Коэффициент корреляции

Коэффициент корреляции определяется соотношением

.

(3.0)

Величина r_ij, близкая к единице, говорит о тесной функциональной взаимосвязи анализируемых случайных величин. Именно поэтому на диагонали матрицы мы видим единицы. Близкая к нулю величина r_ij говорит о практической независимости случайных величин.

Гистограммы

Статистическим аналогом функции плотности распределения является гистограмма, показывающая поинтервальное распределение частот реализаций случайной величины. Для расчета гистограмм в Excel имеется встроенная функция ЧАСТОТА().

Функция ЧАСТОТА(М-данных; М-карманов) возвращает распределение частот в виде вертикального массива. Для заданного множества значений и некоторого множества "карманов" (интервалов) частотное распределение подсчитывает, сколько исходных значений попадает в каждый интервал.

М-данных - это массив данных, для которых вычисляются частоты. Если М-данных не содержит значений, то функция ЧАСТОТА() возвращает массив нулей.

М-карманов - это совокупность интервалов, в которые группируются значения аргумента М-данных. Если М-карманов не содержит значений, то функция ЧАСТОТА() возвращает количество элементов в аргументе М-данных.

Замечания

• Функция ЧАСТОТА() вводится как формула массива после выделения интервала смежных ячеек, в которые нужно вернуть полученный массив распределения.

• Количество элементов в возвращаемом массиве на единицу больше количества элементов в аргументе М-карманов .

Нормальное распределение

Функция нормального распределения имеет широкое применение в инженерных расчетах, основанных на статистическом анализе, включая проверку гипотез. Поэтому следует более детально рассмотреть специфику ее использования в среде Excel.

Функция НОРМРАСП(x;среднее;ст-откл;интегр)

возвращает нормальную функцию распределения для указанного среднего и стандартного отклонения. В формате функции: х - значение, для которого строится распределение; «среднее» и «ст-откл» - соответственно среднее арифметическое и стандартное отклонение рассматриваемого распределения; «интегр» - логическое значение, определяющее форму функции: ИСТИНА (1) - интегральная функция; ЛОЖЬ (0) - плотность распределения.

Уравнение для плотности нормального распределения имеет следующий вид:

.

Функция НОРМОБР(вероятность;среднее; ст-откл) возвращает обратное нормальное распределение (по вероятности определяется соответствующая ей физическая величина).

Пример. НОРМОБР(0,908789;40;1,5) равняется 42.

Замечания

• Если какой-либо из аргументов не является числом, то функции НОРМРАСП(), НОРМОБР() возвращают значение ошибки #ЗНАЧ!.

• Рассматриваемые функции возвращают значение ошибки #ЧИСЛО!, если вероятность отрицательна или больше единицы, или стандартное отклонение σ≤0.

2. Расчет вероятностного режима электрической сети

Задача 3.3. Вероятностные параметры нагрузок

Рис. 3.67. Расчетная схема сети

Э лектрическая сеть, показанная на рис.3.19, связывает районы потребления, нагрузки и генерация которых являются случайными величинами. Однако узловые мощности коррелированны, поскольку они в одинаковой степени подвержены жизненным циклам (день, ночь, суббота, воскресенье, с увеличением нагрузки растет и генерация и др.). Для прогноза электрического режима требуется оценить вероятностные параметры электрических величин.

Таблица 3.26

	A	B	C	D	E	F	G	H
1	Графики нагрузок
2	Период	P1	P2	P3		Матрица корреляционных моментов
3	1	50	20	-200		200	267	500
4	2	50	20	-200		267	1422	1333
5	3	80	20	-200		500	1333	2500
6	4	80	20	-100
7	5	80	100	-100		Матрица коэффициентов корреляции
8	6	80	100	-100		1,00	0,50	0,71
9						0,50	1,00	0,71
10	Среднее	70	46,67	-150		0,71	0,71	1,00
11	Дисперсия	200	1422	2500
12	СКО	14,14	37,71	50

Графики нагрузок (как случайных величин) и расчет искомых величин (математических ожиданий, дисперсий и корреляционных моментов нагрузок ЭЭС) представлены в табл. 3.16, где блок В3:D8 представляет статистическую выборку наблюдаемых величин, в ячейках В10, В11 записаны соответственно формулы =СРЗНАЧ(B3:B8), В11:=ДИСПР(B3:B8). Блоки С10:С11, D10:D11 является копированием В10:В11.

Матрица корреляционных моментов строится следующим образом По диагонали записываются формулы F3, G4, H5: =КОВАР($B$3:$B$8;B3:B8); =КОВАР(C3:C8;$C$3:$C$8); =КОВАР($D$3:$D$8;D3:D8). Ячейки справа и слева заполняются копированием соответствующих строчных диагональных элементов.

Диагональ матрицы ковариаций состоит из дисперсий, в чем нетрудно убедиться (см. табл. 3.16, В11:D11).

Получение матрицы коэффициентов корреляции можно выполнить по аналогии с построением матрицы корреляционных моментов (F8: =КОРРЕЛ($B$3:$B$8;B3:B8)), но если матрица {К_ij} существует, то проще матрицу {r_ij} получить, исходя из определения ( 3 .0) с помощью дополнительной матрицы перекрестных произведений S=^tгде - вектор- строка среднеквадратических отклонений. Элемент матрицы . Вычисление {r_ij} реализуется поэлементным делением массивов ковариаций на (в блокеF8:H10 записана формула {=E3:G5/МУМНОЖ(ТРАНСП(B12:D12);B12:D12))}. Такой прием особенно ценен при большой размерности матрицы ковариаций; его следует принять на вооружение, поскольку перекрестные произведения часто встречаются в иных технических приложениях.