книги из ГПНТБ / Бете, Г. Теория ядерной материи
.pdf§ 9. Основное состояние |
дейтрона |
61 |
величины. Полагая Е = — W, где W положительно, в слу чае потенциальной ямы получаем из уравнения (9.3)
a^ + §(V0-W)u |
= 0 |
при г<а, |
(9.4а) |
§ ? - р - ^ " = = 0 |
при г> а. |
(9.46) |
Функция ф должна быть повсюду непрерывной и ограни ченной и иметь непрерывную производную. Поэтому функ ция и = /'ф должна обладать теми же свойствами непре рывности и обращаться в нуль при г = 0, а при г —>• со должна расходиться не сильнее, чем г. Решениями уравне ния (9.4), удовлетворяющими условиям при /' = 0 и на бес конечности, являются
|
|
u = As\nkr |
при |
/" < |
a, |
|
(9.5а) |
||
где |
|
и = Ве-чг |
|
при |
г>а, |
|
(9.56) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kesVMw0-w)t |
|
|
|
|
( 9 6 а ) |
||
|
|
1 = 1-—. |
|
|
|
|
(9.66) |
||
Соотношение |
между |
шириной |
и глубиной |
потенциаль |
|||||
ной ямы. Так как и и |
ее |
производная непрерывны, то |
|||||||
должна |
быть непрерывной и производная от In и. Исполь |
||||||||
зуя это условие |
при г = а, |
получаем соотношение |
|
||||||
|
|
/ г с г ^ / г а = - у , |
|
|
(9.7) |
||||
которое |
не содержит постоянных |
Л и В, а только |
неиз |
||||||
вестные |
параметры а и V0, |
причем |
значение энергии |
||||||
связи основного состояния W известно и равно 2,22 Мэв. |
|||||||||
Значения V0 и а более |
ничем |
не |
ограничены. Таким об |
||||||
разом, |
(9.7) представляет |
собой |
то |
соотношение |
между |
||||
а и VQ, |
которое |
мы хотели |
получить. |
|
|
|
|||
Соотношению (9.7) можно придать более простую при |
|||||||||
ближенную форму. Как мы видели выше, значение W |
|||||||||
мало по сравнению с V0 , поэтому в формуле |
(9.6а) им |
||||||||
можно пренебречь; тогда |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ctgka=-l~-Y^-. |
|
|
|
|
(9.8) |
62 |
|
Часть |
П. |
Количественная |
теория |
ядерных |
сил |
|
|||||||
Таким |
образом, |
ctgka |
отрицателен и |
мал |
|
по |
абсолютной |
||||||||
величине. Поэтому ka слегка превышает |
тс/2. |
(Значе |
|||||||||||||
ние |
ka, |
немного |
большее, |
чем |
Зтс/2, не |
|
соответствует |
||||||||
правильному |
решению, |
так |
как |
при этом |
волновая функ |
||||||||||
ция |
ф имела |
бы |
при |
1гг = ъ |
радиальный |
узел и не отве |
|||||||||
чала бы состоянию с наименьшей энергией, |
что |
противо |
|||||||||||||
речит |
нашему |
предположению.) |
Положив |
приближенно |
|||||||||||
ka ^ |
тс/2 |
и |
опять пренебрегая |
№ в |
выражении |
для /г, |
|||||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
V > 2 |
- S • |
|
|
|
|
(9-9> |
В действительности V0 a2 несколько больше величины,
стоящей справа. Однако |
мы |
можем быть |
уверены, что |
l / 0 a 2 < ^ 2 , |
т. |
е. 1га<ъ; |
(9.10) |
этот результат нам понадобится позднее. Выражение Vua~
часто встречается в расчетах, поэтому |
в таких случаях |
|
нет необходимости знать в отдельности |
значения V0 и а. |
|
Другие формы потенциалов с малым радиусом дей |
||
ствия дают приблизительно те же результаты, |
что и по |
|
тенциальная яма. Потенциалы вида е~г |
и е _ г 2 |
рассматри |
вались Бете и Вечером [9]. Предлагалась также функция вида е~г/г, так называемый потенциал Юкавы, возникаю щий в простейшей и наиболее основной форме мезонной теории. Весьма хорошее приближение для волновой функ
ции в |
случае |
потенциала Юкавы |
подробно |
рассматрива |
|||||||
лось Хюльтеном (см., например, [41]). |
|
|
|
||||||||
Волновая |
функция. |
Другим результатом, не зависящим |
|||||||||
от формы |
потенциала |
(если только он соответствует |
ма |
||||||||
лому радиусу действия сил), является |
экспоненциальное |
||||||||||
убывание |
и (г) |
на |
расстояниях |
г, |
больших |
радиуса |
дей |
||||
ствия |
ядерных |
сил. Практически функция |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
« = Се-чг |
|
|
(9.11) |
||
достаточно |
близка |
к |
истинной |
функции |
и (г) по всей |
об |
|||||
ласти |
и может |
употребляться |
во |
многих |
расчетах. |
Это |
ясно видно из фиг. 7. Величину 1/у можно рассматривать как параметр, характеризующий размеры дейтрона. Выше было показано, что «.радиус»" дейтрона значительно пре-
§ 9. Основное состояние дейтрона |
63 |
вышает радиус действия ядерных сил, т. е.
{ » « • |
(9.12) |
Таким образом, большая часть площади, ограниченной кривой и (г), относится к г > о. При другой форме потен циала и (г) заметно изменяется только в области г < а. Поэтому независимо от формы потенциала функция Ce~v близка к истинной волновой функции и (г) в большей части
|
/•Точная |
|
|
•^и^^Приблитенная, |
Се'"1 |
/ |
^ |
|
О |
|
Р |
|
|
|
|
V(r) |
|
Ф и г . |
7. Точная и приближенная волновые |
функции основного состояния дейтрона.
Ф у н к ц и и нормированы .
пространства. В этом приближении волновая функция ф при г = 0 обращается в со; однако она может быть нор мирована, причем оказывается, что за большую часть значе ния нормировочного интеграла отвечает область г > а, так что полюс при г = О приводит к небольшой ошибке:
оо
или
Таким образом, функция
" ( ' • ) = " К £ е ~ " г |
( 9 Л З > |
представляет собой нормированную приближенную форму волновой функции и(г).
64 |
Часть JL Количественная теория |
ядерных сил |
|
|||||
Если |
приписать |
определенные |
значения |
величинам а |
||||
и V0 , |
то |
из условий |
непрерывности и |
нормировки |
можно |
|||
найти |
постоянные |
А и В, входящие |
в выражение для |
|||||
точной |
В |
функции |
и {г), даваемое формулой |
(9.5). |
Посто |
|||
янная |
несколько |
больше постоянной С. |
Хорошим при |
|||||
ближением является |
выражение |
|
|
|
|
|||
|
|
B |
- / & 0 + h a |
) - |
|
|
( 9 Л 4 ) |
3. ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ ДЕЙТРОНА
На основе развитой выше теории можно исследовать вопрос о возбужденных состояниях дейтрона. При / = 0 других связанных состояний, кроме основного, не суще ствует. Действительно, так как энергия связи основного
,sfn k'r ^sin кг
^Основное состояние
|
|
|
|
|
|
|
|
-Первое возбужденное |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
V(r) |
|
состояние с |
1=п |
|
|
||||||
|
|
Ф и г . |
8. |
Волновая |
функция |
возбужденного |
|
||||||||||
|
|
состояния |
дейтрона (если оно |
существует). |
|
||||||||||||
состояния W мала по сравнению |
с |
V0, |
то в |
уравнении |
|||||||||||||
(9.4а) ka лишь немного превышает |
значение те/2. Для |
пер |
|||||||||||||||
вого |
возбужденного |
состояния |
ka |
должен |
слегка превы |
||||||||||||
шать |
значение |
3-/2, |
так |
как |
волновая |
функция |
ф должна |
||||||||||
теперь иметь радиальный |
узел |
|
(фиг. |
8). |
Однако' из |
соот |
|||||||||||
ношения |
(9.10) |
следует, |
что |
|
при |
любом |
|
положительном |
|||||||||
значении |
энергии |
связи |
ka |
|
|
|
|
Поэтому |
при |
I = 0 |
|||||||
не существует |
возбужденных |
|
связанных |
состояний. |
Сво |
||||||||||||
бодные состояния, |
конечно, существуют. |
|
|
|
|
||||||||||||
Мы докажем теперь, что дейтрон не имеет также воз |
|||||||||||||||||
бужденных |
связанных |
состояний |
и |
при |
высших /. |
При |
|||||||||||
этом |
предположим, |
что |
силы |
взаимодействия |
нейтрона |
||||||||||||
с протоном |
в |
состояниях |
с |
высшими |
/ |
такие |
же, |
как |
|||||||||
и в случае I = 0. (Возможность |
существования возбужден- |
§ |
9. Основное |
состояние |
дейтрона |
65 |
||
ных состояний |
с |
другими значениями |
спина |
дейтрона, |
||
в частности 5 |
= 0, |
и с |
другими |
силами |
будет |
для нас |
существенна в дальнейшем, при рассмотрении рассеяния
нейтронов |
протонами.) |
|
|
|
|
Для |
доказательства |
отсутствия |
связанных |
состояний |
|
с I Ф 0 |
мы вычислим минимальную глубину ямы, необходи |
||||
мую для |
существования связанного |
состояния, |
т. е. со |
||
стояния, |
в котором W в точности равно нулю. |
Эта необ |
|||
ходимая |
|
глубина ямы |
оказывается |
значительно больше |
той, которая определена выше из энергии связи основного
состояния. |
Истинная |
глубина |
ямы меньше |
минимальной, |
|||||||||
которая требуется для существования связанных |
состоя |
||||||||||||
ний |
с |
I Ф 0, поэтому |
такие |
связанные состояния |
не суще |
||||||||
ствуют. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Дифференциальное уравнение (9.3), обобщенное на слу |
||||||||||||
чай |
/ ф 0, |
имеет |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
+ |
|
V ) „ - ^ + » M = 0 . |
|
|
(9.15) |
||||
Далее |
поступим |
следующим |
образом. |
Рассмотрим |
прямо |
||||||||
угольную |
яму, глубина |
которой V = — V0 и радиус |
г=а. |
||||||||||
Найдем |
решение |
уравнения |
(9.15) |
внутри |
и |
вне ямы. |
|||||||
Сошьем |
эти решения при |
г = а. Это дает |
соотношение |
||||||||||
между |
глубиной |
ямы V0 |
и |
энергией |
связи W= |
— Е. По |
|||||||
лагая |
W = 0, определим |
минимальную |
глубину ямы. |
||||||||||
|
Мы приведем в качестве примера доказательство |
лишь |
|||||||||||
для |
1= 1. |
В этом случае |
решения |
дифференциального |
|||||||||
уравнения |
(9.15) |
таковы: |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
и = 5HL*£ _ c o s |
kr |
|
r<a, |
|
(9.16а) |
||||
|
|
|
|
|
kr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и — е |
|
1 ) |
+ 1 | |
г>а, |
|
(9.166) |
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# _ щ у г т г |
|
|
|
( 9 л 7 а ) |
|||
|
|
|
|
|
|
Y a = i b |
|
|
, |
(9.176) |
Будет проще положить W = 0 перед тем, как удовле творять граничным условиям. Так как. при этом у—>0,
5 Г. Бете п Ф. Моррисон
66 Часть II. Количественная теория ядерных сил
то внешнее решение (9.166) превращается с точностью до множителя в
и = у |
г>а. |
(9.18) |
Это внешнее решение удовлетворяет уравнению
( £ ) ( / • " ) = О |
г>а. |
(9.19) |
Внутреннее решение, которое должно непрерывно перехо дить во внешнее, должно удовлетворять при г = а такому же условию:
jjpj |
(km) = krsin |
|
kr \ r = a = kas'm ka = |
0, |
(9.20) |
|||
т. e. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£a = |
it. |
|
|
(9.21) |
|||
Используя |
определение |
|
k, |
|
получаем |
из |
(9.17а) при/ |
|
\V = 0 |
MVaa2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
. |
|
|
(9.22) |
||
|
^ |
- - |
|
|
|
|||
|
ft2 |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, требуемая |
|
потенциальная |
яма V0 |
почти |
в 4 раза глубже потенциальной ямы, определенной из основного состояния дейтрона (9.9). В последнем случае мы имели соотношение такого же типа, как (9.21), в ко тором значение ka слегка превышало тс/2, но, безусловно, было меньше -а [см. условие (9.10)].
Аналогичные доказательства для больших значений / приводят к еще большим значениям величины V0 .
§ 10. РАССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ СВОБОДНЫМИ ПРОТОНАМИ
Квантовомеханическая теория рассеяния изложена, на пример, в книге Мотта и Месси [58]. Наиболее важным результатом этой теории, принадлежащим Релею, Факсену и Хольтсмарку и часто называемым методом парци альныхволн, является формула для поперечного сечения упругого рассеяния в системе центра инерции:
§ ^ ( 2 ^ 2 ( 2 / + 1 ) Л ( с о з б ) ( е ш ' - 1 ) | 2 . |
(10.1) |
§ JO. Рассеяние нейтронов свободными протонами |
67 |
Дифференциальное поперечное сечение da определяется как число нейтронов, рассеиваемых одним протоном в еди
ницу времени |
на угол |
от 0 до 0 -f-rf9из первичного пучка, |
|||||||||
плотность |
потока |
в |
котором |
составляет |
один нейтрон |
||||||
на |
единицу |
площади |
в единицу времени. |
Величина |
|||||||
dQ = 2тсsin 0 |
представляет |
собой элемент |
телесного угла |
||||||||
в |
системе |
координат центра |
инерции, |
1% — момент |
коли |
||||||
чества движения системы относительно центра |
инерции. |
||||||||||
Де-бройлевская длина |
волны |
в этой |
системе |
координат |
|||||||
определяется |
соотношением |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
/ |
2ге |
1 |
р |
-1 Г2тЕ |
|
|
,, п |
„. |
Соотношения между величинами, измеряемыми в системе центра инерции (ц. и.) и лабораторной системе (лаб.), для двух частиц равной массы таковы:
т ~ 7йр~+Мп Т ' . |
(10'3а) |
бц.и.=20л а б ., |
(10.36) |
£ц. и. =-|-£лаб. |
(Ю.Зв) |
Формула (10.3а) дает значение приведенной массы. Фор мула (Ю.Зв) устанавливает, что только половина энергии нейтрона в лабораторной системе является энергией движения относительно центра инерции, а остальная— кинетической энергией движения центра инерции. Фор мулу (10.36) можно получить из простых геометрических соображений.
Фазы о, измеряются в радианах. Их физический смысл можно усмотреть из следующего. На расстояниях, боль ших по сравнению с радиусом действия ядерных сил, уравнение (9.15) для радиальной функции щ(г), отвечаю щей моменту количества движения I и угловому распре делению Pt (cos 0), сводится к уравнению для свободной волны. Асимптотическое решение щ (г) уравнения (9.15) будет вести себя поэтому так же, как радиальная волно вая функция свободной частицы, имеющей момент
5*
68 |
Часть II. |
Количественная теория ядерных |
сил |
|
за |
исключением |
возможного |
сдвига фазы: |
|
|
vt (г) ~ sin (^kr— ~ |
(при больших |
г), (10.4а) |
|
|
щ (г) ~~ sin (^kr— — / + 5,^) |
(при больших |
/-). (10.46) . |
Если все фазы 3, равны нулю, то на больших расстоя ниях полная волновая функция и, представляющая собой суперпозицию волн с различными значениями I, совпадает с падающей волной, не приводя к появлению волн, рас пространяющихся в Других направлениях. Этот результат подтверждается и формулой (10.1) для поперечного сече ния, если в нее подставить 8, = 0.
Заметим, что |
если |
волны |
и vi отличаются по фазе |
|
на 8, = и, то они |
опять |
будут неразличимы и |
поперечное |
|
сечение (10.1) обратится в нуль. |
|
|||
1. ЗАВИСИМОСТЬ СДВИГА ФАЗ ОТ МОМЕНТА |
||||
КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ |
|
|||
Классическое |
рассмотрение. |
Если р — импульс части |
||
цы, а Ь — параметр столкновения |
(классическое |
расстояние |
||
наибольшего сближения), то момент количества |
движения |
|||
дается формулой |
|
|
|
|
|
[ г х р | = bp |
= lh |
(10.5) |
|
или |
|
|
|
|
Взаимодействие будет иметь место только в том слу чае, если параметр столкновения b меньше радиуса действия ядерных сил а, т. е. если
|
|
|
|
K j - |
|
(Ю.6) |
Таким образом, при данной энергии, т. е. при опреде |
||||||
ленной |
длине |
волны, |
эффективное |
сечение |
отлично от |
|
нуля лишь |
при ограниченном числе |
значений |
/. Соответ |
|||
ствующий |
квантовомеханический |
результат |
сводится |
|||
к тому, |
что |
для целых значений /, превышающих а/%, |
||||
фазы \ |
должны быть |
пренебрежимо |
малы. |
|
§ 10. Рассеяние нейтронов свободными протонами |
69 |
На основании (10.6) значение % = а соответствует энергии, ниже которой для рассеяния существенно только значение / = 0. Эта энергия равна
Р _ 9 |
р |
_ 2ft 2 __ 2/i 2 |
2-10-51 |
•Слаб. — |
~ - £ ц . и. — М%-— Ма* (1,6-10-») (2,8-Ю"1 8 )2 |
||
= |
1,6-Ю"5 эрг= 10 Мэв. |
(10.7) |
2. СФЕРИЧЕСКАЯ СИММЕТРИЯ РАССЕЯНИЯ
Таким образом, мы приходим к результату, что при энергиях, меньших чем 10 Мэв, существенна только фаза 80. Если все высшие члены в (10.1) опустить, то выражение для дифференциального сечения принимает вид
|
do = d9X2 sin2 80 , |
(10.8) |
где |
телесный угол |
|
|
dQ = 2i=sin6dO. |
(10.8а) |
O J |
Таким образом, поперечное сечение (10.8) |
не зависит |
направления рассеяния, т. е. оно является |
сферически |
симметричным для нейтронов с энергией меньше 10 Мэв. Это следствие непосредственно связано с тем, что ядерные силы являются короткодействующими. Поэтому если экспе риментально обнаруживается сферическая симметрия рас сеяния, то это подтверждает, что.силы обладают малым радиусом действия, и оправдывает применимость кванто вой механики к задаче рассеяния.
Наилучшим экспериментальным методом определения углового распределения рассеянных нейтронов является измерение распределения протонов отдачи по энергиям. Элементарное рассмотрение показывает, что равномерное распределение по углам соответствует равномерному рас пределению протонов отдачи по энергиям от нуля до на чальной энергии нейтрона (в лабораторной системе).
Полученное из первых измерений при помощи камеры Вильсона угловое распределение показало, что рассеян ные нейтроны преимущественно были направлены вперед, т. е. большинство протонов отдачи двигалось под большими углами к направлению первичного пучка нейтронов. Энер гия протонов тем меньше, чем больше этот угол. Теперь стало возможным показать, что треки протонов с большой
70 Часть II. Количественная теория ядерных сил
энергией в этих опытах часто оставались незамеченными, так как они были настолько велики, что протоны уходили за пределы камеры, если только их пути не лежали почти в плоскости камеры. При проверке азимутального рас пределения, в котором не может быть асимметрии, это обстоятельство подтвердилось; обнаружено, что большин ство измеренных длинных треков расположено в плоскости камеры. Тщательные опыты Ди и Гильберта с камерой Вильсона выявили точную сферическую симметрию.
Из измерений энергий отдачи протонов методом иони зационной камеры, выполненных Ладенбургом и его сот рудниками, следует почти равномерное распределение по энергиям. Опыты Штауба и др. в Лос-Аламосе подтвердили равномерное распределение с еще большей точностью, в пре делах экспериментальных ошибок, составляющих прибли зительно 1%.
В настоящее время экспериментаторы в своих исследо ваниях концентрируют внимание на выяснении отклоне ния от сферической симметрии при больших энергиях. Этот вопрос будет рассмотрен в § 16. В этом параграфе мы
ограничимся |
сферически-симметричными |
распределения |
||
ми — результатами, |
относящимися |
к энергиям до 10 Мэв, |
||
т. е. 5-волной |
или |
парциальной |
волной |
с /=0, угловое |
распределение |
которой определяется функцией Р 0 (cosO). |
3. ПОЛНОЕ ПОПЕРЕЧНОЕ СЕЧЕНИЕ
Полное поперечное сечение рассеяния нейтронов про тонами при энергиях нейтронов, меньших 10 Мэв, полу чается при интегрировании выражения (10.8)
о = 4 |
^ 2 sin2 |
й0 , |
(10.9) |
|
где 2ик — де-бройлевская |
длина |
волны |
нейтрона в |
си |
стеме центра инерции, а о0 |
— сдвиг фазы |
рассеянной |
вол |
|
новой функции.при 1=0. |
Вне области действия ядерных |
сил волновая функция и [являющаяся решением уравне ния (9.15) при /= 0 и положительном значении энергии Е]
пропорциональна sin (kr-\-60), |
где k=y |
ME/h (Е — энер |
|
гия нейтрона в системе центра |
инерции, |
E=xIJBm6.\ |
М — |
масса нейтрона). |
|
|
|