книги из ГПНТБ / Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач

принадлежит Д(;<c,t),

то

(+Д*

В (х, t) <

J* (х,

и (т)) = .

J/° (х (х,

и*), ы* (т), т) dx +

t

+

B(x(t + At,u*),

t + At) =

t + A t

J /°(х(т,

u*),

w*(t),

+

*+Д<

(t), t) dx +

+

У*+А‘ (X (f +

Д£, и’), и**) <

j

/ °(*(T, и*). «*

t

+

Ji+At (x(t +

Ы, U * ) , U*) =

Jt ( X , «*) =

В (X ,

t).

Следовательно,

t+ A t

В (x, t) =

Jt (x,

u*) =

j

f° (x (т,

и*),

и* (t), t) dx +

i

~\- В {x(t -(- At, u*), t -j- At).

(8)

Далее,

возьмем

произвольное

w e V

и

составим управление

w (-t)eA (x,£)

согласно предположению

(7).

Пусть этому управле­

нию соответствует траектория х(х,и)

из

(5).

При сделанных пред­

положениях

существует

управление

в * (т ) е А (х(£+Д£, и) Д +А О

такое,

что

Д+д* (х (t +

At, и), и* (т)) — B(x(t -{- At, ti),

t - f

At).

Тогда управление

й ( т ) = { “ .

« ! «

+ * ,

1 о*(т), t + Д * < т < 7 \

принадлежит A(x,t),

поэтому

t + A t

B(x,t) <CJ* (х, и(х))

=

J

f° (x(x, u),u,

x) d x B { x ( t

+ At,u), t + At).

Отсюда и из

(8) следует

t + A t

j

/° (х(т, и*), и*(х), x)dx-\-B{x{t +

At, u'),t +

At) ■

— В (x, t) = 0 < j

f°(x(x,u),u, x)'dx]+

В (x(t + At, u),

t + At)— В (x, t).

§ 3]

Дифференциальное уравнение Р. Веллмана

201

Разделим

это

неравенство

на

>

0

и

перейдем к

пределу

при

At -*• +

0.

Получим

/° (х, и* (t + 0), 0 +

d- -& £ +-0, u*h

= 0 <

dt

< f° (X,

U,

t)

+

(*■(* + о, «0. О t и 6 V,

и < / <

Т.

(9)

dt

„

производная

dB(x(t

0, и *), t)

с

учетом

уравнения (5) пред-

Полная

— v

—

ставляется

в виде

dt

d_B ( x ( t +

0 , u * ) , t )

=

^

0> /(Х)

+

0)> t ) ) + B (

{Xt

t)

at

Аналогично

d B ( x ( t + 0, u ),t)

dt

= (В х ( х , t ) , f { x , и , f ) ) + B t ( X , t ) .

Из (9) тогда имеем

f° (х,

и*(t +

0), t) +

(Bx (x,

t),

f (x,

и* {t +

0), t) + B t (x,

f) =

0 <

<

f°(x,

u, t) +

(Bx ix, t),

f ix, u,

t)) +

B( (x, t)

при всех

и 6 V.

Так

как

V замкнуто и и'

-f- 0) 6 V, то последнее

неравенство может быть переписано в виде

min [Bt ix,

t) +

(Bx ix,

t), f ix,

u, t)) +

f° (x, u, *)] = 0, t0 <

/ <

T.

(10)

u€V

Полученное

соотношение

называется

уравнением

Веллмана.

К этому уравнению добавим начальное условие

В ix,

Т) =

Ф (х).

(11)

N—1

J i u o> u i> ••• у u n ) —

J i i U i , Щ + 1) + J n iu ij)

204

ДИНАМ И ЧЕСКО Е

ПРОГРАММИРОВАНИЕ. ПРОБЛЕМА СИНТЕЗА

\Гл. 4

то задача (5), (6) перепишется в виде

inf

R(x,u,t) =

0,

xeG {t),

В (х ,Т )

= Ф (х), x £ G {T ) . (8)

uev(0

Оказывается, решение задачи

Коши — Веллмана

(5),

(6), (или

(8))

равносильно решению проблемы синтеза для задачи

(1.1— 4).

Точнее, справедлива

Т е о р е м а

1.

Пусть функция B(x,t)

кусочно-непрерывна,

кусочно-гладка

и удовлетворяет условиям (5), (6),

(или

(8)) при

x ^ G ( t ) ,

Пусть для

каждой пары (х (т ),ы (т )),

удовлет­

воряющей условиям

(2)— (4),

функция Л (х (т ),т )

переменной т

непрерывна и кусочно-гладка на отрезке

при всех x e G ( t )

и t, t ( ^ t < . T . Пусть u = u ( x ,t )

кусочно-непрерывная функция, на

которой реализуется нижняя грань в (б)

или (8).

Тогда

функция.

u — u(x,t)

представляет собой решение проблемы

синтеза

для

за ­

дачи

(1.1— 4).

Возьмем некоторый момент t, t<ys^.t<T,

Д о к а з а т е л ь с т в о .

точку

x e G (f)

и через

D£t, Т\ обозначим

множество всех

пар

(х(т), ы (т)),

удовлетворяющих условиям

(2) — (4). Р ас­

смотрим задачу Коши:

X(т) =

/ (х (т), и (х (т), т), т),

t < т

<

Т; х (t) = х.

(9)

Пусть эта

задача

имеет

решение

х *(т ),

определенное

на

от­

резке

и

пусть

л* ( т) ё

6 ( т),

Положим

« * ( т )= ы ( х * ( т ),г ),

Очевидно,

(х *(т ),

и * (т )) eZXJf, Т].

Покажем,

что пара (х* (т),

и* (т )) является

оптимальным

решени­

ем задачи

(1) — (4)-. Для этого прежде всего выведем формулу

т

J 1(х, и(т)) =

J R (x( т), и (т), r)dx-\- В{х,

0 ,

(Ю)

t

1

справедливую при всех

(х (т), ы (т))еД Д ^, Т] и при всех

фиксиро­

ванных x ^ G ( t ) ,

t o ^ t c T - , здесь R(x,u,t)

взята из

(7).

Всюду

на отрезке

за исключением, быть может, ко­

нечного числа точек,

имеем

dB - . (T),T)

= R ( x (т), и (т), т) — /°( х (т), и (т), т).

dr

Так как по условию В ( х (г ), г)

непрерывна на \t, Т], то, интегрируя

последнее тождество с учетом условия (6), получим

т

т

Ф ( х ( Т )) — В(х,

t) = f

R(x(r), и (г), г)dr—f /°(х(т), и (г), г) dr,

j

<

что равносильно (10). Далее, из условия (8) имеем

R (х,

и, т) >

inf

R (х , и,х) =

R (х, и (х, т),

т) = 0,

u£V{т)

где и е У (т ), x g G(t),

Отсюда следует, что для любой

пары (х (х) , и (г )) eZ)JY, 7]

справедливо неравенство

Я (х (т), и(т), т) >

0 е= # ( х*(т), и* (г), х), * < т < 7 \

(11)

А тогда с помощью

формулы (10)

и условия

х* (t) = x ( t )

= х

сразу получим

т

Jt{x ,u (т)) — Д (х, и* (т)) = J

[R (х (т), и (т), т) —

t

— R (х* (т), и* (т), т)] dx > 0

при всех х (т ),

и(х) ) g O JI, Т\. ±

Кстати, из

(10),

(11)

следует, что

Т е о р е м а 2. Пусть

функции B (x ,t), u ( x ,t )

при x£ G (t),

t0 Kt<^.T, удовлетворяют

всем условиям теоремы 1, и

точка х* оп­

где Х 0 = { х : х £ G (t0), Dx [t0, Т ] ф 0 } .

Тогда траектория х* (т) € G (х),

/0 < т

определяемая

из

(9) при

t — t0,

х =

х*

и

управление

ц* (т) =

и (х* (т), т), t0 < т; <

Т,

представляют

собой

оптимальное [ре­

шение задачи (1 .1 — 4).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Возьмем

произвольные

х е ! 0 и

(х(т),

u{x).)<=Dyt[tQ, Г ]. Неравенство

(11) при t = t 0, очевидно, так­

же справедливо. .Поэтому с учетом

определения

хо

из формулы

(10) имеем

. J (и) — J («’) ЕЕ*До (х, и (т)) -

До (х;,

и* (т)) -

| [R (X (х), и (т), т) -

io

206

ДИНАМ И ЧЕСКО Е ПРОГРАММИРОВАНИЕ. ПРОБЛЕМА СИНТЕЗА

[ Г л , ./

с функциями,

приближенно реализующими эту нижнюю

грань.

Аналогично

при решении

задачи с подвижным

левым

концом

inf В (х, t0)

также может не достигаться. В таких случаях могут

*ех0

оказаться полезными следующие две теоремы.

Т е о р е м а

3. Пусть функция В (х, t) удовлетворяет

всем ус­

ловиям теоремы 1, и пусть

имеется

последовательность

функций

uk (x,x)

( k = l ,

2, ...), таких,

что:

1)

Uk(x,т) определена,

кусочно-непрерывна и ии(х,т ) е К ( т )

при всех x<=G(т),

2)

решение хк(х) задачи Коши:

х(х)

= f ( x ( x ) , u k (x{т ),т ),т ),

t <

т < Г; л:(t) =

х

(12)

существует и хк (х) в G (х) при ^ <

т <

Г ;

г

3)

П т Г R (xk (т), uk (т), т) dx =

0,

Л**»оо J

где uk ( x ) = u ( x k (x),x), t ^ x ^ T , (й = 1 , 2,

...,).Тогда последователь­

ность

(хь(т),

uh(x))

{ k = l ,

2, ...) является минимизирующей для

задачи

(1) — (4) и,

таким образом,

функция uh(x,

t),

k = \,

2, ...,

осуществляет приближенный синтез.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Возьмем

произвольную

пару

(x(x),u(x))^D^t,T\

при некоторых

фиксированных

t,

to^t<^T,

x ^ G ( t ) . Согласно формуле

(10)

и условиям Xk{t)— x { t ) = x

тогда

имеем

при

k-+oo, поэтому и

левая

часть имеет,

предел. Поскольку в

силу

(8)

R (х (х), и (х), х) >

inf

R (х (х), и, х) =

0, t < т < Т,

'

иек(т) .

D x [ t,T ]

Л->оо