л е н и е

10.

Множество

U из

В-пространства назы­

бой последовательности

{uk} ^ U , которая сходится [слабо сходится]

к и при п~*~оо, имеет место

соотношение lim J (ип) > J (и).

Функ-

ционал J (и) полунепрерывен

r l— »oo

снизу [слабо полунепрерывен

снизу]

на множестве U, если он полунепрерывен снизу [слабо полунепре­

рывен снизу] в каждой точке u^U .

Функционал J (и)

называют полунепрерывным сверху

[слабо

238 МЕТОДЫ М И Н И М И З А Ц И И В ФУНКЦ И ОНАЛ ЬНЫ Х

ПРОСТРАНСТВАХ [Гл. ft-

сверху или снизу соответственно]; обратное

неверно. Например,

функционал J {и) = ||и|| непрерывен, но не является слабо непре­

рывным.

Следующая теорема обобщает теорему Вейерштрасса из клас­

сического анализа.

Т е о р е м а 1.

Всякий полунепрерывный

снизу [слабо полуне­

прерывный снизу]

функционал J (и) на компактном [слабо компакт­

[слабо сходящаяся] к некоторому элементу u*^ U . Из

полунепре-

рывности

снизу [слабой

полунепрерывное™ снизу] J (и) следует

lim J (ukJ

> J (и*)

— оо.

Противоречие.

Таким

образом, / * >

Л-*оо

> — оо. Далее, пусть {s/J

— произвольная числовая последователь- .

ность>такая, что е&>0, ел->-0 (&->оо).

По определению нижней грани inf J

(и) = У*

для

каждого k

ц£С/

Так

существует элемент Uh^U, для которого J*^.J(Uh)

как U компактно

[слабо

компактно], то существует подпоследова­

тельность

■ukn,

сходящаяся [слабо сходящаяся] к

некоторому

рывное™ снизу] J (и)

и неравенств

У* < У (ukn) <

J* + ekn

при п ->• сю

имеем

J* <

J (ит) <

lim У(ukn) < У ,

т. е.

У (ц*) = У*. Д

Я—*оо

Для того чтобы было удобно пользоваться теоремой 1, жела­

тельно иметь достаточно простые критерии

компактности [слабой

§ П

Вспомогательные сведения

239

ное™ снизу функционалов, связанном

со

свойством

выпуклости.

Т е о р е м а

3. Выпуклый функционал

J (и) слабо

полунепре­

рывен снизу на выпуклом множестве U 5-пространства тогда и

только тогда, когда J (и)

полунепрерывен снизу на U.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Необходимость

очевидна. Докажем до­

статочность. Пусть J (и) полунепрерывен снизу на

U (в частности,

может быть J (и) просто непрерывен).

Это значит,

что если после­

довательность

{uh} ^ U сходится к wet/ по норме, то lim J(uk)^>J(u).

k-юо

Пусть теперь последовательность

{ц д }е[/ слабо

сходится к

считать, что сама последовательность {/(«&).}

обладает

свойством:

П т J

(ик) =

lim J(u k). Из известной теоремы

Мазура

(см. [127],

FT»

-

*-,о°

для каждого номера k = l , 2, ...

найдутся такое целое m ^sk

и та­

кие действительные числа

m

.

i = k,

k +

1, •••, m,

£ akmi= 1,

m

i—k

что последовательность

vk =

^ a Ami«; будет сходиться к и по норме

5-пространства, т.

i—k .

(k~> оо).

Тогда lim J (vk) >

J (и).

е. |vk — w|—> 0

С учетом выпуклости J (и) имеем

&-*OQ

/71

пг

Однако

lim sup J {щ) =

lim J(u k),

поэтому переходя к пределу

при

k - y o o

£ -» о о

k - * o o

получим

в предыдущем неравенстве,

J (и) <

lim J

(vk) <

lim

sup J (щ) =

lim J (uk). ^

k -to o

ft->oo

i> A

ft-»oo

Из теорем 1— 3 сразу следует

Т е о р е м а 4.

Выпуклый полунепрерывный снизу (в частности,