neopred_int(математика)
.pdfВариант 24 |
|
|
|
Часть А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
а) ∫ |
dx |
|
|
|
в) ∫sin(2x x )dx ; |
|
|
|
∫ |
2x + 5 |
е) ∫ |
|
|
dx |
|
; |
||||||
|
|
; |
|
д) |
|
dx ; |
|
|||||||||||||||
1− 4x2 arcsin(2x) |
x2 − x + 3 |
2sin(x) +3cos(x) +1 |
||||||||||||||||||||
б) ∫cos(3y)sin(8y)dy ; |
cos(x)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж) ∫ |
|
dx |
|
|
|
||||||
г) ∫5 sin 4 (x) |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 4x +3 . |
|
|
||||||||||
|
2.Вычислить |
интегралы или |
|
установить |
расходимость: |
|
|
|
||||||||||||||
e |
dx |
|
|
|
π 4 |
|
в) |
+∞arctg(x) |
dx ; |
|
|
|
5 |
dx |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
а) ∫ |
|
; |
|
б) |
∫ctg(2x)dx ; |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
г) |
∫1 |
|
. |
|
||||
x 1−ln2 (x) |
|
2 |
+1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
|
|
|
π 6 |
|
|
0 x |
|
|
|
|
|
|
x −1 + |
1 |
|
Часть В
1.Найти неопределённые интегралы:
а) ∫3x log3 (x)dx ; б)
в)
∫
∫
|
|
dt |
|
|
|
|
; |
|
г) ∫3 |
x |
(x +1)dx |
; |
е) ∫ |
sin |
3 |
(t) |
dt ; |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(4 +t |
2 |
)arctg |
3 |
|
|
|
|
|
|
cos |
4 |
(t) |
||||||
|
|
|
|
|
д) ∫ |
2x3 − x2 −8x −2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
dx ; |
|
|
|
||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
(x2 + x)(x −2) |
|
ж) ∫tg 5 (3x)dx . |
||||||||||
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 + 4 x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость:
π 2 |
t |
|
2 |
|
|
dx |
|
|
а) ∫ |
t sin |
|
dt ; |
б) ∫ |
|
|
|
. |
2 |
x |
2 |
− 4x +3 |
|||||
0 |
|
|
0 |
|
|
Часть С
Найти неопределённые интегралы:
а) ∫eϕ sin(ϕ )dϕ ; |
б) ∫ |
1 + t2 |
dt ; |
в) ∫cos4 (3z)sin 2 (3z)dz ; |
г) ∫ |
3 |
1+ 4 |
x |
dx . |
||||||||||
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Часть D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1.Вычислить площади фигур: |
|
|
|
|
|
|||||||||||
а) |
x = 4 − y2 , |
x = 8(t −sin(t)), |
y |
≥ |
12 (0 |
< |
x |
< |
π |
|
в) r = 2 cos(ϕ), |
||||||||
x = y2 − 2y; |
б) |
|
|
−cos(t)), |
|
|
|
16 ); |
|
r = 3cos(ϕ). |
|||||||||
|
y = 8(1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить длины дуг кривых:
y =1+ arcsin(x) − 1− x2 , а) 0 ≤ x ≤ 34 ;
x = et (cos(t)
б) y = et (cos(t)
0 ≤ t ≤ 3π 2 ;
+sin(t)), |
в) r |
= ϕ |
≤ϕ ≤ 4 |
3. |
−sin(t)), |
3 ,0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Вычислить объемы тела, образованного вращением вокруг оси ОY фигуры, ограниченной линиями: y2 = x − 2, y = x3 , y = 0, y =1.
Часть E
1
Вычислить приближённо ∫3 1+ x4 dx указанным методом, отрезок интегри-
0
рования разбить на 10 равных частей, сравнить с результатом непосредственного интегрирования:
а) прямоугольников; |
б) трапеций; |
в) Симпсона |
80
Вариант 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
arctg 3 |
x |
|
|
|
в) |
|
|
2x −1 |
|
|
dx ; |
|
|
y |
2 |
dy |
|
|
|
|
|
ж) |
|
|
3dx |
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
а) ∫ |
2 |
dx ; |
∫x2 − 6x + |
10 |
|
д) ∫ |
|
|
; |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 − y |
6 |
|
|
|
|
|
8 |
−2x |
− x |
2 |
||||||||||||||||||||||
|
4 + x |
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
г) |
∫sin |
|
|
|
sin |
|
|
dx ; |
|
е) ∫ |
cos(x) |
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
б) ∫ |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ cos(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
t ln(5t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
x |
|
|
1 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
а) ∫ |
|
|
|
|
; |
|
б) ∫cos2 |
|
dx ; |
|
|
в) ∫ |
|
; |
|
|
|
|
|
|
г) ∫ |
|
|
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||
0 |
|
9 − x |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 4 |
x (x +1) |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x (ln( |
x )) 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть В
1.Найти неопределённые интегралы:
а) |
∫ |
x cos(5x |
2 |
)dx ; |
в) |
∫ |
3x |
2 + |
x |
− |
2 |
dx ; |
г) |
∫ |
x |
|
|||
|
|
|
arccos |
|
dx ; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x3 −8 |
|
|
||||||||||||
|
|
3 sin(5x2 ) |
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||
б) |
∫5 |
x |
(2x +1)dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
д) ∫tg 3 (2z)dz ; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е) |
∫ |
|
|
|
x |
x 4 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
64 sin |
|
cos |
4 |
dx ; |
|||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||
ж) |
∫ 3 |
|
dt |
|
|
. |
|
|
||
t ( |
3 |
t |
−1) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость:
|
|
|
|
а) ∫1 |
z 2 ln(2z)dz ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∫1 |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x(1− x) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
а) ∫ |
x2 |
|
dx ; |
|
б) |
∫ |
x3 |
−8x2 +8x +16 |
dx ; |
|
в) ∫e |
−t |
cos(3t)dt |
; |
|
|
г) ∫ |
|
|
dx |
5 . |
|||||||||||
9 |
+ x |
2 |
|
|
x |
2 |
(x −4) |
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
1+ x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Вычислить площади фигур: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
а) |
x = |
|
|
1 |
|
, |
|
б) x = 24cos |
3 |
(t), x = 9 3 (x ≥ 9 3); |
|
|
в) r = cos(ϕ) + sin(ϕ). |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
y 1+ ln(y) |
|
|
y = 2sin |
3 |
(t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x = 0, y =1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Вычислить длины дуг кривых: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
а) |
y = ln(cos x) + 2, |
б) |
x = 2(t −sin(t)), |
0 |
≤ t ≤ |
π |
|
; |
|
|
в) r =5ϕ,0 ≤ϕ ≤12 |
5 |
. |
|||||||||||||||||||
0 |
≤ x ≤π |
|
; |
|
|
|
|
= 2(1−cos(t)), |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Вычислить объемы тела, образованного вращением вокруг оси ОY фигуры, ограниченной линиями: y = x3 , y = x2 .
Часть E
1
Вычислить приближённо ∫ 1+ x dx указанным методом, отрезок интегри-
0
рования разбить на 10 равных частей, сравнить с результатом непосредственного интегрирования:
а) прямоугольников; |
б) трапеций; |
в) Симпсона. |
81
Вариант 26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
сtg(x) |
|
|
|
|
|
|
2 arccos( 2 x ) |
|
|
|
д) |
|
|
2 |
dx ; |
|
|
|
ж) |
|
||||||
а) ∫ |
|
|
|
; |
в) |
∫ |
dx ; |
|
∫ 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
sin 2 (x) dx |
|
1 − 4 x 2 |
|
|
+ cos( x ) |
|
|
∫ |
|
|
dx |
. |
|||||||||||||||
б) ∫ |
2x + 2 |
|
|
dx ; |
г) |
∫cos |
2 |
(2x)sin(4x)dx ; |
|
е) ∫cos(3ϕ) cos(4ϕ) dϕ ; |
4x2 + 4x +5 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x2 − 5x + 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
−1 |
dx |
|
|
|
|
|
ln 2 |
|
|
ex dx |
|
|
2 |
dx |
|
|
|
|
|
+∞ x3 +1 |
|
|
|||||
а) ∫ |
|
|
; |
|
б) ∫ |
|
|
|
2x ; |
|
в) |
∫ |
|
; |
|
|
|
г) ∫ |
|
|
|
|
dx . |
|
|||
(11+5x) |
3 |
|
|
4 −e |
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
||||||||||||||
−3 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
x +3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Часть В
1.Найти неопределённые интегралы:
а) ∫e |
2t |
(2 |
−t)dt |
; |
в) ∫ |
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||
|
|
|
|
3 |
|
4 ; |
г) |
∫arcctg |
|
dx ; |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
+ |
x |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||
б) ∫tg (2z)dz ; |
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
д) |
∫ |
|
|
x + 3 |
dx ; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ |
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 3 |
е) ∫ |
2x3 |
|
+ 4x2 − 3x |
|||||||
x |
3 |
+ x |
2 |
− 2x |
||||||
|
|
|
||||||||
ж) ∫sin |
4 x |
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
cos |
|
|
||||
|
4 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+3dx ;
xdx .
4
2.Вычислить интегралы или установить расходимость:
|
|
|
|
|
|
|
а) |
4 |
x ln(x)dx ; |
|
|
|
|
|
2 |
|
xdx . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
б) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
а) |
∫ |
|
x2 |
2 dx |
; |
|
б) ∫ |
4x2 + x +10 |
dx ; |
|
в) ∫e |
3z |
sin(z)dz ; |
|
|
|
г) ∫ |
3 |
1 |
+ |
4 |
x |
dx . |
||||
1 − x |
|
x3 +8 |
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Вычислить площади фигур: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1x |
|
|
|
|
|
|
x = 3cos(t), |
|
|
|
|
|
|
в) |
r |
= |
|
|
|
ϕ |
||
а) |
y = |
|
e |
|
|
, y |
= |
0, |
б) |
|
|
|
y = 4 |
3 ( y ≥ 4 3); |
|
|
2sin(4 ). |
||||||||||
|
x2 |
|
|
y = 8sin(t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x = 2, x =1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить длины дуг кривых: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
а) |
y = ex + 26, |
24; |
б) |
x = 4(2cos(t) −cos(2t)),0 ≤ t ≤ π; |
|
в) r =2cos(ϕ),0 ≤ϕ ≤π 6. |
|||||||||||||||||||||
|
ln |
|
8 ≤ x ≤ ln |
|
y = 4(2sin(t) −sin(2t)), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Вычислить объемы тела, образованного вращением вокруг оси ОY фигу-
ры, ограниченной линиями: |
x |
|
x |
|
|||
y = arccos |
|
, y = arccos |
|
, y = 0. |
|||
5 |
3 |
||||||
|
|
|
|
|
Часть E
2
Вычислить приближённо ∫cos(x2 )dx указанным методом, отрезок интегри-
1
рования разбить на 10 равных частей, сравнить с результатом непосредственного интегрирования:
а) прямоугольников; |
б) трапеций; |
в) Симпсона. |
82
Вариант 27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
а) |
|
3 сos8 (x) sin(x) dx ; |
|
|
|
|
2x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
2x + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
∫ |
|
|
|
dx ; |
|
г) |
∫ |
x2 + 3x + 3 |
dx ; |
|
|
е) ∫4sin(x) + 5cos(x) + 4 |
; |
||||||||||||||||
б) |
ex 2 |
|
|
|
|
|
|
4 + 4x +1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
t |
|
|
|||||||||
e |
x |
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) ∫cos |
(z)sin(z) dz |
; |
|
ж) ∫sin |
|
|
|
sin |
|
dt . |
|
||||||||||||||
− 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 π |
|
|
1 |
|
|
dx |
|
|
8 |
|
|
dx |
|
|
|
|
6 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
+∞ |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
а) |
∫ |
sin |
|
|
|
|
|
; |
|
б) ∫ |
|
|
|
|
; |
|
в) ∫3 |
|
|
|
2 ; |
|
|
|
|
г) ∫ |
|
|
|
|
|
dx . |
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1 π |
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
x ( x + |
1) |
|
|
2 |
(4 − x) |
|
|
|
|
|
−∞ x |
|
+1 |
|
|
|
|
|
Часть В
1.Найти неопределённые интегралы:
а) ∫z sin(6z)dz ; |
в) |
∫ |
|
|
x2 + 5 |
dx ; |
г) |
||
б) ∫tg 3 (6x)dx ; |
x |
3 |
− x |
2 |
+ 4x − 4 |
|
|||
|
|
|
|
|
д) |
∫
∫
x log2 (x) dx ; |
е) |
∫sin 4 (ϖt )dt ; |
||||||
2x |
4 |
− x |
2 |
+1dx ; |
ж) |
∫1 + |
x −1 |
dx . |
|
|
x −1 |
||||||
|
x3 − x |
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость:
|
|
|
3 |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 2 |
cos(t) dt |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
а) ∫arctg |
|
|
dy ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
∫ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
2 |
(t) −9 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
а) |
∫2 |
t |
sin(t) dt ; |
|
б) ∫ |
3 |
1 + |
4 |
x dx ; |
|
в) ∫ |
|
|
dx |
|
|
|
; |
г) ∫ |
13 + 2x − 4x2 − 2x3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
(x |
2 |
+1) x |
2 |
+1 |
(x −1) |
2 |
(x + 2) |
2 dx |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Вычислить площади фигур: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
а) |
y = x2 16 − x2 , |
б) x = 2(t −sin(t)), y ≥ 2 (0 < x < 4π); |
|
|
|
|
|
в) |
r = 2cos(6ϕ). |
|||||||||||||||||||||||
|
y = 0(0 ≤ x ≤ 4); |
|
|
|
y = 2(1−cos(t)), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить длины дуг кривых: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
а) |
y = |
ex + e−x |
+3, |
|
|
|
б) |
x = 2(cos(t) +t sin(t)), 0 ≤ t |
≤π |
2 |
; |
в) |
r =8cos(ϕ),0 ≤ϕ ≤π 4. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
y = 2(sin(t) −t cos(t)), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 ≤ x ≤ 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3.Вычислить объемы тела, образованного вращением вокруг оси ОY фигу- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ры, ограниченной линиями: |
y = arcsin(x), y = arccos(x), y = 0. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить приближённо ∫sin( |
x)dx указанным методом, отрезок интегри- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рования разбить на 10 равных частей, сравнить с результатом непосредственного интегрирования:
а) прямоугольников; |
б) трапеций; |
в) Симпсона. |
83
Вариант 28 |
Часть А |
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
а)
б)
∫
∫
3x 5−x2 dx ; |
в) |
|
dx |
; |
г) |
x3 ln(2x) |
||
|
|
|
∫
∫
|
sin(t) |
|
|
2x −13 |
|
dx |
||
|
|
dt ; |
|
д) ∫ |
|
dx ; |
ж) ∫ |
x2 −4x +3 . |
|
2 +3cos(t) |
x2 + x + 3 |
||||||
|
dx |
; |
е) ∫sin(3z)sin(5z) dz ; |
|
|
|||
2sin(4x) +3cos(4x) +5 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость:
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
0 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
dx |
|
|
|
|
|||||
а) ∫4 x +1 dx ; |
|
|
б) ∫ |
|
|
|
dt ; |
|
|
в) ∫ |
|
|
; |
|
|
|
г) ∫ |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
4 −t |
|
|
|
|
|
|
−∞4 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
а) ∫arctg(4y)dy ; |
|
в) |
∫t sin(2t) dt ; |
|
|
|
д) |
∫4 |
x |
|
|
|
|
dx |
; |
|
е) ∫cos5 (3x)sin3 (3x ) dx ; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x3 + 2 |
|
|
|
|
|
sin 2 (3x) |
|
|
|
|
|
|
−3 + |
x −3 |
|
|
|
|
4 − x |
||||||||||||||||
б) ∫ |
|
dx ; |
|
|
г) |
∫ |
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж) ∫ |
|
dx . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(x +1)2 |
|||||||||||||||||||
x3 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
cos4 (3x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
16 |
4 x dx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∫(4 + x)e2x dx . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
x −4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
а) ∫ |
|
dx |
; |
б) ∫ |
x3 +6x2 +13x +9 |
dx ; |
|
в) |
∫3 |
t |
sin(t)dt ; |
|
|
|
г) |
|
3 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∫ x 2 + x 2 dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
(x2 +5)5 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
(x +1)(x + 2)3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Вычислить площади фигур: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
а) |
x = 4 − y2 |
, x = 0, |
|
|
|
б) |
x = 4 |
2 cos3 (t), |
x |
= 2 (x ≥ 2); |
|
|
в) |
r = cos(ϕ) −sin(ϕ). |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin3 (t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
y |
|
= 0, y =1; |
|
|
|
|
|
|
|
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить длины дуг кривых:
а) |
y = arccos( |
x) − x − x2 + 4, |
|
|
x = (t 2 −2)sin(t) +2t cos(t), |
в) |
r =6cos(ϕ), |
||||||
0 ≤ x ≤ |
1 |
2 ; |
|
б) |
y = (2 −t 2 )cos(t) +2t sin(t), |
0 ≤ϕ ≤π |
3 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ t ≤ 3π; |
|
|
|
|
||
3.Вычислить объемы тела, образованного вращением вокруг оси ОY фигу- |
|||||||||||||
|
|
|
|
ры, ограниченной линиями: y = x2 − 2x +1, x = 2, y = 0. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Часть E |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
3 |
5x |
3 |
+ 2x |
2 |
|
|
|
|
|
Вычислить приближённо ∫ |
|
|
dx указанным методом, отрезок интег- |
||||||||||
|
|
x |
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
рирования разбить на 10 равных частей, сравнить с результатом непосредственного интегрирования:
а) прямоугольников; |
б) трапеций; |
в) Симпсона. |
84
Вариант 29 |
Часть А |
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
a) ∫ |
5xdx |
; |
|
в) ∫ |
xdx |
|
; |
д) ∫ |
|
|
6x + 5 |
|
dx ; |
|
||||||||
x |
2 |
+17 |
|
4 + x |
4 |
4x |
2 |
−12x + |
13 |
|
||||||||||||
б) |
∫ |
|
|
xdx |
|
|
|
x |
|
|
е) |
|
|
|
|
dx |
|
|
; |
|||
|
x2 + 2x + 2 |
; |
г) |
∫ |
sin |
|
|
sin(x) dx ; |
∫sin(3x) + cos(3x) + 2 |
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
ж) ∫ |
|
6 |
x +1 |
dx . |
|
1 |
+ |
3 |
x +1 |
||
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость:
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
5 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
dx |
|
|
|
|||||||
а) ∫3 3x +5 dx ; |
|
б) ∫x3 ex4 dx ; |
|
|
|
|
в) ∫5 |
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) ∫ |
x |
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
+ 4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
x |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫2 |
x |
(x −5)dx ; |
|
в) |
|
|
|
|
|
4 |
x |
|
|
|
г) |
|
|
|
|
|
|
t |
|
; |
|
|
|
е) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
tg |
|
|
|
dx ; |
|
|
|
arccos |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
∫(1+ x |
2 |
)(arctg |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) ∫ |
sin |
5 |
(2x) |
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) −9) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж) |
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) |
|
|
|
|
x |
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
sin 4 |
|
|
|
cos |
2 |
|
|
dx . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
cos |
|
(2x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
(x −1)(x |
2 |
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
5 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) ∫xex dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∫ |
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
4 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
a) ∫ |
4 |
1+ x |
4 |
|
|
|
б) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
; |
|
в) ∫e |
z 2 |
|
sin(2z) dz ; |
г) |
∫ |
|
|
|
|
|
2xdx |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(4 |
+ x |
2 |
) 4 + x |
2 |
|
|
|
|
cos2 (x2 )(tg(x2 ) + 5)3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Вычислить площади фигур: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
а) |
y = (x −1)2 , |
|
|
|
б) |
|
x |
|
= 2 |
2 cos(t), |
y = |
5 ( y ≥ 5); |
|
в) r = 3sin(ϕ), r = 5sin(ϕ). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y2 |
= x −1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
= 5 |
2 sin(t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить длины дуг кривых: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
y = |
e2 x +e−2x +3 |
, |
|
|
|
|
|
|
б) x =2cos3 (t), 0 ≤t |
|
≤π |
4 |
; |
|
|
|
в) |
|
r =2sin(ϕ),0 ≤ϕ ≤π 6. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y =2sin3 (t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0 ≤ x ≤ 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Вычислить объемы тела, образованного вращением вокруг оси ОY фигуры, ограниченной линиями: y = x3 , y = x.
Часть E
Вычислить приближённо ∫1 5x2 dx указанным методом, отрезок интегриро-
0
вания разбить на 10 равных частей, сравнить с результатом непосредственного интегрирования:
а) прямоугольников; |
б) трапеций; |
в) Симпсона. |
85
Вариант 30 |
Часть А |
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
а) ∫ б) ∫
3 |
z |
dz |
|
|
в) |
∫3 |
sin 2 (2 x) |
sin(4x) dx ; |
|
|
|
x |
|
x |
е) |
|
4x − 5 |
dx ; |
|||||||||
|
|
|
; |
д) |
∫ |
|
sin2 |
|
cos |
|
dx; |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
9 +9z |
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
∫2x2 − 6x + 5 |
||||||||||
|
|
x2 |
|
|
г) |
∫ |
sin |
|
cos |
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж) ∫ |
2x + 3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
dx ; |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 +12x − 4x2 dx . |
||||||||||
5x3 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость:
|
π 4 |
cos(2x)dx |
|
|
|
|
e |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
16 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
а) |
∫ |
|
|
|
|
; |
б) |
∫ |
|
|
; |
|
|
в) |
∫ |
t +t |
4 dt ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
∫ |
|
|
dx . |
|
||||||||||||||||||||||||
|
sin 2 (2x) −9 |
|
x ln(5x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1+ x)3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
а) |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
−1 |
|
|
|
г) |
∫ |
|
|
|
dt |
|
|
|
; |
|
|
|
|
3x |
3 |
−3x |
2 |
−7x −2 |
|
|
|||||||||||||||
∫ |
xarctg |
|
dx ; |
|
|
в) ∫ |
|
|
|
dx ; |
1 − 4t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
е) |
∫ |
|
|
dx |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
arcsin3 (2t) |
|
x3 − x2 −4x + 4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) ∫ctg |
5 |
(5x) dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x |
|
|
4 x |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) ∫e |
|
(3 −2x − x )dx ; |
|
|
|
|
ж) |
∫cos |
|
sin |
|
|
dx . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1/ 2 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
а) ∫ |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
∫(4x +3) cos(2x )dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x ln |
3 |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
x2 |
|
|
|
|
в) ∫ |
3 |
t |
cos(2t) dt ; |
|
|
г) ∫3 |
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||
а) |
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
б) |
xe |
2 dx |
; |
|
|
|
|
|
|
(x + |
3) |
2 |
− |
3 |
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
8 + x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e2x |
+13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+3 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Вычислить площади фигур: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
а) |
y = x 2 cos(x), y = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 4(t −sin(t)), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r = 2sin(ϕ), |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
(0 ≤ x ≤π 2); |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) y = 4(1−cos(t)), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) r = 4sin(ϕ). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 6 (0 < x < 8π, y ≥ 6); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить длины дуг кривых: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
а) |
y = e x + e, |
15; |
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
π |
|
|
|
в) |
r =8sin(ϕ),0 ≤ϕ ≤π 4. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
ln |
3 ≤ x ≤ ln |
|
x = et (cos(t) +sin(t)), |
≤ t ≤ |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = et (cos(t) −sin(t)), |
6 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Вычислить объемы тела, образованного вращением вокруг оси ОY фигуры, ограниченной линиями: y = arccos(x), y = arcsin(x), x = 0.
Часть E
Вычислить приближённо ∫2 ex 2 dx указанным методом , отрезок интегриро-
1
вания разбить на 10 равных частей, сравнить с результатом непосредственного интегрирования:
а) прямоугольников; |
б) трапеций; |
в) Симпсона. |
86
Приложение №1 Графики некоторых функций, заданных
параметрически и в полярных координатах
Окружность с центром в начале коор- |
|
|
|
|
|
|
Эллипс |
|
||
динат |
|
|
|
|
|
|
|
x = a cos(t), |
|
|
x = a cos(t), |
|
|
x |
2 |
|
y |
2 |
|
||
x2 + y2 = a2 |
0 ≤ t < 2π |
|
|
+ |
|
=1 |
0 ≤ t < 2π |
|||
a2 |
b2 |
|||||||||
y = a sin(t) |
|
|
|
y = bsin(t) |
|
|||||
Окружность в полярных координатах |
|
|||||||||
r = a |
r = a sin(ϕ) |
|
|
|
|
|
r = a cos(ϕ) |
Парабола |
|
|
|
|
|
|
|
Гипербола |
|
||
x =t, |
|
|
x |
2 |
|
y |
2 |
x = a ch (t), |
|
||
y2 = 2 px |
|
t [0;∞] |
|
|
− |
|
=1 |
t R |
|||
= 2 pt |
a2 |
b2 |
|||||||||
y2 |
|
|
|
y = b sh (t) |
|
Циклоида (трохоида)
x =rt −hsin(t), |
при h=r |
|
|
|
|
y =r −hcos(t) |
|
|
Удлиненная циклоида - h > r |
Укороченная циклоида - h < r |
|
|
|
|
Гипотрохоида
x = (R − mR)cos(mt) + h cos(t −mt), |
−4π ≤ϕ ≤ 4π |
|
|
y = (R − mR)sin(mt) −hsin(t −mt) |
|
R = 3, h = 2, m = |
1 |
, h > r |
R = 2, h = |
1 |
, m = |
1 , h < r - Астроида (частный случай) |
|||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
3 |
+ y |
2 |
3 |
= a |
2 |
3 |
x = a cos |
3 |
(t), |
|
||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = a sin3 (t) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ϕ ≤ 2π |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
87
|
|
|
|
Гипоциклоида |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x = (R −mR) cos(mt) + mR cos(t − mt), |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = (R −mR)sin(mt) − mRsin(t −mt) |
|
|
|
|
||
R = 3, m = |
r |
, m = |
2 |
, −5π ≤ϕ ≤ 5π |
R = 3, m = |
|
r |
, m = |
2 |
, −3π ≤ϕ ≤ 3π |
R |
5 |
|
R |
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Штейна кривая (частный случай)
Эпитрохоида
x = (R + mR) cos(mt) −h cos(t + mt), |
−4π ≤ϕ ≤ 4π |
|
|
||
|
|
|
|||
y = (R + mR)sin(mt) −hsin(t + mt) |
|
|
|
|
|
R = 5, h = 3, m = 1 , h > r |
R = 5, h = |
1 |
, m = |
1 |
, h < r |
4 |
|
3 |
|
4 |
|
Эпициклоида
x = (R + mR) cos(mt) −mR cos(t + mt), |
−4π ≤ϕ ≤ 4π |
|
|
|||||
|
(R + mR)sin(mt) −mRsin(t + mt) |
|
|
|||||
y = |
|
|
|
|
||||
R = 3, m = |
r |
, m = |
2 |
|
R = 3, m = |
r |
, m = |
1 |
R |
|
R |
3 |
|||||
|
3 |
|
|
|
Циклоидные кривые
x = (R + mR)cos(mt) + h cos(t + mt), |
−4π ≤ϕ ≤ 4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y = (R + mR)sin(mt) −hsin(t + mt) |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
R = 5, h = 3, m = 4 , h > r |
R = 2, h = |
|
, m = |
|
, h < r |
3 |
4 |
88
Р О З Ы
(частный случай эпитрохоиды при h = R + r ) r = a sin kϕ r = a cos kϕ
Трёхлепестковая роза: k = 3
Если k - нечетно, то имеем k лепестков
Четырёхлепестковая роза: k = 2
Если k - четно, то имеем 2k лепестков
Особые случаи: k = 53
1 |
|
r = a cos( 3ϕ) , −π / 2 ≤ϕ ≤π / 2 |
|
r = asin |
2 |
ϕ , − 2π ≤ϕ ≤ 2π |
|
|
|
|
89