книги из ГПНТБ / Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач
.pdf•160 |
ПРИНЦИП МАКСИМУМА Л. С. ПОНТРЯГИНА |
|
[Гл. 3 |
||
|
п |
|
|
|
|
|
|
Ф у(0 (1 = |
1, 2 , |
■ |
(1) |
|
дх‘ |
|
|
|
|
тде ф0(£ )= ф 0— некоторая постоянная. Если |
взять |
какое-либо до |
|||
пустимое управление u = u ( t ) |
и соответствующую |
ему траекторию |
|||
x — x(t,u) |
и подставить их в |
(1), то получим линейную систему, из |
|||
которой однозначно определяется вектор ty(t), |
при |
лю |
|||
бых начальных условиях и любой заданной -ф0- Вектор ф(£) часто
называют импульсом, а |
самое систему |
( 1 ) — сопряженной систе |
мой. |
|
П |
|
|
|
Составим функцию |
Н(х, ф, ф0, и, t) |
= ^ фг/'(л:, и, t), называе |
мую функцией Гамильтона — Понтрягина. Тогда, как легко прове рить, системы (1.8) и (1) можно записать в следующем симмет ричном виде:
При фиксированных х, ф, ф0, t функция Я (х, ф, ф0, и, t) |
стано |
||||
вится |
функцией лишь параметра « е У и тогда имеет |
смысл |
гово |
||
рить о |
sup Н (х, ф, ф0, и, t)=sM (х , ф, ф0, t). |
Если точная верхняя |
|||
грань значений непрерывной |
функции Я достигается |
в некоторой |
|||
точке и е У , то М(х, ф, ф0, t) |
есть максимум |
значений |
функции Я |
||
при фиксированных (х, ф, ф0, t). Поэтому нижеследующую теорему, дающую необходимое условие оптимальности, называют принципом максимума [195].
Т е о р е м а |
1. |
Пусть х* (t), u*{t), |
^ „ < |
£ < 7 — оптимальное реше |
||||||
ние задачи (1.7 — |
10) при V (t) = V, G(t) = E lt, |
^ „ < ^ < 7 ; |
пусть мо |
|||||||
менты tQ, 7 |
заданы. Тогда необходимо существуют |
непрерывная век |
||||||||
тор-функция ф* (?) и постоянная ф’ , такие, что |
|
|
|
|||||||
1) ^ ;< о , |
|
П |
|
t0 < t < r - |
|
|
(2) |
|||
|
|
|
|
|
||||||
2) |
ф*(/) |
удовлетворяет |
системе |
(1) |
при |
х = |
х" (t), |
и — и* (t), |
||
3) |
при любом t £ [f0, 7 ] |
функция |
H{x*(t), |
ф‘ (t), ф*, |
и, t) пере |
|||||
менного u £ V |
достигает в точке и = и* (/) |
максимума |
|
|||||||
§ 2} |
Формулировка принципа максимума Л. С. Понтрягина |
161 |
4)выполнены условия трансверсальности на левом и право
концах, т. е. вектор |
ф *(Г) |
ортогонален |
к |
многообразию |
Si(T) |
в |
||||
точке |
х*(Т ), |
вектор |
-ф* (^0) |
ортогонален |
к |
многообразию |
S 0(^o) |
в |
||
точке х*(£0), |
или короче: ф *(г^о)'—L*S0(^0) , |
ф *(7 ) _LSi(T). |
|
|
||||||
Подробнее расшифруем условие трансверсальности для случая |
||||||||||
различных режимов на правом конце траектории: |
|
|
|
|||||||
а) |
если правый конец свободен, то условие ty* (Т) Jl Si (T) = Е П |
|||||||||
означает •ф*(7’)= 0 ;. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) |
если правый конец подвижен, то |
это |
условие гарантирует |
|||||||
существование таких постоянных а и а2, ..., |
dnI, |
что |
|
|
|
|||||
|
|
|
ni |
д/Ч (х* (Г), Т) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Г , СП = |
2 “/ |
i = |
1, |
п; |
|
(4) |
||
|
|
дх> |
|
|||||||
|
|
|
/=1 |
|
|
|
|
|
|
|
в) |
если правый конец закреплен, |
то условие ф*(7’) |
± 5 i ( 7 ') = |
|||||||
.тривиально — оно всегда выполнено.
Аналогично условие трансверсальности на левом конце траек
тории означает, что: |
|
|
|
|
|
а) |
если x(t0) свободен, то ф *(^ о)=0; |
|
|||
б) |
если x(t0) |
подвижен, то |
существуют такие |
постоянные |
|
Ь\, ь г> |
6по. что |
|
|
|
|
|
&) = |
£ |
Ь, |
(£= 1, 2,--- л); |
(5) |
|
|
/=о |
|
|
|
в) |
если x(t0) |
закреплен, |
то условие трансверсальности всег |
||
выполнено.
Теорему 1 мы сформулировали для случая, когда допустимое управление u(t) является кусочно-непрерывным. В случае же ог раниченных измеримых управлений ее формулировка полностью со храняется, только соотношение (3) следует понимать в смысле почти всюду на
Доказательство теоремы 1 можно найти в работе, [195]. Один случай этой теоремы будет доказан ниже в § 6.3.
Обсудим вопрос о возможностях применения теоремы 1 к ре шению задачи оптимального управления (1.7— 10) при К (0 — G(t)==En с заданными (о, Т. Как следует из теоремы 1, оптималь ным может быть лишь то управление u (t)^ U и соответствующая
ему траектория |
x ( t ) — x{t,u), |
которые удовлетворяют |
следующим |
||
условиям: |
|
|
|
|
|
х‘ = |
F (х, и,t), t0 |
< t < Т, |
i = 1, 2, . . . , n, |
■(6) |
|
Ф; |
dfJ (x, |
u , t ) |
дЯ(*,Ф,Фо,» ,0 |
( 7 ) |
|
dxl |
dxl |
||||
|
|
||||
/= 0
6 Ф. П. Васильев
162 |
ПРИНЦИП МАКСИМУМА Л. С. ЛОНТРЯГИНА |
|
[Г ,, 3 |
|||
|
t0 < t < T , г = |
1, 2, •••, л, |
|
|
|
|
|
*(*o )e S 0 & ). * ( T ) £ S t (T), |
|
|
(8) |
||
Ф (^о) - 1 S0 (/„) в точке x(t0), ф (7) ± S 1(T) |
в точке х(Т), |
(9) |
||||
Фо = |
const < 0 , |
|-фо la + 2 |
|Ф;(^)|а^ 0 , |
^ < ^ < 7 , |
(10) |
|
|
|
i=l |
|
|
|
|
Н(х, -ф, т|?о, u(t), t) = su.pH.(x, ф, ф0, u, t), |
t0 < t < T . |
(11) |
||||
|
|
u 6V |
|
|
|
|
Здесь фо, ф (0 |
также являются неизвестными и подлежат опреде |
|||||
лению. Таким |
образом, , из условий (6) — (11) |
нужно |
определить |
|||
2 л + г функций **'(*), |
.(t= 1, 2, |
л), л*(/) |
( i = l , 2, |
г) |
и по |
|
стоянную фо<;0. Сразу возникает вопрос: достаточно ли информа
ции, содержащейся в (6) — (11), |
чтобы определить указанные ве |
|||
личины? |
|
|
|
|
Рассмотрим прехсде всего соотношение (11), из которого, во |
||||
обще говоря, можно найти функцию |
|
|
||
u = |
u{x, ф, ф0, Г). |
|
(12) |
|
Задача отыскания функции (12) нам уже знакома |
(см. гл. 2): здесь |
|||
надо максимизировать функцию |
Н (х, ф, ф0, у., t) |
конечного |
числа |
|
переменных (л1, ..., цг)е 1 / |
при фиксированных |
(х, ф, ф0, |
0 - Во |
|
многих практических задачах удается получить явное аналитиче ское выражение для функции (12).
Предположим, |
что функция |
(12) уже известна, и подставим ее |
|
в ( 6 ) - ( 7 ) : |
|
|
|
x = f(x, u(x, ф, |
ф0, t),t), ф = |
•д Н ( х , ф, Фо, и { х , ф, Фо, t), 0 |
(13) |
|
|||
дх
В результате получили систему 2л дифференциальных уравнений первого порядка с 2л неизвестными функциями x(t), ф(£). Как известно, общее решение этой системы зависит от 2л произволь ных числовых параметров (таковыми, например,, могут быть на чальные условия x(t0), ф(*0)) . Напоминаем, что постоянная фо в
(13)пока тоже неизвестна. Можно ли выбрать эти. 2л параметров
ивеличину фо так, чтобы можно было удовлетворить условиям
(8)— (Ю)?
Заметим, что функция Н(х, ф, ф0, и, t) является линейной од
нородной функцией переменных |
фо, |
фь ..., ф„, |
поэтому |
||
и(х, аф, афо, 0 = л(х, ф, ф0, |
t) для |
любой |
функции |
a = a ( t ) > 0, |
|
Следовательно, |
система |
(13), |
а также и условия транс |
||
версальности (9) сохранят свой вид, если все величины фо, фь-»^фп умножить на один и тот же произвольный множитель а > 0 . Иначе говоря, условия (6) — (11) определяют величины фо, фь ..., фп лишь
Формулировка принципа максимума |
Л. С. Понтрягина |
163 |
с трчностью до множителя а > 0 , и этим |
множителем мы можем |
|
распорядиться по нашему усмотрению. На практике чаще всего полагают
Ы 2 + £ 1 'М *)1 2= 1, i=l
где 7 — некоторый подходящим образом выбранный момент вре мени. Если заранее ясно, что -фо<;0, то можно принять i|)0= — 1. В наших рассуждениях для определенности будем считать
Ы а + £ 1 ^ < > )1 2= 1. 4>о<0/ |
(14) |
1=1 |
|
. Теперь нетрудно убедиться, что имеющимися 2п параметрами системы (13) и величиной -фо можно, вообще говоря, распорядиться так, чтобы удовлетворить условиям (8), (9), (14). В самом деле, если левый и правый концы траектории х(^) закреплены: x(t0) — x0,
x ( T ) — xi, то получаем 2п условий (условия трансверсальности |
(9) |
в этом случае выполняются автоматически), которые вместе с |
(14) |
можно, вообще говоря,, удовлетворить за счет выбора упомянутых 2п параметров и величины фоЕсли левый конец закреплен, а пра
вый— свободный, то |
x(t0) = x о, ф (Г) = 0 , и опять |
имеем |
2п усло |
вий. Если левый конец закреплен, а правый — подвижный, то |
|||
"i |
|
|
|
* (Q = * „ ,< № = |
dhj(xd{p ,T}, -Л, (х(Т), Т) = 0 |
(/ = 1 |
,2 ,...,« ,) , |
;'= 1
т. е. всего 2n + «i условий, которые вместе с условием (14) можно, во,- обще говоря, удовлетворить соответствующим выбором 2л пара метров системы (13) и величин.-фо, a-и а 2,~-,аП1. Аналогично можно
проверить, что число параметров совпадает с числом условий для выбора этих параметров во всех остальных возможных случаях граничных режимов (8), (9).
Таким образом, принцип максимума дает «достаточную» ин формацию для решения поставленной задачи оптимального управ ления, и можно ожидать, что имеются лишь отдельные, изолиро ванные траектории системы (13), удовлетворяющие условиям
(6) — (11). Лишь эти отдельные изолированные траектории и могут оказаться оптимальными, причем их оптимальность, конечно, нужно отдельно проверить ибо теорема 1 дает, вообще говоря, не обходимое условие оптимальности.
Как видим, принцип максимума дает изящно и просто выпи сываемые необходимые условия оптимальности и приводит к спе циального вида краевой задаче (13), (8 )— (10), которую естест-
6*
164 ПРИНЦИП МАКСИМУМА Л. С. ПОНТРЯГИИА [.Гл. 3
венно назвать краевой задачей принципа максимума. Если из ка ких-либо соображений заранее известно, что поставленнаязадача оптимального управления имеет решение, и соответствующая крае вая задача принципа максимума также выделяет единственное ре шение, то последнее как раз и будет оптимальным решением. На этом пути решены многие практически важные задачи оптималь ного управления, ранее казавшиеся неприступными. Следует, ко нечно, заметить, что практическое решение краевой задачи прин ципа максимума часто связано с большими трудностями и тре
бует разработки специальных алгоритмов. |
или Т |
Кратко остановимся еще на случае, когда моменты |
заранее неизвестны и подлежат определению. Здесь мы ограничим ся следующей теоремой [195].
Т е о р е м а |
2. Пусть |
x*(t), u*(t), |
— оптимальное ре- |
|
' шение задачи |
(1.7— 10) |
при V(t) = V, |
G (^ )= £ „ , |
пусть |
начальный момент времени to известен, а конечный момент Т за ранее неизвестен. Тогда остаются справедливыми все утверждения
теоремы 1 и, кроме того, |
имеет место равенство |
|
|
|
(0. *Ф*(0. "Фо. “‘ (О. 0 = |
|
|
^ Г |
М _(х*(г),Г(т),% ,и *(г).г) d%t tQ < t < T > |
(150 |
|
.) |
" |
dt |
|
т |
|
|
|
если правый конец закреплен или свободен, а в случае подвижного правого конца это равенство заменяется на такое:
Я ( * ’ (0, |
я т |
( 0 ,0 = - |
д!Ч (.у* (Т), Т) |
|
dt |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
/=1 |
|
+ Г |
*"(**Г С .У (т ).*о .ц *(т ),т ) dx t0 < t < T, |
(15") |
||
.) |
|
dt |
|
|
где постоянные аь а2, •••, йщ те же самые, что и в (4).
Таким образом, принцип максимума и в этом случае приво дит к краевой задаче (13), (8) — (10), а наличие неизвестной ве личины Т здесь «компенсируется» появлением дополнительного условия, получаемого из (15) при t = T .
В сформулированных выше теоремах 1, 2 задача (1.7— 10) рас смотрена в предположении ]/(£) = V, G (t)s= E n, t o ^ t ^ T . О прин ципе максимума для задачи (1.7— 10), когда имеются фазовые ог раничения, см. в работах [5, 27, 55, 101, 141, 195] и др. Следует сказать, что краевая задача принципа максимума в этом случае имеет более сложный вид.
§ 2} |
Формулировка принципа максимума Л. |
С. Понтрягина |
165 |
|
|
Для иллюстрации теорем 1— 2 рассмотрим примеры. |
|
||
|
|
|
т |
|
|
П р и м е р ! . Минимизировать интеграл |
J (и) = |
j* (х2 + |
и2) dt |
|
|
|
о |
|
при условиях х = — ах+ы , х ( 0 ) = х 0. Здесь х0, а, Т — заданные по стоянные; на управление и не наложены никакие дополнительные ограничения.
Согласно теореме 1 составим функцию |
|
|
|
|||||
|
н = |
(х* + и2) + фг (— ах + и) |
|
|
||||
и выпишем сопряженную систему |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
dW |
= |
— ф0х. |
|
|
|
|
|
фх = ----- — |
|
|
|
|||
|
|
|
дх |
|
|
|
|
|
Так как правый конец х(Т) свободен, |
то из условия трансверсаль |
|||||||
ности |
имеем i()i (Т) = 0 . |
Отсюда |
следует, что |
ф о<0 |
(если бы |
|||
ф о=0, |
то ф!(^) = 0 , |
и нарушено |
условие (2) теоремы |
1). |
Поэто |
|||
му можем принять ф0= |
— 1. Тогда функция |
|
|
|
||||
|
Н = ----- (х2 -j- и2) -f- |
— афре |
|
|
||||
достигает своего |
максимума по |
и при « = ф ь |
и краевая |
задача |
||||
принципа максимума запишется в виде |
|
|
|
|||||
|
х — — ах + фъ |
фх = афх + х, |
х (0) = х0, ф (Т) = |
0. |
|
|||
Эта линейная краевая задача легко решается. В частности, отсюда следует, что подозрительным на оптимальность является управ ление
|
и (0 = фх (t) = х 0 |
еи _ еыт. е-м |
%= V a 2 + \. |
||||||||
|
(Л — а) + (%+ а) е2КТ ’ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Оказывается, оно в самом деле оптимально |
(см. пример 6.3.1). |
||||||||||
П р и м е р 2 . |
Пусть |
материальная |
точка |
движется по оси Ох |
|||||||
по закону х = и , |
где |
и — скалярный |
|
управляющий |
параметр, |
||||||
|
Требуется |
найти |
такое |
кусочно-непрерывное |
управление |
||||||
u(t), |«(0|-<П, |
О ^ ^ Г , |
чтобы |
точка, |
выйдя из начального по |
|||||||
ложения х(0) = |
1 с нулевой скоростью, |
пришла в начало коорди |
|||||||||
нат с нулевой скоростью за минимальное-время. |
|
||||||||||
В |
фазовых |
координатах х х= х , |
х2— х эта задача |
сводится к |
|||||||
задаче |
наибыстрейшего |
|
перехода |
от |
|
точки (1,0) в точку (0,0), |
|||||
когда движение происходит по закону: |
хх— х2, х2= и , |и|^1. |
||||||||||
166 |
|
ПРИНЦИП |
МАКСИМУМА |
Л. С. |
ПОНТРЯГИНА |
|
[ Г л . |
3 |
||
Согласно теореме |
2 |
составим |
функцию Н = ф0 + |
|
+ ф2ы |
и |
||||
выпишем сопряженную систему |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
д Н |
= 0, ф2 = |
д Н |
— фх. |
|
|
|
|
|
|
|
dxi |
|
д х 2 |
|
|
|
|
|
Отсюда фх^нггСх, ф2 (*) = |
с2— Cyt, |
clt с2— постоянные. |
Из |
условия |
||||||
max Я |
имеем u (t) = sign (с2 — с,*). |
Следовательно, оптимальное уп- |
||||||||
1Щ<1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равление |
(если оно существует) |
является |
кусочно-постоянной |
|||||||
функцией, |
принимающей значение ± 1 |
и имеющей не более одной |
||||||||
точки переключения tu при переходе через которую |
u(t) |
меняет |
||||||||
знак. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нетрудно убедиться, что фазовая траектория, выходящая из |
||||||||||
(1,0) |
и соответствующая |
управлениям |
u(*)=s-|-l при t^ .0 или |
|||||||
«(*) = |
— 1 |
при * ^ 0 , или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u ( t ) |
■1, |
0 < |
г < *х, |
|
|
|
|
|
|
|
— 1, |
t i < t , |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
никогда не будет проходить через точку (0,0). Остается рассмо треть управление
— 1, 0 < * < * ! ,
+ 1. •С*
Этому управлению соответствует траектория {x'(/), x2{t)}\
хх(Л = I ^ 0 - 5 ^ “, 0 С ^ С / х , |
д,2 / а _ | |
0 |
t *х , |
||
1 0.5** — |
+ / ? + ! , |
1 * — 2*х, |
* > * х. |
|
|
Из условия х 1( Т ) — х2(Т) = 0 находим |
*i = l, 7 = 2 . |
В качестве |
ве |
||
личин фо, фь ф2, требуемых в принципе максимума, можно принять
ф о=0, ф != — 1; ф2^= t— 1. Можно доказать, |
что найденные управ |
|||||||||
ление и траектория будут оптимальными (см. пример 5.2.2). |
||||||||||
Упражнения. 1. С помощью принципа максимума решить за |
||||||||||
дачу быстродействия |
для системы |
х 1= х 2, |
х2= и |
при условиях |
||||||
x (*o )& S 0, |
* ( 7 ) & S b |
I и | < 1,' |
где 5 0= { х 1= 0 , |
х2= 0 } |
или |
|||||
5 0= {| х Ч 2+ | х 2|2— 1 = |
0 } , или S 0= { x ’— 1 = 0, * 2= 0 } , а 5i = {x‘ = 0} |
|||||||||
или S ! = |
{ |JC112-|-1jc2|2—4 = 0 } . |
|
|
|
|
|
||||
2. Сформулировать принцип максимума длязадачи (1.7— 10) |
||||||||||
при условиях, |
когда |
f (х, и, t) = А (t)x + B (t) u-\-F(t), |
А.— матрица |
|||||||
порядка « Х « ; |
В — матрица |
n X r , |
F —.«-мерный вектор, и, |
кроме |
||||||
того, |
У ='{и:|«г'|г=£1, г=(Г, 2, |
..., |
г), |
G ( t ) = E n, *0< * < '7 . |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
3. |
Показать, что в задаче: найти минимум J (и) — Г (х2— и2) dt |
|||||||||
§ 2] |
Формулировка принципа максимума Л. С. Понтрягина |
167 |
при условиях х — и, х(0) = 1, *(3 ) = 1, |«|.<С1, оптимальное управ ление не существует, а минимизирующая последовательность un (t) имеет вид
|
■- |
1, |
0 < / < 1 , |
|
|
ип (О |
( - 1 ) * |
при 1 + - £ - < * < 1 |
+ - Ш - , k — 0, 1, |
. . . ,2 п — 1, |
|
|
|
|
2п |
2 п |
|
|
+ |
1. |
2 •</ •< 3 |
|
|
(на отрезке |
|
имеем дело |
с так называемым |
скользящим |
|
режимом [63, 142])/Что дает здесь применение принципа макси мума?
|
1 |
4. Найти минимум функционала |
/ (и) = J sin udt при условиях |
|
о |
x = c o s и, л:(0) = 0 , я(1) = 1, |
. Показать, что u*(t) = 0 — |
оптимальное управление, и убедиться в том, что в принципе мак симума здесь надо принять ф0= 0 .
5. |
Применить принцип |
максимума к задаче: |
минимизировать |
||
|
г |
|
|
|
|
J (и) = |
j* |х (t) |2 dt |
при условиях х = и , |
а:(0) = 1, |
х ( Т ) = 1, [ы |^1, |
|
|
о |
|
|
оптимальное управление не |
|
Т> 0 задано. Показать, что при Т > 2 |
|||||
может быть однозначно определено из принципа максимума. |
|||||
6. |
Применить принцип |
максимума |
к задаче: |
минимизировать |
|
|
|
1 |
|
|
|
функционал J («) = |
j x2dtпри условиях х = и ,' х ( 0) = 0 , |ы|<^1. По- |
||||
о
казать, что краевая задача принципа максимума имеет бесконечно много решений, соответствующих управлениям
|
|
Uh (0 = |
± |
sig/г J^cos |
^ r f ] |
(п = |
0, 1 . . . ) . |
|
|
Убедиться |
в том, |
что ц *(£)= = 0— оптимальное'управление. Пока |
|||||||
зать, что |
последовательность |
{ып( 0 } |
является |
минимизирующей. |
|||||
7. |
Показать, |
что задача |
минимизации |
функционала |
|||||
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
J (и) — J и2 {и — I)2 dt |
|
|
|||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
при |
условиях |
х = и , |
х(0) = 0 , х(Т) = 1, |
Г задано, |
|||
0.<С«-</, при Т= |
1 |
имеет единственное оптимальное |
решение, а |
||||||
при |
1 |
имеет |
бесконечно |
много решений. |
Изменится ли этот |
||||
вывод, |
если снять ограничения на «? |
|
|
|
|
||||
168 |
ПРИНЦИП МАКСИМУМА |
Л. С. ПОНТРЯГИНА |
[Гл. 3 |
||
|
§ 3. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ |
|
|||
|
ПРИНЦИПА МАКСИМУМА |
|
|||
|
Если ввести вектор-функцию |
y(t) = (xl (t), .... xn (t), |
фД^), •••, |
||
фп(t)), то краевая задача принципа |
максимума (2.13), |
(2.8— 10) |
|||
может быть записана в виде |
|
|
|
|
|
|
y = F {y ,t), |
t0 < t < T , |
(1) |
||
|
PtQj(t0)) = 0 , i = |
1, |
2, . . . ,m , |
(2) |
|
|
Qj(y(T)) = 0, |
i = |
l, |
2, . . . |
(3) |
где m-\-s=2ti. При этом в случае, неизвестного Т согласно теореме 2.2 сюда нужно присоединить соответствующее дополнительное ус ловие (2.15), взятое при t— T.
Полученная краевая задача не является классической задачей Коши, так как часть краевых условий задана при <t=to, а часть — при t— T, и приближенное решение таких задач сопряжено с не малыми трудностями.
Здесь ограничимся описанием двух наиболее известных мето дов, которые могут быть использованы для приближенного реше ния краевой задачи (1)— (3): метода прогонки в сочетании с ите рациями и метода стрельб, а также остановимся на некоторых
трудностях численной реализации этих методов. Для простоты |
|
будем предполагать, что моменты tQ, Т в (1) — (3) |
известны. |
1. М е т о д п р о г о н к и с и т е р а ц и я м и . |
Опишем этот ме- |
тод сначала для линейной задачи, когда итерации не требуются. Именно пусть задача (1) — (3) имеет вид
y = |
D(t)y + |
d(t), |
t0 t |
, |
|
Р 4 |
е |
II „в |
<ч, II |
to |
|
|
' |
|
|
|
|
(bl,y(T )) = pi, i = l , 2 , . . . , s ,
(4)
(5)
(6)
где D (t) — известная матрица порядка |
2п х |
2/г, |
d (t) —'Заданная |
век |
|||
тор-функция размерности 2п, |
с ; = |
(а \, . . . |
,a fn) |
(i = 1 , 2 , . . . |
, m), |
||
bL— (be, ■■■, b?n) (i = 1, •••, s) — две заданные |
линейно 'независимые |
||||||
системы m-\-s = 2n векторов, постоянные а ; , (5, |
также заданы. |
|
|||||
Метод прогонки для решения задачи |
(4) |
— |
(6) заключается в |
||||
следующем. Сначала находят |
вектор-функции z x{t), ..., |
Zm(t), |
ре |
||||
шая линейные задачи Коши: |
|
|
|
|
|
|
|
z£ (t) =± — D* (0 zh zt (t0) = ait i = |
1, |
2, |
. . . , m; |
' |
(7) |
||
здесь D*— матрица, полученная транспонированием матрицы D. Далее, из линейной алгебраической системы 2п уравнений с 2п неизвестными
§ 3} |
Приближенное решение краевой задачи |
принципа максимума |
169 |
|||
|
( |
(2/ (И . Ух) = |
«< + , J (rf (0, |
z, (0) dt |
(i = 1,2, . . . ,/л) |
(8) |
|
1 |
i/i)= Pi. |
» = 1°2, . . . |
,s. |
|
(9) |
определяют yi = [у\, ■■■ |
,у\п). |
И, наконец, |
решая |
еще |
одну |
линей |
||||||
ную задачу Коши: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = D (t)y + d(t), |
|
|
|
у ( Т ) = у и |
|
(10) |
|||||
получают искомое решение y(t) |
задачи |
(4) — (6). |
|
|
|
|||||||
В самом деле, полученная |
из (10) |
функция у (t) |
является ре |
|||||||||
шением системы (4) |
и в силу |
(9) удовлетворяет граничным усло |
||||||||||
виям (6). Покажем, |
что y{t) |
удовлетворяет также |
и граничным |
|||||||||
условиям |
(5). Действительно, |
согласно |
(7), (8), |
(10) |
имеем |
|||||||
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
(ai, У (t0)) |
= (г, (/„), у (/„)) = |
- |
|
fo (0, У it)) dt + (z£ (T), у (H ) = |
||||||||
|
|
|
|
|
i0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= — J |
[(Zf, iO + |
(Zi, i/)] dt + |
(2, <H, #) = |
|
|
||||||
|
*0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= — j [( — |
|
Zi) + |
(2j, |
Д г /) + |
(z£, d )] dt + |
(Z; (T), y{) = |
|
|||||
|
io |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ~ -^ (zi(t),d(t))dt + |
(zl (T),yi) = |
al ( i = 1, 2, . . . ,m). |
|
|||||||||
|
^0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь мы воспользовались равенством |
(D*z,y) = |
(z,D y). Таким об |
||||||||||
разом, найденная из |
(10) |
функция |
y(t) |
есть |
решение |
задачи |
||||||
( 4 ) - ( 6 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нетрудно дать описание метода прогонки и в разностной фор ме. Для этого дифференциальные уравнения (7), (10) следует за менить разностными с помощью какой-либо известной разностной
схемы |
(например, по схеме Эйлера, Адамса, Рунге — Кутта и др. |
[20]) |
и решать получающиеся разностные задачи Коши. При вы |
числении интеграла в правой части (8) можно пользоваться из вестными квадратурными формулами [19].
В нелинейном случае для решения задачи (1)— (3) можно применить метод прогонки в сочетании с итерациями. Для этого задачу (1) — (3) линеаризуют каким-либо образом и решение ис ходной задачи ищут как предел последовательности решений со ответствующих линейных задач. Для отыскания решений линейных задач на каждом шаге итераций используют тот или иной вариант