книги из ГПНТБ / Несенчук, А. П. Тепловые расчеты пламенных печей для нагрева и термообработки металла учеб. пособие

4)- Ti = t 2i = 0,30 ч;

101

1) Ti = T ;i=0,075 ч;

2) т ,- = Т22 = 0,15 ч ;

3) т,=Т2з=0,225 ч;

102

^2=815° C (t I z= 1088° K);

4) Ti=T23=0,225 4.

При Т2з = 0,15 ч подставляем значения температур. Тогда

вд

На этом расчет температур /мzX[ и tuiXl заканчиваем. Результаты расчета

заносим в табл. 6.14.

Как и в предыдущем случае, когда рассчитывалась методическая зона, строим графики зависимости (рис. 6.15):

Д/нач

6.1—6.3).

103

О д н а к о

рассчитываем время пребывания заготовки в печн

т = 0,2+0,225+0,455 = 0,880 ч (3170 сек).

Если необходимо определить время т нагрева насыпи мелких деталей (крепежа, валиков и пр.), бунта проволоки, а также нагрева и охлаждения пачки листов, можно обратиться к литературе [14, 15].

Очень часто термофизические константы Ям, срм, Ум и ам, а так­ же коэффициенты теплоотдачи в зоне значительно меняются с тече­ нием времени (тела классической формы). Причем изменение вели­ чины настолько велико, что нельзя принимать среднее значение для расчетного промежутка времени. В таких случаях расчет т выпол­ няется в соответствии с методами, изложенными в литературе

[16—19].

6.6. РАСЧЕТ ВРЕМЕНИ НАГРЕВА ИЛИ ОХЛАЖДЕНИЯ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ ТЕРМОФИЗИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТАХ СИСТЕМЫ ТЕЛ, УЧАСТВУЮЩИХ В ТЕПЛООБМЕНЕ (ТЕЛА КЛАССИЧЕСКОЙ ФОРМЫ)

Строгое аналитическое решение по нагреву п охлаждению тел сложной формы (в частности, многослойных) представляет опреде­ ленные трудности. Существует много различных методов упрощен­ ного решения задач теплопроводности. Лучшее приближенное ре­ шение уравнения теплопроводности— метод конечных разностей (метод сеток) [16]. Этот метод основан на замене производных их приближенным значением, выраженным через разности функций в отдельных точках-узлах сетки. Окончательный результат решения дается выражением, по которому последующая температура в дан­ ной точке — функция времени и начальной температуры данной и смежной точек (узлов сетки).

Рассмотрим, как представляются первая и вторая производные функции f(x) через разностные отношения. Если через аі обозначить

генсу угла между направлением касательной и положительным направлением оси абсцисс:

Возьмем на кривой две точки В(хі- и у,-_і) и D(Xi+u Уі+і) так,

104

чтобы разности х*—Хі_і = х,-+і—х; были достаточно малы. Тогда угол а,- можно приближенно заменить углом ßtили у

Если угловой коэффициент касательной FD заменить угловым коэффициентом секущей BD, то

Правая часть уравнения (6.31) называется симметричным разност­ ным отношением.

Приближенное выражение второй производной функции f(x) при х=Хі можно получить, заменив кривую на участке BD ломаной линией BAD, имеющей в точке А два наклона:

Метод замены производных разностными отношениями наибо­ лее часто применяется при численном интегрировании уравнений теплопроводности.

Рассмотрим дифференциальное уравнение одномерного темпе­ ратурного поля тела типа плоской стенки

dt(x,x) дЧ(х,х)

(6.33)

дх а дх2

Так как функция t(x, т) зависит от двух переменных х и т, то можно использовать сетку прямоугольного типа (рис. 6.17). На оси абсцисс откладывается отрезок длиной X, который делится на отдельные слои Дх. По оси ординат откладываем отрезки, пропорциональные промежуткам времени Дт. Проведя через узлы на координатных осях прямые, параллельные этим осям, получим прямоугольную

сетку.

Температуру в узлах, находящихся на осях координат и на пря­ мой, отстоящей от начала координат на расстоянии X, записываем исходя из начального и граничных условий.

Обозначим истинную-температуру в точке стенки с координатой пАх в момент времени іпАх через tn, т. Буквой п обозначим поряд­ ковый номер слоя (считая от начала координат), а буквой т — но­ мер промежутка времени (величиной Дт) с момента, принятого за нуль отсчета.

105

Частные производные в выбранной точке заменим через разно­ стные отношения (6.29) — (6.32):

Последнее выражение, называемое уравнением Э. Шмидта, имеет большое практическое применение как при численном, так и при графическом решении задач нестационарной теплопровод­ ности.

106

Формула (6.39) позволяет найти температуру для всех узлов горизонтального ряда (например, ряда т) по известной температуре в узлах предшествующего ряда (т— 1). Так как начальными усло­ виями (при т = 0) задается распределение температуры по сечению тела (известна температура в узлах, находящихся на оси абсцисс), то можно последовательно найти температуру в узлах первого, вто­ рого и других рядов.

Рассмотренная сетка (рис. 6.17) удобна для численного интег­ рирования дифференциального уравнения (6.33) при граничных условиях первого рода (в любой момент времени известна темпера­ тура на поверхности тела), так как в этом случае граничные прямые х — 0 и х = Х принадлежат самой сетке.

При расчете многослойных стенок можно использовать рассмот­ ренный выше метод численного интегрирования. При этом толщина одного из слоев принимается за основной, а толщины остальных слоев многослойной стенки приводятся к эквивалентным.значениям, используемым в дальнейшем для расчетов. Так, если рассматривает­ ся трехслойная стенка, то эквивалентные толщины второго и третье­ го слоев можно приближенно определить из выражений:

При этом справедлива зависимость (6.39) для расчета температуры в каждом из слоев эквивалентной стенки.

Температуру на границе раздела слоев многослойной стенки рассчитываем, используя следующие зависимости:

tP, п= ^0(Д.т)2энв, т — ^(Дк)2экв. т-1+|7р-1, т - і ~ ^(Дк)2экв, т-і] *1, (6.42)

где

(Ах) 2ЭКВ

ki =

( Д х ) і + ( Д х ) 2экв

р— номер расчетного участка (A-c)i первого слоя, примыкаю­ щего ко второму слою многослойной стенки.

107

Температура на границе раздела второго и третьего слоев

ts, т — І0(Ах)3эка, т — і ц & х ) 3,л .й, m -l+[^-1, го-1—^(Дх)3э[(п, m -l] &2, (6 .4 3 )

где

(Дя)зэкв

W ) зэкп-)- (А'Ѵ) зэки

s — порядковый номер расчетного участка (ДлОгэіт второго слоя, примыкающего к третьему слою составной стенки.

Чтобы определить температуру наружной поверхности такой составной стенки, можно использовать приближенный метод, кото­ рый состоит в том, что процесс внешнего теплообмена заменяется процессом теплопроводности в дополнительном фиктивном слое с термическим сопротивлением, равным термическому сопротивле­ нию теплоотдачи. В этом случае температура наружной поверхности

iq, т — ( t q —l, т - 1 — t в) ^3, (6.44)

где

Ач/аз

ka—

( А л ) з э и в - Ь ^ ч / а з

— коэффициент теплопроводности первого (основного) слоя составной стенки, ккал/м-ч-° С (0г/лг-°К);

аз — коэффициент теплоотдачи от наружной стенки к воздуху,

ккал/ м2■ч-° С (вт/м2-° К ); (Д.ѵ)зэкв — толщина расчетного слоя материала, прилегающего к на­

ружной поверхности, л і ;

q — порядковый номер расчетного участка (Дя)зэкв наружно­ го слоя составной стенки.

Если необходимо решить дифференциальное уравнение (6.33) при граничных условиях третьего рода (известны температура окру­ жающей среды и условия теплообмена между телом и окружающей

где /с — температура окружающей среды.

Сетка строится так, как показано на рис. 6.18.

Таким образом, в рассмотрение вводятся точки, не лежащие в области твердого тела. Определяем температуру в дополнительных точках, отстоящих от рассматриваемой области на расстоянии Д.ѵ/2,

(to, m ГІ t h + l , m ) -

108

Производную ( - ^ г ) г.= ѵ>входящую в условие (6.45), заменяем

разностным соотношением

Температуру на поверхности тела (в точке В) берем как среднее арифметическое температур в точках Л и С:

Рис. 6.18. Расчетная схема для гранич­ ных условии третьего рода.

Граничное условие (6.45) запишем так:

После некоторых преобразований (6.48) получим выражение для расчета температуры в дополнительном узле (точка С)

где

2Ах

4— 2К/а+Ах ‘

Температура на поверхности плоской стенки (в узле В)

где

Дх

5= 2%/а+Ах '

109