teoriticheskie_osnovy_elektrotekhniki_chast2

МЕТОДИЧЕСКИЕУКАЗАНИЯК РАСЧЕТУКОМПЛЕКСНЫХ ТОКОВ

Наибольшую трудность при самостоятельном изучении представляют вопросы, связанные с применением комплексных чисел в практических расчетах. Нужно, чтобы было правильное представление о комплексных сопротивлениях, токах, напряжениях и мощностях. Необходимо понимать применяемые формулыиуметьпользоватьсяимивпрактических случаях. Для этого следует проработать задачи в п. 1.52, 1.53 и представленные здесь методическиеуказания.

1 Изображение синусоидальных токовкомплекснымичислами

Любая синусоидальная функция может быть представлена на плоскости вращающимся вектором (рис. 1). Для расчёта цепей синусоидального тока векторы тока и напряжения изображают на комплексной плоскости и записываютввидекомплексныхчисел.

Принято на комплексной плоскости изображать векторы для момента времени ωt=0. При этом мгновенное значение синусоидальноготока

i = Im sin(ωt +ϕi )

для момента времени ωt =0 изображается вектором

I m = Ime jϕi .

Величину I m называют комплексной амплитудой тока (обозначают чертой снизу). Она характеризуется амплитудой Im и начальнойфазойтока ϕi .

Амплитуда Im – это модуль комплекс-

ной амплитуды, она равна амплитуде синусоиды.

Начальная фаза тока ϕi на комплексной плоскости представляет угол ϕi , под которым вектор I m проведен к действительной оси + (рис.1).

Примеры

1.1 Мгновенное значение синусоидальноготока(илинапряжения),

i = Im sin(ωt +ϕi ) =20sin(ωt +70°)A

записываетсяввидекомплекснойамплитудепо формуле

I m = Ime jϕi = 20e j70°А,

где I m - комплекснаяамплитудатока, Im - амплитудатока, Im = 20 А, ϕi - начальнаяфазатока, ϕi = 70°. Здесь ϕi имеетзнакплюс.

Если начальная фаза ϕi имеет знак ми-

нус, например

i = Im sin(ωt −ϕi ) =20sin(ωt −70°)A

то и комплексная амплитуда записывается со знакомминусперед ϕi :

I m = Ime− jϕi = 20e− j70°А.

Для функции с начальной

фазойϕi =0

i = Im sinωt =20sinωt

комплекснаяамплитуда:

I m = Ime j0 = Im = 20А.

Переход от комплексных чисел к тригонометрическим формулам осуществляется в обратной последовательности. Например, комплекснойамплитуде напряжения

U m =Ume− jϕU =100e− j60°B.

соответствует мгновенное значение синусоидальногонапряжения

u =Um sin(ωt −ϕ ) =100 sin(ωt −60°)B.

U

1.2 Комплексные действующие значения токов и напряжений

В электротехнике принято применять не амплитуды, а действующие значения. Поэтому

комплекснуюамплитудунужноделитьна 2 :

U = U 2m , I = I m2 ,

где U , I - комплексные действующие значе-

ниянапряженияитока.

Например, длякомплекснойамплитуды

U m =Ume− jϕU =100e− j60°B

комплексноедействующеезначение:

U = U 2m = Um2 e− j60°B.

2 Переход от показательной формы комплексныхчиселкалгебраической форме Применяются две формы комплексных

чисел:

1)показательная,

2)алгебраическая.

Переход осуществляется по формуле Эйлера(формула1.73):

e jϕ = cosϕ + j sinϕ.

Например, комплексное действующее значениетока

I= Ie jϕi =60e j30°A .

валгебраическойформезаписываетсяввиде

I = 60(cos30°+ j sin30°) =( 52 + j30 ) A.

Вектор I и его проекции на действительную и мнимую оси показаны на комплекс-

считываются от действительной оси против направлениявращениячасовойстрелки.

Если перед аргументом ϕ стоит знак

минус, тоследуетпользоватьсяформулой

e− jϕ = cos( −ϕ ) + j sin( −ϕ ) = cosϕ − j sinϕ.

3 Переход от алгебраической формы к показательной

Например, задано комплексное действующее значение напряжения в алгебраической форме

U = (123 − j41) B.

Требуется перевести его в показательнуюформу.

Находим модуль (формула 1.75) и аргументкомплексногочисла(формула1.76).

Модуль:

В arctg входит отношение мнимой час-

ти комплексного числа к действительной, в arccos - отношение действительной части к модулюкомплексногочисла(формулы1.76 и1.92).

Величина U впоказательнойформе:

U =Ue− jϕU =130e− j180°B .

Знак минус перед аргументом ϕU =18° обусловлензнакомпередмнимойчастьючисла U валгебраическойформе.

На рисунке 3 показаны вектор U и его проекции. Таккакперед ϕU стоитзнакминус, то ϕU откла-

дывается в направлении, противоположном принятому для положительных

углов.

4 Комплексное сопротивление

Отношение

Z = UI

называетсякомплекснымсопротивлением.

ВычислитьxL. L=25,4 мГн, f = 50 Гц.

X L =ωL =2πfL = 2 3,14 50 25,4 10−3 =8 Ом

С=636 мкФ, f =50 Гц.

xC = ω1c = 2 3,14 501 636 10−6 = 5 Ом.

5 Вычислить Z при последовательномсоединенииR, XL, XC.

5.1 Вычислить Z ветви(рис.4).

Впоказательнойформе:

R= 160 Ом, xL= 10 Ом, xC= 130 Ом.

Z = R + j( X L − X C ) =(160 + j(10 −130 ) = =(160 − j120 ) Ом.

Переходкпоказательнойформе:

z = R2 + X 2 = 1602 +1202 = 200 Ом.

z = ze− jϕ = 200e− j37° Ом.

Знак минус перед ϕ соответствует знаку минус перед мнимой частью в алгебраическойформечисла z ( _ указываетнаемкостныйхарактерсопротивленияцепи).

5.2 Вычислить комплексное сопротивление ветви с резистором (рис.6). R= 2 Ом.

Так как ветвь содержит толькоR, тоXL=0 и XC=0. Следовательно,

Z =R =2 Ом.

5.3 Вычислить Z ветви с конденсатором(рис.7).

Задано xC= 5 Ом.

Так как R = 0, xL = 0, то комплексное сопротив-

Z = −jX = −j5 Ом.

C

Впоказательнойформе:

Z =X Ce− j90° = 5e− j90° Ом.

Z =X Le j90° = 8e j90° Ом.

6 Сложение и вычитание комплексных величин

Сложение и вычитание комплексных чисел проводится в алгебраической форме. Если числа заданы в показательной форме, то их следуетперевестивалгебраическуюформу.

I1 =130e j18°A, I 2 = 60e− j30°A.

ПопервомузаконуКирхгофа:

I1 − I 2 − I 3 = 0,

I 3 = I1 − I 2 .

Выразим токи в алгебраической форме:

I1 =130(cos18°+ j sin18°) =(123 + j41)A.

I 2 = 60(cos30°− j sin30°) =( 52 + j30 )A.

I 3 = I1 − I 2 =123 + j41−52 + j30 =( 71+ j71)A.

Модуль (действующее значение) и начальная фазатока I 3 :

I 3 = 712 +712 =100 A.

ϕi3 = arctg 7171 = 45°. I 3 =100e j 45° A.

8 Умножение и деление комплексных величин

Умножение и деление проще выполнять, есликомплексныечиславыразитьвпоказательнойформе.

53Рисунок14

индуктивнымсопротивлением(рис.14).

U =100 B, Z = R + jX L=( 3 + j4 ) Ом.

Начальная фаза напряжения не задана, следовательно, принимается ϕU = 0.

U =Ue jϕU =100e j0° =100 B.

Сопротивление Z выразим в показательнойформе.

Модульи аргумент Z :

Z = 32 + 42 = 5 Ом.

ϕ = arctg 43 = arccos 53 = 53°.

Z = Ze jϕ =5e j53° Ом.

Как видно из формулы при делении комплексных чисел их аргументы вычитаются с учётом их знаков. При умножении аргументы складываются. Например,

U = Z I = 5e j53° 20e− j53° =100e j0 B =100В

9 Вычисления при параллельном соединениикомплексныхсопротивлений

Найдем эквивалентное сопротивление цепи с параллельно соединенными резистором иконденсатором.

Вцепи(рис.15): R=2 Ом, ХС=2 Ом.

Вычислить Z Э . Обозначим че-

рез Z1 и Z 2 комплексные сопротивления ветвей и запишем их в алгебраической и

показательнойформе:

Z1 = R = 2 Ом.

Z 2 = − jXC = − j2Ом = 2e− j90° Ом.

Эквивалентноесопротивление:

Числительформулы ZЭ :

Z1 Z 2 =2 2 e− j90° = 4e− j90°.

Знаменательобозначим А.

А= Z1 + Z 2 = 2 − j2.

Модульзнаменателя:

А= 22 +22 = 2 2.

Аргументзнаменателя:

ϕА = arctg 22 = 45°.

Знаменательвпоказательнойформе:

ПРОГРАММАПОДГОТОВКИК КОНТРОЛЮЗНАНИЙ

Теория электрических цепей и электромагнитного поля составляет основу всей электротехники. В книге она рассматривается тольковтомобъёме, какойнеобходимдляизучения электроники, электромеханики и электроизмерительныхприбороввкурсеобщейэлектротехники. Учитывая большой объём и сложность изучаемого материала, на итоговый контроль знанийвыносится не весьобъём книги. Многие вопросы, в том числе и вопросы вспомогательного характера, связанные с математическими преобразованиями и выводами формул, не входятвконтролируемыйматериал.

1 Электрическиецепи

Законы Кирхгофа и их непосредственное применение для расчёта электрических цепей. Внешняя характеристика источника ЭДС. Режимы работы электрической цепи (номинальный, холостого хода, короткого замыкания). Преобразования электрических схем. Нелинейныеэлектрическиецепи.

Активный, индуктивный и ёмкостный элементы цепи переменного тока. Емкость. Индуктивность. Самоиндукция. Взаимная индукция, Изображение синусоидальных функций вращающимися векторами. Действующие значения тока и напряжения. Индуктивное и ёмкостное сопротивления. Применение комплексных чисел. Комплексные значения напряжения и тока в цепях с активным, индуктивным и ёмкостным сопротивлением. Комплексное сопротивление. Комплексная проводимость. Комплексная мощность, активная реактивная и полная мощности. Коэффициент мощности. Резонансы. Комплексное сопротивление и ток при резонансе напряжений. Комплексная проводимостьитокприрезонансетоков.

Принцип создания трехфазной эдс. комплексные эдс фаз. линейные и фазные напряжения и токи при соединении фаз звездой и треугольником. схемы включения приемников электроэнергии в трехфазную сеть. мощность трехфазнойцепи.

Установившийся и переходный режимы работы электрической цепи. Законы коммутации. Ток в цепи с конденсатором и напряжение на конденсаторе при заряде конденсатора от источника постоянной ЭДС. Перенапряжение приразмыканиицеписиндуктивностью.

Несинусоидальные токи и причины их возникновения. Разложение периодических

функций в ряд Фурье. Действующие значения несинусоидальных токов. Активная мощность цепинесинусоидальноготока.

Схемы четырехполюсников. Электрическиефильтры.

2 Электромагнитноеполе

Напряженность электрического поля. Диэлектрическая проницаемость. Электростатическое поле в диэлектрике. Электрическая прочность диэлектрика. Электрическая индукция (электрическое смещение). Однородное электростатическое поле. Электростатическое поле в проводнике. Электростатическое наведение. Электростатическоеэкранирование. Конденсатор.

Электрическое поле постоянного тока. Ток и плотность тока. Закон Ома в дифференциальнойформе. ЗаконДжоуля-Ленца.

Магнитное поле постоянного тока. Магнитная индукция и напряженность магнитного поля. Графическое изображение магнитного поля. Однородное и неоднородное магнитное поле. Закон полного тока. Магнитное поле прямолинейного провода с током. Магнитная проницаемость. Применение ферромагнитных материалов. Магнитный гистерезис. Нагревание ферромагнитных материалов. Постоянные магниты. Магнитныйпоток.

Магнитнаяцепь. Законымагнитнойцепи. Расчёт магнитной цепи. Индуктивность катушкисферромагнитнымсердечником.

Энергия магнитного поля. Сила электромагнитного притяжения. Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле. Силы, действующие на параллельные провода с токами. Работаэлектромагнитныхсил.

Электромагнитное наведение. Наведение ЭДС в проводнике, движущемся относительно постоянного магнитного поля. Наведение ЭДС переменныммагнитнымполем. Вихревыетоки, ихтепловоедействие.

Ток смещения. Полный ток. Энергия электромагнитного поля, её движение, теорема Умова-Пойтинга. Факторы, влияющие на излучение и распространение электромагнитных волн. Затухание электромагнитной волны в проводящей среде, глубина проникновения волны.

Электрический поверхностный эффект (плотность тока, активное сопротивление, индуктивность). Магнитный поверхностный эффект(магнитнаяиндукция, плотностьвихревых токов). Явление отражения электромагнитных волн от проводящей среды и его практическое значение. Магнитное и электромагнитное экра-