книги из ГПНТБ / Бете, Г. Теория ядерной материи

Фаза 8, определяется, конечно, точной волновой функ­ цией, зависящей от принятой формы потенциала ядерных сил. В случае прямоугольной ямы для определения 80 условие, что логарифмическая производная волновой функ­ ции должна быть непрерывна на границе ямы, является достаточным.

Такие вычисления проведены, например, Бомом [14]. Однако вычисления, проведенные при различных формах потенциала, показывают, что на зависимость поперечного сечения от энергии форма. потенциала существенно не влияет. Поэтому имеет смысл проанализировать рассеяние таким методом, для которого форма потенциала не имела бы значения, вместо того чтобы выбирать потенциал исклю­ чительно из соображений аналитического удобства. С этой целью был разобран специальный метод вычислений для рассмотрения рассеяния в дейтронной задаче. (О малом влиянии формы потенциала см. ниже.)

4. ДЛИНА РАССЕЯНИЯ

Мы можем записать выражение для полного попереч­ ного сечения, введя в формулу (10.9) волновое число k, тогда o = 4icsin2 6j//22 . При очень малых энергиях k—>0. Мы должны лишь предположить, что поперечное сечение при малых энергиях остается конечным, не стремясь ни к нулю, ни к бесконечности. (В действительности эти зна­ чения являются частными случаями развиваемой ниже теории.) Тогда sin2 o,//e2 —>(8,//г)2 ^>а2 , где введенная нами величина а имеет размерность длины. Эта длина а, опре­ деленная пока только для предела нулевой энергии, назы­ вается длиной рассеяния Ферми. Ее знак также должен быть фиксирован.

Геометрическая интерпретация длины а иллюстрируется фиг. 9. При очень малых k асимптотическая волновая функция вне области действия ядерных сил пропорцио­ нальна sin(£r+60 )—>£г+80 . Это выражение линейно по г и экстраполируется к нулевому значению при радиусе,

72 Часть II. Количественная теория ядерных сил

малых энергиях имеет вид /е (г—а). Это условие является обычным и соответствует тому, что непроницаемая сфера радиуса а имеет длину рассеяния -\-а.

Очевидно, что длину рассеяния Ферми можно опреде­ лить экспериментально. Ее величина определяется попе­ речным сечением при малых энергиях, а относительный знак

пример, кулоновские силы между одноименно заряжен­ ными частицами) имеет по нашему условию положитель­ ную длину рассеяния. Хотя полностью отталкивательный потенциал соответствует положительной длине рассеяния, тем не менее потенциал притяжения может давать как

Мы можем обобщить длину рассеяния Ферми, опреде­ лив величину a(k) для всех /г, если сохраним предельное соотношение о0—=>—ka. Записав tgS0 =—ka(k), мы, оче­ видно, допускаем для a(k) произвольно большие значения, даже если фаза имеет ограниченную область изменения.

74 Часть II. Количественная теория ядерных сил

мы имеем не что иное, как соотношение ортогональности

уравнения Шоедингера, а некоторые функции 'ф, которые

Нормировочная постоянная нами выбрана так, чтобы зна­ чение ф в начале координат равнялось единице. Этим определяется и нормировка у, так как ф асимптотически совпадает с и.

Вычтем (10.14) из (10.12). В левой стороне получаемого при этом равенства верхний предел не дает вклада, если мы выберем значение R больше значения радиуса дей­ ствия, сил потому что тогда ф—>и. В правой стороне ра­ венства мы можем по этой же причине распространить интегрирование до бесконечности. Так как и(0) = 0, то из приведенных выражений для фг и ф,' получаем для всех

Это равенство является точным при любом виде потенци­

они слабо зависят от энергии, потому что потенциальная

ражение (10.17а) становится равным постоянной, которую обозначим через х/2 г0:

Мы назовем постоянную, определяемую формулой (10.18), «эффективным радиусом».

76 Часть Л. Количественная теория ядерных сил

Для оценки точности приближения (10.18) разложим функцию ф, определяемую формулой (10.13), до членов второго порядка относительно к, используя при этом вы­ ражения (10.16) и (10.18) для /ectgo; это дает

которая представляет интерес. Проделав аналогичное раз­ ложение для и, мы получим окончательно

где Р — малый численный коэффициент, который, как было показано прямыми вычислениями, меняется в наиболее ти­ пичных случаях в пределах от —0,04 до +0,15 в зави­ симости от формы и радиуса действия потенциала. Таким образом, независимо от формы потенциала рассеяние мо­

ментальные результаты для поперечного сечения при не­ скольких энергиях и вычисляя а (к) в каждом случае из формулы (10.10). Наклон этой прямой определяет эффек­

от прямой линии. Для потенциала типа прямоугольной ямы кривая отклоняется вниз от прямой линии; для потен­ циала с длинным хвостом наблюдается отклонение вверх.

Применим формулу (10.15) к основному состоянию дей­ трона, для которого точно известна энергия связи, так что Е.2 = —W. Тогда мы имеем ф3 = e~'ir, где у2 = MW/h2; при

78 Часть II. Количественная теория ядерных сил

Двумя причинами этого противоречия могут являться:

1)Поправки к простой формуле (10.23), учитывающие конечный радиус сил.

2)Ферми показал, что поперечное сечение протонов,

рассеяния свободными протонами приблизительно до 20

7.СИНГЛЕТНОЕ СОСТОЯНИЕ ДЕЙТРОНА

В1935 г. Вигнер указал, как можно устранить это расхождение. Он обратил внимание на то, что основное состояние дейтрона дает нам сведения относительно вза­ имодействия нейтронов с протонами лишь в таком состо­ янии, когда их спины параллельны, и что должно суще­ ствовать также состояние дейтрона, в котором спины ней­ трона и протона антипараллельны (синглетное состояние). Мы пока свободны в предположениях относительно син-

глетного состояния, и если бы его энергия W была мала, то это привело бы к большому поперечному сечению рас­ сеяния при малых энергиях нейтрона Е, поскольку о про­ порционально l/(W + E). Так как значение W неизвестно, то его можно определить из наблюдаемого поперечного

цию, соответствующую значению этой проекции, равному

а(1)В(2) + а(2) 8(1)

Y2

а( 1 ) В ( 2 ) - а ( 2 ) 3 ( 1 )

/2

Первые три функции относятся к состоянию с полным спином, равным 1, последняя —к спину 0. Других линейно независимых функций не существует. Поэтому статисти­ ческие веса этих состояний составляют соответственно 3 и 1.

Используя формулу приближения нулевого радиуса (10.23) и статистические веса, согласно (10.25), и обозна­ чая энергии триплетного и синглетного состояний соот­ ветственно через Wt и W3, получаем для поперечного се­ чения

(10.26)

Подставляя измеренное значение поперечного сечения при малых энергиях и известную величину Wt = 2,23 Мэв, по­ лучаем для Ws значение около 60 кэв — величину, значи­ тельно меньшую чем Wt. Связь в синглетном состоянии много слабее, чем в триплетном.

Используя нашу более общую теорию эффективного радиуса с включением в нее как триплетного, так и син­ глетного состояний, мы можем написать выражение для

эффективный радиус для триплетного состояния, а а$ и /'оч — т е же величины для синглетного состояния.

О спине нейтрона. Эти опыты дают также доказатель­ ство того, что спин нейтрона равен 1 / 3 . Если бы он рав­ нялся 3 /2 , то двумя состояниями, участвующими в рассея­ нии, были бы квинтет S = 2 со статистическим весом 5 и триплет 5 = 1 со статистическим весом 3. Это дало бы

меренным значением с при малых энергиях, то при энер­ гиях 2Е ~ 400 — 800 кэв получаются сечения, превосхо­ дящие экспериментальные в 1,5 раза, — отличие, сильно превышающее ошибки опыта. Если бы спин нейтрона был больше 3 / 2 , то для получения правильного значения пол­ ного спина дейтрона в основном состоянии нам пришлось

личины а (/г), необходимы измерения, включающие когерент­ ное рассеяние. Рассеянная волна должна интерферировать с некоторой другой рассеянной волной для того, чтобы можно было определить относительный знак. Оказывается, что знак as отрицателен в противоположность знаку а,. Но уравнение (10.21) имеет решение с вещественным, соответствующим связанному состоянию значением у толь­ ко в том случае, если величина а положительна. Поэтому синглетное состояние системы нейтрон — протон является