книги из ГПНТБ / Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач

210

ДИНАМ И ЧЕСКО Е ПРОГРАММИРОВАНИЕ. ПРОБЛЕМА СИНТЕЗА

[ Г л . 4

лось

получить

некоторое приближенное решение B (x,t)

задачи

(5),

(6). Если

эта функция получена разностным методом

(напри­

мер,

методами

§ 1, 2) на

какой-то дискретной сетке точек, то до­

определим ее

(например,

интерполяцией) во всех точках

области

приближенно реализуется

inf R ( x ,u ,t )

можем

принять

в

каче-

H£V«)

для

задачи

стве приближенного решения проблемы синтеза

(1.1—4). Это значит, чтТГ приближенное решение

(х(т),

ц (т))

зада­

чи (1) — (4)

будем определять из условий

*

ф = / (X(т), и (х (т), г), т), t <

т < Т;

х(() =

х,

-

-

Т.

(15)

х (т) 6 G (т),. и (т) =

и (х (т), т), t < т <

х £ Х о

_

(15) при_ t = t 0,

х = х 0,

найдем траекторию х(х)

и управление

и (т) = и(х,(т), т ) ,

Найденную пару (х (т),

и(т )) примем

в качестве приближенного решения задачи

(1.1— 4).

Спрашивает­

ся, какая при этом будет допущена погрешность?

Т е о р е м а 5.

Пусть

функция В (х, t) кусочно-непрерывна, ку­

сочно-гладка при x ^ G ( t ) ,

t o ^ t ^ T ,

и

В (х , Т )= ф ( х )

x ^ G (T )

(подчеркнем, что B(x,t)

не обязана

быть

решением

уравнения

(5 )). Пусть для

каждой

пары (х(т),

u ( x ) ) ^ D x(t,T)

функция

Б (х (т ),т )

переменной т

непрерывна и кусочно-гладка на отрезке

при всех x ^ G ( t ) , to^.t<.T. Тогда для любой фиксирован­

ной пары

{х(х), и(х) ) e D JY , 7] справедлива оценка

где

o < j ' ( * , « ( 0 ) - • / * '<

М «),

(16)

J*‘ =

inf

J ‘ (x ,u ( т))

DXU.T]

_

Г

_

_

ei (и) = J [Я (* (*),

и (т),

т) — Rmin (X)) dx,

t

Япцп(т )=

inf

inf

R(x,u, т);

y 6 G ( t ) u G K ( t )

0 J*° (х0» и (т)) J

е„ (х0, и),

(17)

§ 4]

Проблема синтеза. Оценка погрешности

211

где

J* =

inf inf До (лг, и (()),

е0 (х0, и) =

f [R (х (т),

и (т), г) —

х & Х а D x[ t „ T ]

£

— ^min W ] dx +

в (xQ, g —

inf В (x, g

,

имеем

т

J ‘ (х,

и (/)) — J t (х,

и(х)) =

j [R (х (т), и (т), т) —

t

— R {х (т), и (т), т)] dx < г( (и).

Так как вг(й) не зависит от

(x(x),u (x))^ D jt,T ],

то отсюда

сразу

получаем оценку (16).

Аналогично,

взяв

произвольную

допустимую

пару

(jc(t ) , u (t ) ) g D J 10,7 ]

при некотором х е 1 0,

с помощью

формулы

(10) получаем

(х0, и (т)) — До (х, и (т)) =

т.

= § [R (x (т),

и (т), x) — R (х (т),

и (т), т)] dx +

В (х0, t0) —

to

— В(х, g < е 0(х0, и),

откуда немедленно следует оценка

(17).

Д,

В тех случаях, когда конструктивное описание множества Х0

затруднительно, в выражении для

во(х,й)

вместо Х0 часто

берут

G(t0). Очевидно, при такой замене величина ео(х0,й)

может лишь

увеличиться.

Из полученных

оценок (16),

(17)

видно,

что

чем

ближе

Я (х (т),гГ (т),т)

к

# т 1п(т), В (х0, g

— к inf В (х,

t0),

тем

меньше

x£Xq

нению (5) по возможности

точнее, а функция u(x,i)

должна

по­

точнее реализовать

in fi?(x,

u,t). Тогда на парах (х (т ),« (т )),

оп-

ределяемых из (15

u6V(l)

Т\ (в частно­

)>при различных x ^ G (t) и f e [ g

сти, х = х 0, t = t 0),

погрешность в определении минимального зна­

чения функционала будет небольшой.

гочлена и числа кривых

{£*(£) } e G ( i ) и т. п. Постепенно уточняя

функции B (x,t), u(x,t),

вообще говоря, можно построить последо­

т

J {и) =

т

I [{а {t)>

х {t)) + ъ (“ W* 0] dt + (с, -V[Г])

о

при условиях

x = A ( t ) x + C ( u ( t ) ,t ) , О ^ г ^ Г ;

x(Q )=x0,u(t)<=V(t);

u(t)

кусочно-непрерывно,

где

известными

предполагаются мо­

мент

Т, матрица

A{t) порядка

пХп, л-мерные вектор-функцин

У к а з а н и е . Функцию B(x,t)

искать в

виде

многочлена

первой степени переменных х = (х\

..., хп) :В ( х ,

0 =

(ф(^),х).

= f /° (X (t),

и (/), t) dt +

Фх (x (T)) +

ф0 (X (*„))

■ (1)

^0

при условиях

X (t) =

f ( x (t), и (t), t), t0< t < T ,

(2)

x(t)eG (t),

t0 < t < T ,

(3)

u = u (t)eV {t),

f0 < f < 7 \

и it) кусочно-непрерывна,

(4)

где моменты tQ, T будем считать

известными,

Ф0(х) и Ф](д:) — за ­

в §

3.1; граничные условия при t— t0 и t = T включены в ограниче­

ния

G(t).

Пару (x(t), u{t)) назовем допустимой на отрезке

если управление u { t)^ V {t), а функция x(t)

непрерывна, кусочно­

гладка на

удовлетворяет условиям

(2), (3). Множество

всех допустимых

пар

(x(t), u(t)),

обозначим

через

D[tQ, Г]. В пространстве

Е пу,Етвведем множество Dt точек

(х, и)

(1) — (4) с помощью какого-либо

метода, мы нашли допустимую

пару ( x ( t ) ,u ( t ) ) ^ D [ t 0,T] и хотим узнать,

как велика погрешность

J (u) — inf J(u).

D th.T)

Л е м м а 2. Пусть функция

K(x,t)

такова, что формула (6)

любой

фиксированной

пары

(x(t), u(t))^D [t0,T]

справедлива

оценка

0 <

/ (и) —

inf J

(и) <

е (и),

D [ t 0.T l

где

г (и)

=

j [Я ( * ( * ) .“ (*).

0 — Яга|„ ( t ) } d t + r i { x { T ) ) -

Tlmln “Ь г 0 (■*■

( t o ) )

^Omin>

Rmin( t ) =

inf R (x, u, t),

rlmIn =

inf rx{x),

romin=

inf r0{x). (8)

( x , u ) £ D f

x E X j -

* 6 X <0

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Возьмем

произвольную

допустимую пару

(х (t),

и (/)) 6 D [/0, Г].

Согласно формуле

(6) будем иметь

т

§[R (x(t),u (t),

t ) - R ( x ( t ) , u ( t ) ,

t)]dt +

и

+ rx(x [T]) — ri(x (T)) ~\r ra (x (Q)

ra (x (to))

e (u)•

Так как е(ы)

не зависит_от (х(7)>

u(t))^D [t0,T],

то отсюда имеем

0 < / ( ц ) —

inf

У (и )< е (« ). А

£>[/0,г]

Полученная оценка погрешности является естественным обоб­

щением оценок из теоремы 4.4.5.

остается

справедливой,

З а м е ч а н и е . Лемма

2,

очевидно,

если множества Dt, Хи ,

Хт в соотношениях

(8) заменить на более

1?

П

Задачи

с закрепленным временем

217

Проиллюстрируем теорему 1 на примере.

П р и м е р

1.

Пусть

требуется

минимизировать

функционал

J

(и) = | (х2— u)dt

при

условиях

x ( t ) = u ( t ) , \u(t) |.<С1, х(0) =

= х (1 ) = 0 . .

{0}, G ( t ) = E u 0 < f - < l . Очевидно, пара

Здесь

G(0) =

G(l ) =

= 0 ,

w*(f) =

0) является допустимой. Покажем, что она оп­

тимальна.

Для

этого

возьмем функцию K { x , t ) = x . Тогда

R

: Кхи +

K t + (х2 — и) = X2, г0 (х) == X, гх (х) =

— х.

пары. Далее, первое из условий (10)

достаточно проверить на мно­

жестве E iX E i : in fR s = 0 = R ( x * ( t ) ,

u*(t)).

Наконец,

множества

Х 0,

СОСТОЯТ ИЗ ОДНОЙ ТОЧКИ Х = 0 ,

ПОЭТОМУ

Г im in== 0 =

г j ( х * ( 1 ) ) ,

гОт,-,1= 0 = г о (л :*(0 )). Согласно

теореме! пара (x*(t) = 0 , и* {t) = 0 )

оптимальна.

4.

При практическом

решении задачи (1) — (4)

с использо

но получаем

некоторую

последовательность пар

(xh( t) ,U h (t))e

е D[t0, Т\, на

которых

значения функционала

J (и) убывают.

тельность {xh,uh}

минимизирующей, т.

е. будет ли lim J

(xk,uk) =

fe-»oo

= inf J(x,u)=J*'?

Задача построения

минимизирующей

последо-

Diu,n

щая теорему 1.

Т е о р е м а

2. Для того чтобы

некоторая последовательность

пар {xh(t),uh(t)}^D [t0,T]

была

минимизирующей, достаточно су­

ществования такой функции K(x,t), что: 1)

формула (6)

верна

для любой пары

(x(t),u(t));

2)

lim

f R (xk (0,

uk (0, t) dt =

f Rmln 0f) dt-

(11)

ft-> o o

J

у

t0

tо

3)

lim Tx (xk (71)) =

тimjn»

ro (xk (to)) =

^omin»

0 2 )

fc -*o o

fe-»oo

где Rmln (0,

rlmln, romin определяются согласно (8)

или (9).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Возьмем

произвольную

допустимую пару

(х (t),

u(t)).

Согласно формуле (6)

будем иметь

# П

Задачи с закрепленным временем

219

Так как

то

Я ( Ч (0 ,

«й (0> О d t - У

j Rmln ( f ) d t

= — 1.

о

о

Кроме того,

rx(*ft (1)) =

rlmln =

— 1,

r 0 (xft (0)) =

r0min =

1. Согласно

теореме 2 последовательность

(xk (t),

uk (t)) является

минимизирую­

щей.

inf J (и) = — 1 не достигается ни

Заметим, что в этом примере

D

на какой допустимой паре. В самом деле,

если х2(^ )= 0 , то в силу

уравнения

x = u ( t ) = s 0

и / ( 0 ) = 0 > — 1; если же

x2( t ) ^ 0, то

J (а) >• — J и2(t) <# > — 1

(здесь

имеем

дело с так

называемым

о

скользящим режимом [63, 142]).

5.

Использование приведенных выше достаточных условий

K(x,t),

то функцией Кротова является также К(х, t) = К ( х ,

t) +

+ а ( 0 ,

где а ( 0 — произвольная непрерывная, кусочно-гладкая на

функция (или абсолютно непрерывная на jY0>Л )-

В Част­

ности,

если взять

t

® ( 0 =

^ m i n С О dx - j - T j j n i , ,,

т

то функции, R(x,u,t), ri(x ),

г0(х), соответствующие K = K - R a ,

та­

ковы, что R(x, и, t ) = R ( x , и, t) — Rmhi(t), поэтому inf R(x,

и, 0 = 0 ,

аналогично

(x,u)eDt

=

(x)

rlm!n и inf rx (x) = 0,

xSXf