книги из ГПНТБ / Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач

приближения yo(t), приближения yi{t), ..., yk(t),

••• можно искать

как решения линейных краевых задач

Ук+ 1 = F (Уk, t) +

Ак (/) (Ук+\ — Ук) у h

<

t <

Т,

v

Pi ( Ш ) Я ( ' Р,' ^

У

, ifcfi (*„)-&(*„))=<>,

(11)

Q i(y k (T )) +

(

dQi{ydk {T)) ,

Ук+1 ( Т ) - Ук(Т)) =

о,

i = l, . . .

,s, k =

0,

1, 2, ..

и

известная матрица,

dPi

dQi

— гради-

где Лй(с) — некоторая

.

■и ——

ду

ду

енты

функций P i (у)

и Q i(y ) соответственно.

К

сожалению, ника­

ких общих правил выбора матриц A k (t) не существует.

В тех слу­

чаях,

когда F (y ,t ) гладкая

функция,

полезно принять

-A k (t) =

dF (yk (t),t) ~

следует сказать, что

F(y, t)

лишь в ред-

_ —

Однако

ду

ние u = u (x , ф, фо, t), определяемое из условия

max Я (л:, ф, ф0, u, t),

часто бывает негладким или даже разрывным,

uev

и в этом случае от

2.

М е т о д с т р е л ь б заключается в

следующем.

Из условий

(2 ) , вообще говоря, можно

выразить m

координат

вектора у (to)

через остальные

s = 2 n —m координат. Пусть для определенности

первые /п координат у 1(to),

...,

ym(to) однозначно выражаются че­

рез

остальные

координаты

у 1 (to) =a>i(ym+I (^0),

y2n(to)),

i = l , 2 ,

Зададим каким-либо образом

у™+*у0) = % * ( t= l,...,s ),

ет вектор у (t0) = уо(Х ).

Решая

задачу

Коши для системы

(1) с

начальным - условием

y(to)=yo(X ),

получим

вектор-функцию

y(t,X), t o ^ t ^ T ,

которая

при

любом

выборе

X удовлетворяет

граничным условиям (2). Подставим у(Т, X) в

граничные

усло­

вия (3) и получим функции

Q i(y(T ,X ))=(fi(X ),

i — 1, ..., s,

пара­

метров Х = (Я,1.......

Xs).

Для

удовлетворения граничным условиям

(3) параметры X следует выбрать так, чтобы X удовлетворяли сле­

дующей, вообще говоря, трансцендентной системе уравнений:

ФДЯ,)

= ф , (А,1, —

, Я.*) = 0 (t = 1, 2, . . .

, s).

( 12)

172

П Р И Н Ц И П МАКСИМУМА Л. С. ПОНТРЯГИНА

\Гл. 3

(4) — (6) теперь остается

подставить найденную функцию y(t, А,)

в (6)

и определить Я,1, ....

Xs из получающейся при этом линейной

алгебраической системы

£

V (bh г} (Т)) =

pf - (bh z0 (Г)) (£ =

1, 2, . . . , s).

/=i

Как видим, применение метода стрельб к решению линейной

краевой задачи (4) — (6)

требует решения s + 1 задачи

Коши (для

определения z0((),

..., zs(t)) и s + 2 систем

линейных

алгебраиче­

ских

систем

(для

определения Z o(£ o), •••, zs(,£0) и параметров X).

В нелинейном случае для решения задачи (1) — (3)

можно при­

например, задачу (11)).

3.

Э ф ф е к т « н е у с т о й ч и в о с т и » и п у т и е г о п р е о д

л е н и я .

Следует заметить, что практическое применение методов

стрельб

и прогонки часто наталкивается на серьезную трудность,

у (■()

и переполнением разрядной

сетки ЭВМ даже в тех случаях,

когда

отрезок интегрирования

невелик.

Например, если

исходная система (1.4) имеет вид x=Ax-\-B(u.,t),

где А — посто­

янная матрица порядка «Х«> и,

кроме того,

f° (х, u, t) =

f° (и, t) , то

система (2.1)

для ф(£) может быть записана

так:

ф =

— Л*ф, где

Л * — матрица,

полученная транспонированием А.

Отсюда видно,

= (фо, фДО,

•••> Ф п ( 0 ) = Ф (t), удовлетворяющим системе урав­

нений

S

d f J ( x , u , t )

(13)

дх‘

полученной добавлением к системе

(2.1) еще одного уравнения при

i = 0 .

Такое

расширение

системы

(2.1) не меняет существа дела

и не

«портит» краевую

задачу

принципа максимума (2.13),

(2.8— 10),

так

как

функция

Н (и вообще

вся

задача) не зависит

'

х°,

.

-------- — =

0,

т. е. i|)o=const. (Это

от переменной1

поэтому ф0 =

дх°

прежний параметр

из

теоремы

2.1.

Далее,

как

было

замечено

выше,, умножение

вектора ф(£) =

(ф0, ф(£))

на

положительную

скалярную

функцию

ц ( 0 > 0

(в

силу

однородности

функции

П

Н (х , ф, и,

t ) =

фjf> (х , и, t)

по

переменной

ф) не меняет

вида

/=о

_

управления и— и(х, ф, t), определяемого из условия max Н(х,

ф, и, t),

u S V

стемы

(13),

можно

попытаться

искать ^другую вектор-функцию

р (0 =

(Ро(0.

р ( 0 ) =

р (0 ф (0 .

ц (0 > ° . которая будет

опреде­

ляться из некоторой «устойчивой» системы уравнений

Pi =

gi (х ,

Р. 0

(/ =

0,

1,

■••,п).

(14)

В результате краевая задача (2.13),

(2.8— 10) будет заменена на

задачу

х£ = f ‘ (х, и, t), t0 < t < C T , i = 1 , 2 , . . . , п;

Pi = Si (х,

и,

Р, t), f0 < * < 7 \

i =

0, 1, •■■, п,

x(t0) e s 0(t0),

x c n e s A T ) ,

(Л5)

р ( g = ( P

i (

g

>pnf g ) j _ s 0 ( g

в точке х ( д ,

Р (Т) = (Рх (Г),

•■■, р„ (Т)) J_

(Т)

в точке х(Т),

1=0

где u— u (x ,ty ,t)= u (x ,p ,t)

определяется^из (2.11). В силу построе­

ния системы

(14)

имеет

р(^)='р,(£)Ф’(0> р ('0 > 0 . Поэтому из

краевой задачи

(15)

можно определить те же самые подозритель­

174

П Р И Н Ц И П МАКСИМУМА Л. С. ПОНТРЯГИНА

[ Г л. 3

Таким

образом, требуется построить систему вида

(14), кото­

рая

обладала бы следующими двумя свойствами: 1) любые два

решения тр (t)

и p(i)

соответственно систем

(13),

(14)

(при од­

них

и тех же

x = x ( t ) , u = u ( t ) ) , для

которых

р(^ о)=аф (М »

a = c o n s t> 0 ,

связаны

соотношением

р (

t

)

p ,(Q > 0 ,

2) |p(OI=

P? ( 0 ) /s — невозрастающая

функция вре-

ф *= С (0ф , t0 < t < C T .

(16)

Наряду с этой системой рассмотрим^еще систему

р = С ( / ) р + е ( М ) Р ,

(17)

дящем выборе функции е(р, t) система (17) будет обладать

нуж­

ными свойствами. Это вытекает из следующих лемм.

Л е м м а 1.

Если ф (£)— решение

системы

(16) с начальным

условием ф(*0),

а p jf) — решение системы (17)

с начальным усло­

вием р(/о), если р(/о) = аф(^о) фО,

a — co n st> 0 ,

то существует

такая непрерывная функция р (^ )> 0 , что

Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим ф0 (0 —

^

, р0 (t) =

,

1Ф«)1

'

IР(ОI

где |г |= V(z, z). Так как ф0 = —%-

Ф

Ф

то,

под-

Ф

1Ф1 1ФI

1Ф1 ’

ставляя сюда выражение для ф (t) из

(16),

получим ф0 =

С (t) г]з0 —

— (С(Лф0, ф0) ф0.

Аналогично для р0 (/)

имеем

Ро =

- £ f - £ _ = С ( 0 Р о + е ( р , 0 Р о -

176

П Р И Н Ц И П МАКСИМ УМА

Л. С. ПОНТРЯГИНА

[Т,1. 3

или даже е(р, £)==— Стах, где постоянная

С тах > max ( £

|Су(0 |а)'/а,

£,/=0

С^СО-

элементы матрицы С (it). Заметим, что приведенные функции

е (р ,t)

от р не зависят, и система

(17) остается

линейной относи­

тельно

р.

В

некоторых случаях выбор

е (р, t) •< — —

*

может при-

е!

титься в машинный нуль.

Во избежании

этого

можно

принять

е (р> 0 = е (Р2). где е(г)

— непрерывная функция одной переменной,

удовлетворяющая условиям

e (r )^ .C max при r < r b е ( г ) ^ — Стах

при г ^ г 2,

|е(г) |^ С тах

при

где гх и г2— подходящим

образом выбранные положительные числа,

г\ < г2. Например, мож­

но положить

е (г)== — 2Стах------ — +

Стах.

Го— гх

Из леммы

2

в этом

случае

следует, что если

r i^ p 2(^0) ^ г 2, то

П < р 2(0 < / 2

во

все

моменты

t<=[t0T]\

если

p2(*o )< ri

или

Р2(^о)> £ "2,

то величина_р2(£)

будет стремиться с течением времени

попасть в

полосу ri-^ p 2(0 - ^

r 2 и остаться

в этой полосе в после­

дующие моменты времени. О других способах

выбора

е(р, t)

см.

в работах

[1,

243].

Если

система

(13)

нелинейна и неустойчива, то может

ока­

заться полезным рассмотрение системы

П

Pi =

^

С£зР/ + е (Р.

0 Pi (*' = 0, 1, • • • , л),

/=о

§ 4]

Связь

с классическим вариационным исчислением

1 7 7

§ 4. СВЯЗЬ МЕЖДУ ПРИНЦИПОМ МАКСИМУМА И КЛАССИЧЕСКИМ

ВАРИАЦИОННЫМ ИСЧИСЛЕНИЕМ

Основной

задачей классического вариационного

исчисления,

как

известно

[68,

254], является следующая задача:

среди всех

x ( T ) e S i,

найти такую, которая доставляет функционалу

=

J / °(*(0,

x(t),t).dt

и

минимальное значение.

3p,ecb^x(t) — (xl (t), ..., xn(t)),

S0 и S i — за­

данные

множества

в

Е п.

Будем

предполагать,

что

функция

f°(x,u,t)

непрерывна

и имеет непрерывные производные

/2,/°,/?,

(дг('/о) = X q,

t0 задано),

а

правый

конец

х(Т)

либо

закреплен

(x(T )= X i,

Т задано), либо

свободный

( S ^ E n,

Т задано),

либо

является

подвижным

и . лежит

на

заданной

гладкой

кривой

S i= { ( x ,£ )

: х—-cp (f)= 0},

Т не задано.

Обозначим

х = и

и запишем

рассматриваемую задачу

в экви­

валентном

виде

как

задачу

оптимального управления: минимизи-

т

ровать

функционал

J {и) =

j f°

(х, и, t) dt

при

условиях

х = и ,

to^ t^ T -,

x{t0) = x Q, х (7’) е 5 1, ° и ( 0 е 1/=Дп.

Для исследования этой задачи воспользуемся принципом мак­

симума Понтрягина. Согласно теоремам

2.1—2

нужно

выписать

функцию Гамильтона — Понтрягина:

Н = ф0/° (х,

и,

t) + (ф, и) =

Н (х,

ф, и,

t),

(1)

и сопряженную

систему

Ф =

—

=

и,

t),

ф0 =

const < 0 .

(2)

Для оптимального решения u(t),

x { t ) = x ( t ,u )

должно выполнять­

ся необходимое условие

Н (x(t), ф (0, u(t)- t) =

m a x # (x (t),

ф(/), v,

t),

/„ < / < Г ,

(3)

v&V

где ф(^)

решение системы

(2) при u = u ( t ) ,

x = x ( t ,u ) .

Так как в

данном случае

множество

значений

управления V совпадает со

всем пространством Е„,

то условие

(3)

может

соблюдаться

лишь

в стационарной точке, т. е.

н и=

Фо/° (x{t), u(t),t) +

ф(^) =

0.

(4)

178

П Р И Н Ц И П МАКСИМ УМА Л.

С. ПОНТРЯГИНА

[Гл. 3

Отсюда ясно,

что фо=7^0, так как в противном случае ф ( 0 = 0

(см.

условие

(2.2)

теоремы

2.1).

Следовательно, можно считать,

что

ф о = — /•

Тогда

соотношения

(1) — (4)

перепишутся

в виде

Н (х , -ф, и, t) = — /° (х,

u, t)+

(ф, и),

(5)

Ф =

/ 2 (* ,М ) . t0< t < T ,

(6)

Я (х (t), ф (0 , и (t),

t)=

max Я (х (t), ф {t), v,t),

(7)

Ф (0 =

f°u (X(t), и (t),

о . ^0 <

t< т.

(8)

t

(t), и (/), t)]dt\-\-ф ( д ,

Из уравнения (6) имеем ф (^) = J fx {x

поэтому

с учетом

(8)

получим

to

'/2 (*(0. и (0,0 =

(

J /° (х (t),

U

dt + ф ( g .

(9)

i.

Уравнение

(9)

называется

уравнением Эйлера

в интегральной

форме-, здесь

u ( t ) = x ( t ) . Если (9)

продифференцировать

по

t,

то

at

(/° (х (0,

и (t), 0) -

/° (a-' (t), и

=

0, ц (0 = х (I().

(9')

Далее,

необходимым

условием

достижения

функцией

H (x(t), ф( 0 .

«, 0

максимума при

u = u {t )

является

неположи­

тельность квадратичной формы

£ Я «‘У (* (0. Ф (Q. « (0 - 0 Ь£/ <

0

при любых I = (Zi, Si, . . .

, у ,

i,/=l

или если учесть выражение

(5) для Я , то

£

/“д (* ( 0 , « ( 0 . 0

> 0, I е е п, t0 < t < r .

(Ю)

£./=0

Условие

(10)

называется

необходимым

условием

Лежандра.

В частности,

при n = 1 отсюда имеем