neopred_int(математика)
.pdfВариант 4 |
|
|
|
|
|
|
|
Часть А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
||||||||||||||||
а) |
∫ |
sin(5 −6x)dx ; |
|
в) |
∫x2 |
x − 2 |
|
dx ; |
|
|
д) |
∫ |
|
|
x |
|
|
5x |
; |
ж) |
∫ |
xdx |
. |
||||||
|
+ 4x + 20 |
|
|
sin |
cos |
dx |
4 − x4 |
||||||||||||||||||||||
б) |
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||||
∫7 + x2 ; |
|
|
г) |
∫ x2 |
|
; |
|
|
|
е) |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||||
|
|
−3x + 2 |
|
|
|
∫2 −3cos(x) + 4sin(x) |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость: |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
π 6 |
|
|
|
|
1 |
dx |
|
|
|
|
|
|
16 |
4 t |
|
|
|
|
|
|
2 x9 e x 2 dx . |
|
||||||
а) |
|
∫ctg(3x)dx ; |
б) ∫ |
; |
|
|
в) |
∫1 |
|
dt |
; |
|
|
г) |
|
||||||||||||||
|
π 9 |
|
|
|
|
0 |
|
2x |
|
|
|
|
|
|
t + 4 |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∫tg 3 (2z)dz ; |
|
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
а) |
|
|
|
x −1 + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
sin3 (x) |
|
|
|||||||||
б) |
|
|
|
xdx |
|
в) |
∫ |
2 + |
x −1dx |
; |
г) |
∫1+ 2sin 2 (x) ; |
|
е) ∫1+ cos2 (x)dx ; |
|
||||||||||||||
∫cos2 (x) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 x |
|
|
|
|
|
x2dx |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) ∫x + x dx ; |
|
|
ж) |
∫(x +1)2 (x + 2)2 . |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость: |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) ∫arcsin(x)dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∫3 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
x + |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти неопределённые интегралы: |
|
x2dx |
|
|||||||||||||||||
а) |
|
|
sin 2 (x) −3сos 2 (x) |
dx ; |
б) ∫ 4x |
2 |
|
4x +5dx ; |
|
|
в) ∫e2 x cos(x)dx ; |
|
|
||||||||||||||||
∫ |
|
sin(2x) |
|
|
+ |
|
|
г) ∫(x +1)2 (x +2)2 . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Вычислить площади фигур: |
в) r = 4sin(3ϕ), r = 2. |
||||||||||||||||||
y = sin(x) cos2 (x), y = 0, |
x =16cos3 (t), |
x |
= 2 (x ≥ 2) ; |
||||||||||||||||||||||||||
(0 ≤ x ≤ π |
|
) ; |
|
|
|
|
б) |
|
= 2sin3 (t), |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Вычислить длины дуг кривых: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
б) x =(t 2 −2)sin(t) + 2t cos(t), |
0 ≤t ≤π; |
в) r =5e5ϕ |
12 , |
|
||||||||||||||||
|
|
|
3 ≤ x ≤ |
8 |
; |
|
y =(2 |
−t |
2 |
)cos(t) + 2t sin(t), |
|
|
−π / 2 ≤ϕ ≤π / 2 . |
|
|||||||||||||||
y = ln |
2x |
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Вычислить объемы тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фи- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
гуры, ограниченной линиями: y = 5cos(x), y = cos(x), x = 0, x ≥ 0. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
Вычислить приближённо ∫sin(х2 )dx указанным методом , отрезок интег-
−1
рирования разбить на 10 равных частей, сравнить с результатом непосредственного интегрирования:
а) прямоугольников; |
б) трапеций; |
в) Симпсона. |
60
Вариант 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
а) ∫ |
|
dx |
|
|
; |
в) ∫ |
|
|
x − 2 |
|
dx ; |
|
д) ∫cos(2x)sin(5x)dx ; |
|
|
xdx |
|
|
|||||||||
|
5 − x2 |
x2 −3x +3 |
|
е) ∫ |
|
dx |
|
; |
|
|
ж) ∫ |
x −1 . |
|
||||||||||||||
|
x3dx |
|
г) ∫ |
|
x2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1+sin(x) + cos(x) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
б) ∫ |
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
; |
|
|
x(x |
2 |
−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4 |
− x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость: |
|
|
|
|||||||||||||||||||
π 3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
dx |
|
|
|
16 |
4 t |
|
|
|
|
|
+∞ |
xdx |
|
||||||
а) ∫x sin(3x)dx ; |
|
|
б) ∫ |
|
; |
|
в) ∫ |
|
dt ; |
|
г) |
∫ |
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
t + 4 |
|
2 |
+ 9 |
||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2x |
|
1 |
|
|
|
|
|
−∞ x |
|
|
Часть В
1.Найти неопределённые интегралы:
а)
б)
∫
∫
xe−x2 dx ; |
в) |
∫ |
1 + x |
− 5 |
dx ; |
г) |
∫sin5 7 (x) cos3 (x)dx ; |
е) |
∫ |
sin 2 (x) |
dx ; |
||||||||
xdx |
|
x − 5 + 4 |
д) |
∫ |
xdx |
; |
cos |
4 |
(x) |
||||||||||
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
. |
|
|||||||
sin 2 (x) |
|
|
|
|
|
1− 4x4 |
ж) |
∫ |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость:
|
|
|
|
|
1 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
а) ∫0 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
−∞∫ 3dxx2 . |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2x2 + 4x −7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x1 4 |
− x1 6 +1 |
|
б) |
∫ |
|
x2 + 3x + 2dx ; |
|
|
в) ∫e−2 x cos(x)dx ; |
|
|
|
|
|
xdx |
|||||||||||||
а) ∫ |
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) ∫ |
(x +1)2 (x −1)2 |
. |
|||||||
|
x2 3 − x5 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Вычислить площади фигур: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
а) y = |
4 − x2 , y = 0, |
|
б) |
x = 2cos(t), y = 3 ( y ≥ 3); |
в) |
r = 2cos(ϕ), r = 2 3 sin(ϕ) |
|
||||||||||||||||||||||||
|
x = 0, x =1; |
|
|
|
|
|
|
|
y = 6sin(t), |
|
|
|
|
|
|
(0 ≤ϕ ≤ |
π |
2). |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Вычислить длины дуг кривых: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
а) |
y = −ln(cos x), |
|
|
|
|
|
x =10cos3 (t), |
0 ≤t ≤π |
|
; |
|
в) r |
|
|
|
12ϕ |
|
||||||||||||||
0 |
≤ x ≤π |
|
; |
|
|
|
|
|
|
б) |
3 |
(t), |
2 |
|
= 6e |
5 , |
|
|
|||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y =10sin |
|
|
|
|
|
−π / 2 ≤ϕ ≤π / 2 . |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3. Вычислить объемы |
тела, образованного вращением вокруг оси ОХ |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
фигуры, ограниченной линиями: y = sin 2 (x), x =π |
2 |
, y = 0. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить приближённо ∫cos(4х2 )dx указанным методом, отрезок интег-
0
рирования разбить на 10 равных частей, сравнить с результатом непосредственного интегрирования:
а) прямоугольников; |
б) трапеций; |
в) Симпсона. |
61
Вариант 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж) |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
а) |
|
|
x |
+ x |
x |
dx ; |
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
3 |
cos |
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
− |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2x + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|||||||||||||||||||
б) ∫ |
|
1 − 2x |
dx ; |
|
|
|
|
|
г) ∫ |
|
|
|
|
x + 5 |
|
dx ; |
|
|
|
|
е) |
|
∫ |
|
|
dx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 + 4sin(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 7x +12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
а) |
∫x sin(x)dx ; |
|
|
|
б) ∫ |
|
2 ; |
|
|
в) |
|
∫ |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
г) |
|
x7 cos(x)dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(5 − x) |
|
|
|
4x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
|
|
|
|
−2 |
|
|
−9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x cos(x) |
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
dx |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x |
4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
а) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
∫cos |
|
|
|
|
sin |
|
|
dx ; |
е) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||
|
sin |
3 |
(x) |
4x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1− |
4t |
2 |
arcsin |
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+16x −9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
(2t) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) ∫arctg(3x)dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) ∫ |
dx |
; |
|
|
|
|
|
|
ж) ∫ |
|
|
|
3dx . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 + x2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
dx |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
∞ |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 + 2x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
x + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ctg |
3 |
(x)dx |
; |
|
|
б) |
∫ х4 |
|
1 |
|
|
dx ; |
|
|
|
в) ∫e |
x |
sin(3x)dx ; |
|
|
|
г) ∫ |
2x + |
3 |
x |
2 |
+ |
5 |
x |
4 |
dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 + х2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
x |
+ |
5 |
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Вычислить площади фигур: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
y = |
|
e |
x |
−1, |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
x = 6cos(t), |
y = |
|
|
|
3 ( y ≥ |
3); |
|
|
|
|
в) |
r |
|
= |
|
|
|
|
ϕ |
). |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2sin(t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y = 0, x = ln 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Вычислить длины дуг кривых:
а) y = ln(x2 −1), 2 ≤ x ≤ 3;
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
r = |
2e |
ϕ |
, |
|
|
x = |
|
cos(t) − |
|
cos(2t), |
|
|
|
|
|
в) |
. |
|||||
б) |
2 |
4 |
π |
|
≤t ≤2π |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
3 |
; |
|
0 ≤ϕ ≤π / 3 |
|
||||||||
|
y = |
1 |
sin(t) − |
1 |
sin(2t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Вычислить объемы тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями: y = 2x − x2 , y = −x + 2, x = 0.
Часть E
Вычислить приближённо ∫0 |
dx |
3 dx указанным методом, отрезок интег- |
−0,2 |
1+ x |
|
рирования разбить на 10 равных частей, сравнить с результатом непосредственного интегрирования:
а) прямоугольников; |
б) трапеций; |
в) Симпсона. |
62
Вариант 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
∫(x +1) cos(2x)dx ; |
|
|
|
|
|
|
5x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
π |
|
|
|
|
ж) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
д) |
|
|
|
sin 5x |
− |
|
cos x + |
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
∫x2 |
|
|
|
|
|
∫ |
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) ∫x3 2 + x4 dx ; |
|
|
|
|
|
+ 2x +10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
arctg(2x) |
dx . |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
г) ∫ |
|
|
|
; |
|
|
|
е) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
1+ 4x2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2sin(3x) +3cos(3x) + 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ 2x +10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
1 |
dx |
; |
|
|
|
|
в) |
4 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
г) |
π |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
а) ∫ 3 − 5xdx ; |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫x4 sin(x)dx . |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
2 |
+ 2x + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Найти |
неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
г) |
∫ |
sin3 (x) cos3 (x)dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
x1 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
а) ∫ x x −1dx ; |
|
|
|
|
в) ∫ 3 −2x − x2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е) ∫ |
|
|
|
dx ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2x2 − 5x +1 |
|
|
|
|
|
1 + x1 3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) ∫x |
2 |
arctg(x) dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
; |
|
|
|
ж) ∫ |
|
|
|
|
4 |
|
|
dx . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
− 2x |
2 |
+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 − x)2 (x +1) |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
а) |
∫ln(1+ x)dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
∫ x e−x2 dx . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
tg(x) |
|
|
|
|
|
б) |
∫ |
|
|
|
1 |
|
dx ; |
|
|
|
в) |
|
∫e |
z 2 |
sin(2z) dz ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ 8 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) ∫x3 + 8dx . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫sin(2x)dx |
|
|
|
|
|
|
|
x(4 |
x +1)10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Вычислить площади фигур: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
а) |
y = cos(x)sin 2 (x), y = 0, |
|
|
б) |
x =16cos3 (t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) r = 6sin(3ϕ), |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(0 ≤x ≤ π |
2 |
); |
|
|
|
|
|
|
|
y = sin3 (t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r = 3 (r ≥ 3). |
|
|
x= 6 3 (x ≥ 6 3);
2.Вычислить длины дуг кривых:
а) |
y = 2 + arcsin( x) + |
x − x |
2 |
, |
б) |
x =3(t −sin(t)), |
π ≤t ≤2π ; |
|
4ϕ |
|
|
y =3(1−cos(t)), |
в) r |
= 4e 3 , |
|||||||
1 |
4 |
≤ x ≤1; |
|
|
|
|
|
|
0 |
≤ϕ ≤π / 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Вычислить объемы тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями: y = xex , y = 0, x =1.
Часть E
0,1 |
dx |
|
3 dx указанным методом, отрезок ин- |
Вычислить приближённо ∫3 |
х |
||
0 |
8 + |
|
тегрирования разбить на 10 равных частей, сравнить с результатом непосредственного интегрирования:
а) прямоугольников; |
б) трапеций; |
в) Симпсона. |
63
Вариант 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
ж) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x2 |
|
3 |
|
|
в) |
∫ x2 |
6x +1 |
|
dx ; |
д) |
∫ |
sin |
x |
|
3x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
а) |
|
|
+ |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
2 |
cos |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∫ |
x |
x |
4 |
dx |
|
+ 6x +13 |
|
|
|
|
|
2 |
|
∫2 |
sin( x) |
cos( x)dx . |
||||||||||||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
г) |
∫ |
|
|
x2dx |
; |
|
е) |
∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
; |
|
|
|
||||||||||
∫(x −1) ln(x)dx ; |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+3x + |
2 |
|
|
|
|
5sin(x) − 4cos(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
x x+1 dx ; |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) |
∫3 3 +2x2 xdx ; |
б) ∫e−2 |
x dx ; |
|
в) |
∫ |
|
|
г) |
∫2x7 cos(x)dx . |
||||||||||||||||||||||||||
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−π 2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
dx |
|
|||||||||||||||||||||
а) |
∫3 + |
|
x +1dx ; |
|
в) ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
; |
г) ∫sin |
7 |
(x) cos |
3 |
(x)dx |
; |
|
е) ∫ |
|
|
; |
|||||||||||||
3 |
|
|
4x |
2 |
+16x |
|
|
|
cos |
4 |
(x) |
|||||||||||||||||||||||||
|
1 + |
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
−9 |
д) |
|
|
2x2 + x + 4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
б) ∫arctg( |
x)dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫x3 + x2 + 4x + 4dx ; |
|
ж) ∫ |
|
2 − x |
2 dx . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(x +1) |
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость:
|
π 2 |
xdx |
|
|
|
∞ |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
||
а) |
|
∫0 |
|
; |
|
б) −∞∫ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x2 + 2x +5 |
|
|
|
|
||||||||
|
cos2 (x) |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Часть С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) ∫sin6 (3x)dx ; |
б) ∫ |
1−2x − x2 dx ; |
в) ∫ex sin(3x)dx ; |
г) |
∫ |
2x + 3 |
|
x2 + 5 x4 |
dx . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
3 |
x2 |
+ 5 x4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
Часть D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Вычислить площади фигур: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) y = x 4 − x |
|
, y = 0, |
|
x = 2(t −sin(t)), |
|
|
|
в) r |
= |
|
ϕ |
|
||||
2 |
|
б) |
|
|
|
|
|
sin 3 . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0 ≤x ≤ 2); |
|
|
y = 2(1−cos(t)), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y= 3 ( y ≥ 3,0 ≤ x ≤ 4π);
2.Вычислить длины дуг кривых:
а) |
y = ex + 6, |
б) x =et (cos(t) +sin(t)), |
в) |
r = 3e3ϕ |
4 , |
ln |
8 ≤ x ≤ ln 15; |
y =et (cos(t) −sin(t)), |
0 ≤ϕ ≤π / 3. |
||
|
|
0 ≤ t ≤π; |
|
|
|
3. Вычислить объемы тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями: x = 3 y − 2, x =1, y =1.
Часть E
1,5
Вычислить приближённо ∫ 1+ x2 dx указанным методом, отрезок интегри-
1
рования разбить на 10 равных частей, сравнить с результатом непосредственного интегрирования:
а) прямоугольников; |
б) трапеций; |
в) Симпсона. |
64
Вариант 9 |
|
|
|
|
|
|
Часть А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
а) |
|
|
|
1 |
−5x))dx ; |
|
в) |
|
(x + 2)dx |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|
5x |
|
ж) |
|
xdx |
|
. |
||||||
|
(−cos( |
|
|
|
|
|
|
|
д) |
|
cos |
|
|
sin |
|
dx ; |
|
|
|
|
|||||||||||||
∫ |
2 |
∫x2 +8x +17 |
∫ |
|
∫ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
4 + x4 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∫(x2 −3x)ex dx ; |
|
|
г) |
∫ |
x +1 |
dx |
; |
|
|
е) ∫ |
dx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x3 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
5 −3cos(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
dx |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
2 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
x |
|
||||
а) |
|
|
(ex −1)2 ex dx ; |
б) ∫ |
|
; |
|
|
|
в) |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
г) ∫x |
3 sin |
|
dx . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
∫ |
2x |
|
|
∫(1 |
+ x3 )2 |
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть В
1.Найти неопределённые интегралы:
а) б)
∫
∫
(x2 −3x)ex dx ; |
|
∫ |
x3dx |
|
г) |
∫ |
sin 4 (5x)dx ; |
е) ∫cos2 |
dx |
|
|
|
||||
6x − 5 |
|
в) |
x −1 |
; |
|
3 |
|
(x) 1+tg(x) ; |
||||||||
dx ; |
|
|
|
|
д) ∫ |
2 x dx ; |
|
|
|
dx |
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
ж) |
∫ 2 |
2 |
. |
||||||||
2 3x − 5x + 6 |
|
|
|
|
|
|
|
x + |
x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
+1)(x |
|
+ x) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость:
|
|
|
|
π 3 |
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
ln(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
а) |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∫ |
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
π 4 sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
б) |
∫ |
|
2 |
dx ; |
|
|
|
− |
x |
|
|
|
|
|
|
г) ∫x( |
|
dx |
|
|
|
||||||
а) |
∫ |
|
|
; |
|
3 + 4x + x |
|
в) |
∫e |
|
2 cos(3x)dx ; |
|
|
x +5 x2 ) . |
|||||||||||||||||||||||
cos(x)sin3 (x) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Вычислить площади фигур: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 3(t −sin(t)), |
|
|
|
|
в) r |
= |
|
ϕ |
), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) |
y = |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1+ ln(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r = |
2 cos(ϕ −π |
|
), (−π |
|
≤ϕ ≤π |
|
). |
|||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 3(1−cos(t)), |
|
|
|
|
4 |
4 |
2 |
|||||||||||||||||||
y = 0, x =1, x = e3 ; |
|
|
|
|
y = 3 ( y ≥ 3,0 ≤ x ≤ 6π); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Вычислить длины дуг |
кривых: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
а) |
y = |
1− x2 + arccos(x), |
|
|
б) x =3(cos(t) +t sin(t)), |
|
|
|
|
в) |
r =5e5ϕ |
12 , |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
0 ≤ x ≤ |
8 |
9 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
y =3(sin(t) −t cos(t)), |
|
|
|
|
0 ≤ϕ ≤π / 3 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤t ≤π |
3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Вычислить объемы тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями: y = 2x − x2 , y = −x + 2.
Часть E
1
Вычислить приближённо ∫ 3 +2x2 dx указанным методом , отрезок интег-
0
рирования разбить на 10 равных частей, сравнить с результатом непосредственного интегрирования:
а) прямоугольников; |
б) трапеций; |
в) Симпсона. |
65
Вариант 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
∫ |
8 − 2tdt ; |
|
|
|
в) |
∫ |
|
|
x − 3 |
|
|
|
dx ; |
|
|
д) |
∫cos |
4 |
(4x)dx ; |
|
|
|
|
ж) |
∫ |
(arctg(x))2 dx |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 +10x + 29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ x |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) ∫ |
x3dx ; |
|
|
|
г) |
∫ |
|
|
x2dx |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
е) ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 x4 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−3sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 +4x +3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) |
∫ |
xe−4x dx ; |
|
|
|
|
б) |
∫ |
x e−xdx ; |
|
|
|
в) |
∫ |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
г) ∫x5 x2 −1 dx . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +9 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
− dx |
|
|
|
|
|
1 − |
x +1 |
|
|
|
|
|
г) ∫cos7 (x)sin3 (x)dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
а) |
∫ |
|
; |
|
|
|
в) ∫1 + 3 x +1dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е) ∫sin 2 (x) |
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||
tg(5x) +1 |
|
|
|
|
|
|
д) ∫ |
|
|
x + 8 |
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ ctg(x) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) ∫x sin |
2 |
(x)dx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2x +1)dx |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(x |
2 |
+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
ж) ∫ |
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − |
1) |
2 |
(x + |
2) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
а) ∫ |
|
3 |
(3x − 2)2 |
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) −∞∫ |
x +1 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 + |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
(x − 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
б) ∫ 9x |
2 |
+18x +13dx ; |
|
|
|
в) |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2x +1)dx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
а) ∫ |
|
; |
|
|
|
|
|
∫3 x (3 x −1) ; |
|
|
|
|
г) ∫ |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5cos(x) +3sin(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −1)2 (x + 2) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Вычислить площади фигур: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
а) |
y = arccos(x), |
; |
|
|
|
x = 8 |
2 cos3 (t), |
x |
= 4 (x ≥ |
4); |
|
в) |
r = sin(ϕ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
y = 0, x = 0 |
|
|
|
б) |
|
|
2 sin3 (t), |
|
r = |
2 cos(ϕ −π 4),(0 ≤ϕ ≤ 3π 4). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Вычислить длины дуг кривых: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
y = ln(1− x2 ), |
|
|
|
|
|
|
|
x =(t 2 |
−2)sin(t) + 2t cos(t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
r =12e |
12ϕ |
5 |
, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 ≤ x ≤ 14; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
б) y =(2 −t 2 )cos(t) +2t sin(t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ϕ ≤π / 3. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤t ≤π |
3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Вычислить объемы тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фи-
гуры, ограниченной линиями: y = e1−x , y = 0, x = 0, x =1. |
|
|
Часть E |
Вычислить приближённо ∫1 |
arctg(x2 )dx указанным методом, отрезок интег- |
0 |
|
рирования разбить на 10 равных частей, сравнить с результатом непосредственного интегрирования:
а) прямоугольников; |
б) трапеций; |
в) Симпсона. |
66
Вариант 11 |
Часть А |
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
а) |
∫ |
tg(2 − 2x)dx ; |
|
|
|
|
|
x − 2 |
|
д) |
|||||
б) |
|
3 |
dx ; |
в) ∫ |
x2 |
−3x +3 |
dx ; |
е) |
|||||||
∫ |
x2e2 x |
г) |
∫ |
|
|
x |
2 |
dx |
; |
||||||
|
|
|
|
|
x |
2 |
+7x +10 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫
∫
cos(8x)sin(5x)dx dx
3sin(x) + 7 cos(x)
; |
|
|
|
x |
|
|
ж) |
∫ |
e dx |
||
|
; |
4 − e |
2 x . |
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость:
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
4 |
|
|
|
|
|||||||
а) |
|
xe−4x dx ; |
|
|
б) ∫3 |
; |
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
г) |
|
|
|
|
|
|
(x)dx . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin3 |
||||||||||||||||||||||||
∫ |
x +1 |
|
|
|
|
∫x |
2 |
+ |
4x + |
5 |
|
|
|
|
|
|
∫ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π 4 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
в) ∫x |
3 |
ln(x)dx ; |
|
|
г) |
|
∫cos |
5 |
(x)dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
2 |
(x) |
|
|
|
|
||||||||||||||||
а) ∫xe−x |
|
dx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е) ∫ |
|
|
|
dx ; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) ∫ |
− xdx |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) ∫4 |
xdx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж) |
∫ |
|
|
|
dx |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
sin |
|
(2x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
(x −1) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
а) |
∫0 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∫ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x +1 + (x +1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
б) ∫ |
|
|
|
2 |
dx ; |
|
|
|
в) ∫e |
x |
sin |
2 |
(x)dx ; |
|
г) ∫ |
|
|
|
|
|
|
xdx |
||||||||||||||||||
а) |
∫ х4 |
|
1 + х2 dx ; |
|
|
|
5 −4x − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x +1)2 (x −1)2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Вычислить площади фигур: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
а) |
y = (x +1)2 , |
|
|
б) |
x = 2 |
2 cos(t), |
y = |
3 ( y |
≥ |
3); |
|
|
|
|
в) |
r = 6cos(3ϕ), r = 3,(r ≥ 3). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y2 = x +1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y = 3 |
2 sin(t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Вычислить длины дуг кривых: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
а) |
y = −ln(cos x), |
|
|
|
|
|
б) x = |
6 cos |
3 |
(t),0 ≤ t |
≤ |
π |
|
; |
|
|
|
|
в) r =1−sin(ϕ), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
≤ x |
≤π |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
y = |
6sin3 (t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
2 |
≤ϕ ≤ −π / 6. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Вычислить объемы тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями: y = x2 , y2 − x = 0.
Часть E
1 |
dx2 |
указанным методом , отрезок интегри- |
Вычислить приближённо ∫ |
||
0 |
x +3 |
|
рования разбить на 10 равных частей, сравнить с результатом непосредственного интегрирования:
а) прямоугольников; |
б) трапеций; |
в) Симпсона. |
67
Вариант 12 |
|
|
|
|
|
|
Часть А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 − x |
+ 3 x |
|
|
|
x + 3 |
|
|
|
д) |
∫ |
cos(8x)sin(5x)dx ; |
|
|
|
x + 2 −1 |
|
|||||||||||
а) ∫ |
|
|
|
x3 |
dx ; |
в) ∫x2 + 3x + 4dx |
; |
е) |
|
|
|
dx |
; |
ж) ∫ |
x + 2 +1dx . |
||||||||||||||
б) |
∫e |
1−x2 |
xdx |
; |
г) ∫sin(2x −5)dx ; |
|
∫2cos(x) +5sin(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
б) 1 |
dx |
|
|
|
|
9 |
y −1 dy ; |
|
г) |
|
1 |
x |
5 |
2dx . |
||||||
а) |
∫(x +1) ln(x)dx ; |
|
; |
|
в) ∫ |
|
∫ |
|
|
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
∫3 |
x |
4 |
|
|
|
|
4 |
y +1 |
|
|
−1 |
4x +5 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x cos(x) |
|
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
∫ |
x3 −2x2 + 4 |
|
г) |
∫sin 4 (x) cos3 (x)dx ; |
|
sin3 (x) |
|
|
||||||||||||||||||
а) ∫ |
sin3 (x) dx ; |
в) |
x3 (x −2) |
dx ; |
д) |
∫ |
|
dx |
|
|
; |
е) |
∫ cos(x) dx ; |
|
|||||||||||||||
|
|
cos(x)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2x2 +1 |
|
|||||||||||
б) ∫3 |
sin |
2 |
(x) |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + x |
|
|
ж) ∫ |
x |
3 |
− x |
2 |
+ x − |
dx . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость: |
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
dx |
|
|
|
|
|
а) ∫1 x +dxx3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Часть С |
|
б) ∫0 9x2 −1 . |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Найти неопределённые интегралы: |
|
|
4 − x |
||||||
|
3 |
|
|
|
|
3 |
1 +x x dx ; |
|
−3x |
|
|
|
|
а) ∫x |
arctg(2x)dx ; |
|
б) ∫ |
|
в) ∫e |
|
cos(3x)dx |
; |
г) ∫x3 +1dx . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Часть D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Вычислить площади фигур: |
|
|
1 +sin(ϕ). |
|||||
а) |
y = 2x − x2 +3, |
б) |
x = 6(t −sin(t)), |
y = 9 (0 < x <12π, y ≥ 9); |
в) r = |
||||||||
|
y = x2 |
− 4x +3; |
|
y = 6(1−cos(t)), |
|
|
|
|
|
2 |
2. Вычислить длины дуг кривых:
|
|
|
|
|
|
а) |
y =1−ln(cos x), |
t |
(cos(t) +sin(t)), |
в) r = 2(1−cos(ϕ)), |
|
|
≤ x ≤π 6 ; |
б) x = e |
|||
|
0 |
y = et (cos(t) −sin(t)), |
−π ≤ϕ ≤ −π / 2. |
π2 ≤ t ≤ π;
3.Вычислить объемы тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями: x2 +( y −2)2 =1.
Часть E
0,1
Вычислить приближённо ∫sin(100x2 )dx указанным методом , отрезок ин-
0
тегрирования разбить на 10 равных частей, сравнить с результатом непосредственного интегрирования:
а) прямоугольников; |
б) трапеций; |
в) Симпсона. |
68
Вариант 13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2dx |
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 3 +1 |
|||||||||||||||||||||
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) |
|
|
|
cos |
|
|
sin |
|
|
|
|
dx |
; |
|
|
ж) |
|
|
|
|
|
dx . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫4 + x |
2 |
|
|
|
|
|
2 −4x + 29 |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
x + |
3 − |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
б) ∫e |
−2x2 |
xdx ; |
|
|
|
|
г) ∫ |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
dx ; |
|
е) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 5x + 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3cos(x) +8sin(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x9dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
а) |
∫x sin(2x)dx ; |
|
|
б) ∫ |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
в) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
∫ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5 |
x |
2 |
|
|
|
|
(x |
2 |
|
+ |
1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
2x + 3 |
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
3 |
x |
|
|
|
|
4 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
а) ∫ |
|
x |
|
−1 |
dx ; |
|
∫ 3 +12x − 4x2 |
|
|
г) |
∫ |
cos |
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
dx ; |
|
е) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− 4t 2 arcsin3 (2t) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x sin(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) ∫ |
|
x2 − 3x + 2 |
|
|
dx ; |
|
|
|
ж) ∫ |
|
|
sin(x) − cos(x) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) ∫ |
|
|
dx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(x2 + 2x +1) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos2 (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(cos(x) + sin(x))5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Вычислить интегралы |
или установить |
расходимость: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
∫1 |
x2 ln(x)dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
∞∫ |
|
|
dx |
|
|
3 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
(x +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
tg(x)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∫ |
|
2 |
|
|
−1dx ; |
в) |
|
∫e |
z 2 |
sin(2z )dz ; |
|
|
|
|
|
|
5x −8 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ |
|
; |
|
|
|
|
3x |
|
|
+6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
∫x3 +1dx . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 + tg(x) + tg 2 (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Вычислить площади фигур: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
y = x |
|
36 − x2 , y = 0 |
|
б) |
x = 32 cos3 (t), x = 4 (x ≥ 4); |
|
|
|
в) |
r = cos(ϕ), r = sin(ϕ), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(0 ≤ x ≤ 6) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = sin 3 (t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0 ≤ϕ ≤π 2). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Вычислить длины дуг кривых: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) y = ln(x), |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
x = 5(t −sin(t)), |
|
0 ≤ t ≤π ; |
|
|
|
|
|
|
|
в) |
r =3e3ϕ |
4 , |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 ≤ x ≤ 15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 5(1−cos(t)), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π / 2 ≤ϕ ≤π / 2. |
3. Вычислить объемы тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фи-
гуры, ограниченной линиями: |
y =1 − x2 , x = 0, x = y − 2, x =1. |
Часть E |
|
1 |
|
Вычислить приближённо ∫соs( 2x)dx |
указанным методом , отрезок интег- |
0 |
|
рирования разбить на 10 равных частей, сравнить с результатом непосредственного интегрирования:
а) прямоугольников; |
б) трапеций; |
в) Симпсона. |
69