teoriticheskie_osnovy_elektrotekhniki_chast2

подсоединить к источнику ЭДС, то он будет заряжаться. Процесс заряда конденсатора сопровождается движением зарядов в проводниках, соединяющих конденсатор с источником ЭДС. Вцепивозникаетэлектрическийток, хотя между обкладками конденсатора нет проводящейсреды(см. п. 1.19).

Если поле между обкладками конденсатора однородно, тосогласнотеоремеГаусса

q = DS,

где q – электрическийзаряднаобкладкахкон-

денсатора,

D - электрическаяиндукция,

S - площадьповерхностиобкладок. Электрический ток в проводниках, соединяющихконденсаторсисточником:

Правая часть равенства (1.74) называется током смещения:

iсм = S dDdt .

Среднеезначениеплотноститокасмещения:

δсм = iSсм = S dDdt .

Векторплотноститокасмещениявточке

где D - векторэлектрическойиндукциивточке электрического поля, для которой определяется

векторплотноститокасмещения δсм .

Ток смещения – это изменяющееся во времени электрическое поле. Ток смещения возникает в любом диэлектрике, в том числе и в вакууме при изменении напряженности электрического поля во времени. Током смещения объясняют тот факт, что электрические устройства могут излучать в окружающее пространство энергию, которая распространяется вместе с электромагнитнымиволнами.

Понятиеобизменяющемся электрическомполе как об электрическом токе введено Максвеллом. Изменяющееся электрическое поле он назвал током смещения. Ток смещения имеется везде, где есть изменяющееся электрическое поле. Впроводящейсредетоксмещениянемного меньше тока проводимости, в диэлектрике - наоборот.

1.47 ПОЛНЫЙТОК

закон полного тока в интегральной форме выражаетсяуравнением (1.37). Вполныйтоквходят не только токи проводимости, но и токи смещения и токи переноса. Сумма всех этих токов называется полным током. Следовательно, полный ток может быть как в проводящей, такивнепроводящейсредах.

Выразимтокчерезплотноститока: i = ∫δ dS.

S r

Вобщемслучаеплотностьтока δ представляетсуммуплотностивсехтрехвидовтока:

δ =δпр +δсм +δпер ,

где δпр - плотностьтокапроводимости,

δсм - плотностьтокасмещения,

δпер - плотностьтокапереноса.

Ток переноса – это движение заряженных частиц или тел в непроводящей среде (например, поток электронов в вакууме). Ток переноса встречается только в отдельных случаях. Поэтому под полным током обычно подразумеваютсуммутокапроводимостиитокасмещения:

1.48 ЗАКОНПОЛНОГОТОКАВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙФОРМЕ

От интегральной формы закона полного тока можно перейти к дифференциальной форме. В соответствиис(1.37)

∫Н dl = ∫δ dS.

lS

СогласнотеоремеСтокса

∫Н dl = ∫rotH dS.

lS

Тогда

∫rotH dS = ∫δ dS.

где δ соответствует (1.76).

где −∫ПdS - мощность, поступающая внутрь

S

объёма V. Знак минус означает, что вектор П направленвнутрьобъёма;

v∫γЕr2dV - мощность, переходящая в тепло в

проводящей среде внутри объёма V (согласно законуДжоуляЛенца);

∂W∂tэм - мощность, равная скорости изменения

электромагнитной энергии. Эта мощность может быть и положительной, и отрицательной. Если она положительна, то электромагнитная энергия внутри объёма увеличивается, а если

Рст = ∫ПdS + ∫γE 2 dV + ∂Wэм / ∂t ,

S V

гдеРст – мощностьстороннихисточников. Мощность сторонних источников в объёме V затрачивается таким образом, что часть её поглощается проводящей средой, преобразуясь в тепловобъёмеV, частьидетнаизменениеэнергииэлектромагнитногополявобъёме V, ачасть мощности выходит из объёма V через поверхностьS ввидепотокавектораПойнтинга.

Не касаясь анализа процесса передачи электроэнергии, отметим, что теорема УмоваПойнтинга позволяет сделать вывод о том, что вся поступающая к приёмнику энергия переда-

вектор Пойнтинга П перпендикулярен к ней (направлен по радиусу от источника излучения,

рис. 1.38).

По мере удаления от источника излучения амплитуды волн уменьшаются обратно пропорционально расстоянию r. Фазы Е и Н одинаковы, они отстают от фазы тока излучателя на угол

ωυr − π2 ,

который растет с увеличением расстояния r от источника излучения. Амплитуды Н и Е пропорциональны sin Θ . Следовательно, излучение обладает направленностью. В направлении оси провода (Θ = 0 Θ =π ) излучения нет, в направлении, перпендикулярном оси

(Θ = π2 , Θ = 3π / 2 ),- излучениемаксимально.

Зависимость Н или Е от направления изображают диаграммой направленности. Она представляет тор, сечение которого показано на ри-

сунке1.39. Модуль вектора Пойнтинга равен произведению модулейНиЕ:

Элемент dS поверхности сферы направлен по

сравнению с длиной провода, что излучение практическиотсутствует(Ризл≈0). Электромагнитноеполеприf = 50 Гцсчитается квазистационарным (как бы стационарным). Оно изменяется настолько медленно, что можно пренебречь током смещения по сравнениюс токомпроводимости.

Для малых частот применимы законы постоянных во времени полей, то есть электрические и магнитные поля могут рассматриваться отдельно.

Так как Н и Е изменяются по синусоидальному закону, то через каждые полпериода направле-

ние векторов H и E меняется на обратное. Направление же вектора Пойнтинга остаётся неизменным, что указывает на непрерывное излучение энергии источником в окружающее пространство. Энергиянепрерывнодвижетсяпо радиусу r отисточника.

Мощность излучения источника определяется

как поток среднего значения вектора П через поверхность сферы радиусом r , в центре которойрасположенизлучатель.

Среднее значениемодулявектораПойнтингаза период Т = 2π / ω :

1.53 ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕВОЛНЫ

Электромагнитное поле распространяется в виде сферических волн. Эквифазные поверхности таких волн представляют собой сферы. На большом расстоянии от источника излучения, когда радиус сферы достаточно велик, небольшой участок сферической поверхности, в пределах которого рассматривается поле, может считаться плоским. Векторы поля Е и Н расположены в плоскости, перпендикулярной направлениюраспространенияволны.

Электромагнитные волны имеют определённуюполяризацию. Поляризацияволнопределяется ориентацией вектора Е в пространстве. Характер поляризации зависит от конструкции и ориентации источника излучения. Например, могут быть вертикально—поляризованные волны (вертикальный излучатель) и горизонтальнополяризованные волны (горизонтальный излучатель). Поляризация может быть также линейной и круговой (вектор Е вращает-

ся). Например, антенны телевизионных центров излучаютволнысгоризонтальнойкруговой поляризацией (вектор Е вращается в горизонтальнойплоскости).

Рассмотрим линейно поляризованную однородную волну. В такой волне во всех точках фазовой плоскости векторы Е (и Н) параллельны и равны друг другу. На рисунке 1.40 векторы Е и Н расположены в плоскостях хоу прямоугольной системы координат. Направление распространения волны совпадает с направлениемосиz.

Координатныеосирасположенытак, чтовектор Еимееттолькопроекциюпоосих, авекторН– по оси у. Векторы Е и Н не зависят от координат х и у и изменяются только в зависимости от пространственной координаты z и времени t.

В прямоугольной системе координат ротор выражается в виде (1.73), (1.78). Так как Е и Н в плоской волне изменяются только в зависимости отz, то

Е = Ех, Еу = 0, Ez = 0, ∂Ex / ∂y = 0

и

rotEr = ∂∂Ezx rj.

Аналогичнодлявектора H :

H = H y , H x = 0, H z = 0 ∂H у / ∂x = 0,

rotHr = − ∂H∂zy ir.

С учетом этого в комплексной форме в прямоугольной системе координат уравнения Максвелла (1.82), (1.83) для действующих значений примутвид:

− d Н у / dz = γ E x + jωεa E x , d E x / dz = − jωµa H y .

Таккак Е и Н вданныхуравненияхявляются функциямитолькоодной переменной z, товместо частной производной записана обыкновенная производная. Опустив индексы можно записать:

1.54 РАСПРОСТРАНИЕНИЕ ПЛОСКОЙ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙВОЛНЫВ ПРОВОДЯЩЕЙСРЕДЕ

Проводящей средой считается среда, для которой можно пренебречь током смещения по сравнению с током проводимости. Согласно уравнению (1.92), отношение плотностей токов смещения и проводимости в однородной изотропной среде (εа =const, γ =const ) для си-

нусоидальноизменяющегосяполя:

δсм / δпр=ωεа / γ.

В металлах γ является величиной порядка

или

p = jωµaγ .

томожновыразить р следующимобразом:

р = (1+ j )k,

где

Решениемдифференциальногоуравнениябудет

Н = с1е− рz + с2ерz ,

где с1 и с2 - постоянные интегрирования, определяемыеизграничныхусловий.

Для данной задачи постоянные с1 и с2 опре-

деляемыеследующимобразом. Если z → ∞ , то

с2ерz → ∞,

что противоречит физическому смыслу. Следо-

вательно, с2 = 0 и

Н = с1е−рz .

Напряженность на поверхности проводящей среды(вточкеz =0) обозначим Н0 . Тогдаесли

z=0, то Н = Н0 . Следовательно, с1 = Н0 ,

Н = Н0е−рz = H0e jψ e−рz ,

гдеψ - начальнаяфазанапряженности Н0 .

Учитываязначение p = (1+ j )k = k + jk ,

получим

Н = H0еjψ e−kz e− jkz ,

или, переходя от комплексных действующих значенийкмгновеннымзначениям:

Н = Н0mе−kz sin(ωt +ψ −kz ), (1.98)

где Н0m = 2Н0 - амплитуда вектора Н в точке z = 0,

Н0m е−kz - амплитудапри z ≠ 0.

По уравнению (1.96) определяют мгновенное значение Е:

В этом уравнении, если перейти к комплексной форме, отношение

представляет волновое сопротивление проводящей среды. Оно измеряется в омах, зависит от частоты ω = 2πf , а также от γ и µа . В

проводящей среде zB - комплексное число. Векторы Е и Н движутся с одинаковой скоростью и сдвинуты между собой по фазе во временина45°.

По мере проникновения электромагнитной волны внутрь проводящей среды фаза векторов Е и Н изменяетсянаугол

kz = z ωµaγ / 2 ,

где k соответствует (1.97).

На расстоянии в одну длину волны

( z = λ ) фазаволныизменяетсянаугол2π (рисунок1.42),тоесть

kλ = λ ωµaγ / 2 = 2π ,

откуда

( µa ,γ ) и от частоты ω . В металлах с большой γ длинаволныоченьмала.

Скорость электромагнитных волн в проводящейсредезависитотчастоты ω = 2πf , атакже

от удельной проводимости среды γ и магнитнойпроницаемости µa .

1.55 ЗАТУХАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙВОЛНЫВ ПРОВОДЯЩЕЙСРЕДЕ

Согласно формулам (1.98), (1.99) при увеличении z , тоестьпомерепроникновенияэлектромагнитной волны в проводящую среду амплитуды векторов Е и Н уменьшаются по показательному закону (затухают). Быстрота затуха-

УменьшениеамплитудвекторовЕ и Н вызывается поглощением энергии проводящей средой. Электромагнитная волна, проникая внутрь проводника, теряет свою энергию, которая переходит в тепло. Теряемая мощность согласно законуДжоуля-Ленца:

возникающего под действием электромагнитногополявпроводящейсреде.

Затухание электромагнитной волны характеризуетсяусловнойвеличиной, называемой глубиной проникновения. Под глуби-

ной проникновения ∆ понимают расстояние вдоль направления распространения волны (вдоль оси z), на котором амплитуда волны Е (или Н) уменьшается в е = 2,71 раз.

Глубинапроникновения:

гдеk – коэффициентзатухания(поглощения). Глубина проникновения ∆ тем меньше, чем больше частота ω = 2πf , магнитная проницае-

мость µa и удельная проводимость среды γ .

Для металлов ∆ имеет небольшое значение даже при сравнительно малых частотах. На-

λ = 2π / k = 2π∆, тоамплитуданапряженноcти поля на расстоянии z = λ от поверхности проводникаубываетв

еkλ = e2π = 535,5 раз,

тоестьпрактическиобращаетсявнуль.

В таблице 1.2 приведены значения ∆ для различныхметаллов.

Таблица1.2

1.56 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ПОВЕРХНОСТНЫЙЭФФЕКТИ ЭФФЕКТБЛИЗОСТИ

Явление поверхностного эффекта рассмотрим на примере цилиндрического провода (рисунок 1.43). Из окружающего диэлектрика в провод через его поверхность проникает электромаг-

нитная волна, которая по мере продвижения внутрьпроводазатухает. Затуханиеволныведет к неравномерному распределению поля в проводе. Напряженности Е и Н имеют наибольшие значения на поверхности провода и уменьшаются внутри него. В связи с этим и переменный ток распределяется по сечению провода неравномерно. Плотность тока δ = γЕ

имеет наибольшее значение на поверхности провода, наименьшее – внутри. Это явление называетсяповерхностнымэффектом.

Плотность тока в любой точке провода может быть определена на основании рассмотренных уравнений электромагнитного поля. Решение уравнений для плотности тока выражается через функции Бесселя. Модули и аргументы функций Бесселя определяютпозначению

r ωµaγ ,

где r - расстояние по радиусуотосипровода.

График δ( r ) представленнарисунке1.44 для двух значений частоты ω = 2πf . Плотность

тока δ имеет наибольшее значение при r = a (на поверхности провода). С увеличением частоты(ω2 >ω1 ) δ увеличиваетсянаповерхно-

стипроводаиуменьшаетсявнутри(при r = 0). Как и плотность тока, напряженность магнитного поля Н имеет наибольшее значение на поверхности провода (при r=a), уменьшаясь внутри провода (при r<a) и снаружи (при r>a

), рисунок1.45.

Чем больше ω,µa ,γ и r , тем быстрее затухает электро-

магнитная волна, проникающая вглубь проводника из окружающего провод диэлектрика,

1.58 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙВОЛНЫВ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙСРЕДЕ

Для идеальной диэлектрической среды (γ = 0 )

уравнения Максвеллавкомплекснойформе: rot Hr = jωεa Er, rot Er = − jωεa H .

Решениеуравненийдляплоскойволныпоказывает, что в диэлектрической среде в отличие от проводящейсредыпомерепродвиженияволны вдольоси z амплитуды Е иНнеизменяются. Затухание волны, характерное для проводящей среды, в диэлектрике не происходит, так как в диэлектрике нет токов проводимости (нет поглощенияэнергииипреобразованияеёвтепло). Вдиэлектрикеэлектромагнитнаяволнадвижется со скоростью, равной скорости распространенияэлектромагнитнойэнергии:

υ =1/ εa µa .

В вакууме (εа =ε0 , µа = µ0 ) скорость волны

равна скорости света (υ ≈ 300000км/ с). Скорость волны в диэлектрике не зависит от частоты ω = 2πf и определяется только параметра-

мисреды εa и µa . Онанесоизмеримобольше

скоростиволнывпроводящейсреде. Длина волны:

λ =υ / f .

Волновое сопротивление диэлектрической среды:

RB = E / H = µa / εa .

1.59 ОТРАЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙВОЛНЫ ОТПРОВОДЯЩЕЙСРЕДЫ

Если электромагнитная волна переходит из диэлектрической среды в проводящую среду, то она частично отражается от поверхности проводящей среды и частично проникает в неё в видепреломленнойволны.

Для плоской волны, падающей перпендикулярно на плоскую поверхность проводящей среды

(рисунок1.41),

( ЕП , H П ) и отраженной волны ( ЕОТР , H ОТР )в диэлектрическойсреде,

ЕПР ,H ПP - комплексные значения напряжен-

ностей преломленной волны в проводящей среде,