neopred_int(математика)
.pdfВариант 14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫(cos(x) − cos(2x))dx ; |
|
в) ∫ |
|
|
|
x |
2 |
dx |
|
|
|
; |
|
|
|
|
д) |
∫ |
|
|
|
|
3x |
5x |
|
; |
|
|
|
|
|
ж) |
∫ |
dx |
. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
sin |
|
dx |
|
|
|
|
|
x + 4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) ∫e |
sin( x) |
cos(x)dx ; |
|
|
|
x2 + 4x + 20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
г) |
∫ |
|
|
x − 4 |
|
|
dx ; |
|
|
|
|
е) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 − 4sin(x) +3cos(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 5x + 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
0 |
|
dx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
а) |
|
|
ln(x −2)dx ; |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
г) |
|
|
|
|
|
|
(x)dx . |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin5 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
3 |
x |
+1 |
|
|
|
|
∫x |
2 |
+2x + |
5 |
|
|
|
|
∫ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫(x2 |
−1)sin(2x)dx ; |
|
|
|
в) ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
г) |
∫ |
cos3 |
(x)sin 7 (x)dx ; |
|
|
|
|
|
(x + 2)2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ 3 x +1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е) |
|
∫ |
|
|
dx ; |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
x(x −1)2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
б) ∫ |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) |
∫ 2x2 + 2x +9 2 ; |
ж) |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||
cos2 (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫(arcsin(x))4 |
1− x2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
∞ |
dx |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
а) |
∫ |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x +9 − |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
dx ; |
|
|
|
в) |
∫e |
2 x |
cos(2x)dx ; |
|
|
|
г) ∫ |
|
|
|
3x −8 |
|
|||||||||||||||||||||||
а) |
∫ |
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
5 −4x − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
х(3 |
x +1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 + 4x2 + 8x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Вычислить площади фигур: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
а) |
x = arccos(y), |
|
|
|
б) |
x = |
3cos(t), |
y |
= 4 ( y ≥ 4); |
|
|
в) r = |
|
2 cos(ϕ −π |
4 |
), |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x = 0, y = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
= |
8sin(t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r = 2 sin(ϕ − π 4),(π 4 ≤ ϕ ≤ 3π 4). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Вычислить длины дуг |
кривых: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
а) y = −arccos( |
x) + |
|
|
|
x − x |
|
, |
|
|
б) |
|
|
= 3,5(2cos(t) −cos(2t)), |
|
|
|
в) |
r |
= |
4(1 |
− |
sin( |
)), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ x ≤ 1 |
4 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 3,5(2sin(t) −sin(2t)), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ϕ ≤π /6. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤t ≤π |
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Вычислить объемы тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями: y = x2 , y =1, x = 2.
Часть E
0,2
Вычислить приближённо ∫соs(25x2 )dx указанным методом , отрезок ин-
0
тегрирования разбить на 10 равных частей, сравнить с результатом непосредственного интегрирования:
а) прямоугольников; |
б) трапеций; |
в) Симпсона. |
70
Вариант 15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
x2 − 4 + x2 |
|
|
в) ∫ |
|
|
|
1−7x |
|
dx ; |
д) ∫sin(4x) cos(9x)dx ; |
|
|
|
x + 4 |
|||||||||||||||||
а) ∫ |
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж) ∫1 + x + 4 dx . |
|||||||||||||||
|
x2 − 4 |
x2 + 2x + 2 |
е) ∫ |
|
|
dx |
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||||
б) ∫e |
1−4x2 |
xdx ; |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
г) ∫ |
|
|
|
; |
|
1 |
+ 4cos |
2 |
(x) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
(x −1)(x + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
π 6 |
|
|
|
|
e |
−3 |
|
dx |
|
|
|
|
|
π 2 |
dx |
|
|
|
|
|
|
π |
6 |
x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
а) |
∫(x +1) cos(3x)dx ; |
|
б) |
|
∫0 |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
в) ∫ |
|
|
|
; |
|
г) |
∫x |
|
sin |
|
dx . |
|||||||
|
x ln |
3 |
(x) |
|
|
2 + cos(x) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
−π |
|
2 |
|
Часть В
1.Найти неопределённые интегралы:
а) |
∫ |
x ln(x)dx ; |
в) |
∫ |
x2dx |
; |
г) |
б) |
∫arcsin(x)dx ; |
x4 −16 |
|||||
|
|
|
|
д) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫
∫
|
sin3 (x) |
|
|
е) ∫ |
π 2 x |
(2 |
−x − |
3 |
x+1 |
|
; |
|
|
dx ; |
|
|
|
) dx |
|||||
|
cos4 (x) |
ж) ∫(cos(3x) +sin(3x))2 dx . |
|||||||||
|
dx |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
x(x −1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость:
|
|
|
3 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
а) ∫ |
5 |
|
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
∫e− 2−x dx . |
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
+ 4x − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
(sin(x) +sin |
3 |
(x)) |
|
|
|
|
б) |
∫ |
1 |
dx ; |
|
в) |
∫ |
e |
2x |
sin(3 − x)dx ; |
г) |
x |
1 3 |
dx . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
а) |
∫ |
|
cos(2x) |
|
|
dx ; |
|
|
|
∫ x1 2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
х 1 + х3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Вычислить площади фигур: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
а) y = xarctg(x), |
; |
|
|
|
|
|
|
|
б) |
x = 6(t −sin(t)), |
y = 6, |
|
|
в) r = cos(ϕ), r = 2 cos(ϕ). |
|||||||||||||||
|
x = |
3, y = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 6(1−cos(t)), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0 < x <12π, y ≥ 6); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Вычислить длины дуг кривых: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
а) |
y = 2 − ex , |
|
|
|
|
|
|
x = |
6(cos(t) +t sin(t)), |
|
|
|
|
|
|
|
в) |
r =5(1−cos(ϕ)), |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
0 ≤t ≤π; |
|
|
|
−π 3 |
|
|
|
||||||||||
ln |
3 ≤ x ≤ ln 8; |
|
|
|
|
|
|
y =6(sin(t) −t cos(t)), |
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ϕ ≤0. |
|
3. Вычислить объемы тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями: y = x3 , y = x.
Часть E
0,5
Вычислить приближённо ∫соs(4x2 )dx указанным методом , отрезок интег-
0
рирования разбить на 10 равных частей, сравнить с результатом непосредственного интегрирования:
а) прямоугольников; |
б) трапеций; |
в) Симпсона. |
71
Вариант 16 |
Часть А |
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
а)
б)
∫
∫
|
2 3 |
|
2 3 |
|
3 |
dx ; |
|
(arctg(3x))2 |
|
3x − 7 |
е) ∫cos(3x) cos(5x)dx ; |
|||||||
(a |
|
− x |
|
) |
|
в) ∫ |
|
|
|
|
dx ; |
д) ∫ |
|
dx ; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 2x + 5 |
|||||||||||
|
|
|
|
1+9x2 |
|
|||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
; |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
ж) |
x +1 |
dx . |
|
x2 −2x +5 |
|
г) |
|
; |
|
|
|
|
|
∫3 3x + |
1 |
||||||
|
|
∫ x ln3 (x) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость:
1 |
|
|
|
|
|
3 |
dx |
|
π 2 |
1 |
|
а) ∫ |
e |
x |
ex |
−x |
dx ; |
б) ∫ |
; |
в) ∫(x −1)sin(2x)dx ; |
г) ∫5x +31 dx . |
||
0 |
|
+ e |
|
|
−2 |
1+ x |
|
0 |
−1 |
x |
Часть В
1.Найти неопределённые интегралы:
а) ∫x2e3x dx ; |
б) |
|
в) |
|
|
∫
∫
ln(1 + x) |
dx ; |
|
sin 4 (x) |
|
|
|
|
dx |
|
||||
|
|
е) ∫(1+ cos(x))sin(x) |
|
||||||||||
x2 |
г) ∫ |
cos(x) |
dx ; |
; |
|||||||||
11x +16 |
д) ∫sin |
6 |
|
|
ж) ∫1 |
− |
|
x +1dx . |
|
||||
|
dx ; |
|
(3x)dx ; |
|
|
||||||||
(x +1)(x + 2)2 |
|
3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ |
|
x +1 |
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость:
|
|
π 6 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
||||
|
|
а) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
∫x3e−x2 dx . |
|
|
||||||
|
|
|
+tg |
2 |
(x)) cos |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
0 (2 |
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|||||||||||||||||||
а) ∫ |
dx |
|
|
|
|
|
|
б) ∫ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
в) ∫e |
z 2 |
sin(2z) dz |
; |
|
|
|
|
|
dx |
||||||
|
; |
|
|
|
|
|
|
5 −2x − x |
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
г) |
|
∫ x3 3 2 − x3 . |
|||||||||||||||
x4 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Вычислить площади фигур: |
|
|
|
|||||||||||||||||
а) |
r = sin(ϕ), |
|
|
|
|
|
б) x = 8cos3 (t), x = 3 |
3 (x ≥ 3 3); |
|
|
|
в) y = x2 |
8 − x2 , |
|||||||||||||||||||||
|
r = 2sin(ϕ); |
|
|
|
y = 4sin3 (t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 0, (0 ≤ x ≤ 2 2). |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Вычислить длины дуг кривых: |
|
|
|
||||||||||||||||||
а) |
y = arcsin(x) − |
|
1− x |
2 |
, |
|
|
|
x =(t 2 |
|
−2)sin(t) + 2t cos(t), |
|
|
|
r =6(1+sin(ϕ)), |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
=(2 |
−t |
2 |
)cos(t) + 2t sin(t), |
|
|
в) −π |
2 |
≤ϕ ≤0. |
|||||||||||||||||||
|
0 ≤ x ≤15 |
16 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) y |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤t ≤π |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Вычислить объемы тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями: y = sin(πx 2), y = x2 .
Часть E
Вычислить приближённо ∫1 ex2 dx указанным методом, отрезок интегриро-
0
вания разбить на 10 равных частей, сравнить с результатом непосредственного интегрирования:
а) прямоугольников; |
б) трапеций; |
в) Симпсона. |
72
Вариант 17 |
|
|
|
|
|
|
|
Часть А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
а) ∫ |
|
x +23 x2 +1 |
dx ; |
|
в) ∫cos |
2 |
x |
|
|
|
dx |
ж) ∫ |
2 + 5 + x |
2 |
|||||||||||||
|
|
|
4 |
x |
|
|
|
|
dx ; |
д) ∫x2 −4x +3 ; |
|
|
|
5 + x |
2 |
|
dx . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
е) ∫3 + 2dxcos(x) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) ∫cos(3x) cos(7x)dx ; |
|
г) ∫(42x−−x)xdx2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость: |
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 |
|
|
xdx |
|
|
|
1 |
dx |
|
|
|
|
|
|
1 |
dx |
|
|
+∞ |
|
dx |
|
|
|
|||
а) |
|
|
|
; |
б) |
|
|
|
; |
|
в) |
|
; |
г) ∫ |
|
|
|
|
3 . |
||||||||
|
|
|
+1)2 |
∫0 ex + e |
− |
|
|
∫0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
−∫1 |
(x |
2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
3 + 2x − x2 |
|
|
e |
|
x(ln(x)) 2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
е) ∫sin |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
а) ∫(x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
3x −1 |
3 |
|
|
5 |
|
||||||
|
−1)ln(x)dx ; |
|
в) ∫(x −1)2 (x2 + 4)dx ; |
г) ∫x3 −1dx ; |
|
|
(x) cos |
|
(x)dx ; |
||||||||||||||||||
б) ∫(x |
2 |
+3) cos(2x)dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) |
∫sin 4 (5x)dx ; |
ж) ∫ |
1 + |
|
x +1 |
dx . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x +1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость: |
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
а) ∫e− x dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∫3x −51 dx . |
|
|
|||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
x |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
||||||||||||||||
а) ∫ |
x1 2 + x1 3 |
|
|
|
sin 4 (x) |
|
|
|
в) ∫ex 6x dx ; |
|
|
|
|
|
|
1− x4 |
||||||||
|
dx ; |
|
б) ∫ |
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) ∫ |
|
dx . |
||||
1 + x1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
cos2 (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1.Вычислить площади фигур: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
а) x = ey −1, x = 0, |
|
б) x = 6cos(t), y = 2 3 ( y ≥ 2 3); |
|
в) r =1+ |
2 cos(ϕ). |
|||||||||||||||||||
|
y = ln 2; |
|
|
y = 4sin(t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2.Вычислить длины дуг кривых: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
а) |
y =1−ln(sin x), |
|
б) x = 8cos |
3 |
(t), |
0 ≤ t ≤π |
|
; |
|
|
|
|
|
в) |
r =7(1−sin(ϕ)), |
|||||||||
π 3 ≤ x ≤π 2 ; |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
−π 6 |
≤ϕ ≤π 6. |
||||||||||||||
|
|
|
y = 8sin3 (t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3.Вычислить объемы |
тела, образованного вращением |
вокруг оси ОY фигу- |
||||||||||||||||||||||
|
|
ры, ограниченной линиями: y = arccos(x |
3 |
), y = arccos(x), y = 0. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить приближённо ∫ 1+ x5 dx указанным методом , отрезок интегри-
0
рования разбить на 10 равных частей, сравнить с результатом непосредственного интегрирования:
а) прямоугольников; |
б) трапеций; |
в) Симпсона. |
73
Вариант 18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
∫cos(1−3x)dx ; |
в) |
∫sin(2x)sin(7x)dx ; |
д) ∫[cos(2x −π 4)]−2 dx ; |
|
ж) ∫ |
|
|
x2 |
|
−3 |
|
|
dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) |
∫ |
|
dx |
|
; |
|
|
г) |
∫ |
x |
2 |
dx |
; |
|
|
|
|
|
|
е) ∫ |
|
x −1 |
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+3x + |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x3 +8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x ln(3x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
−5x + 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
π 2 |
|
dx |
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
dxln(x) . |
|
|
|
|||||||||||||||||
а) |
∫ |
xdx 2 |
; |
|
|
б) |
−π∫ |
2 |
|
; |
|
в) |
∫1 (1+xx)2 dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
г) ∫1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 + cos( |
x) |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
1+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
; |
|
в) |
∫ |
1 + sin |
2 (x) |
dx ; |
|
г) |
∫(x −1) ln(2x)dx ; |
|
е) ∫ |
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
dx ; |
||||||||||||||||||||||||||||
1 |
−3sin(x) |
|
|
|
cos |
4 |
|
(x) |
|
|
|
(x +1) |
2 |
(x |
2 |
+1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
∫x2 sin(2x)dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − |
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(arcsin(x)) |
4 |
1− x |
|
ж) ∫ |
|
|
|
dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + |
|
|
x −1 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
π 3 |
xdx |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
а) ∫ |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π∫4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2 (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x + x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x sin(x) |
|
|
|
|
|
|
|
x + 23 x |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1+ |
x dx ; |
|
|
|
|
|
|
г) ∫ |
12 +6x + x |
2 |
dx . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
а) |
∫ |
|
dx ; |
|
б) ∫ |
|
|
dx ; |
в) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos2 (x) |
1 + 4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Вычислить площади фигур: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
а) |
y = x 4 − x2 , y = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
x =10(t −sin(t)), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) r = 1 |
2 |
+ cos(ϕ). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(0 ≤ x ≤ 2). |
|
|
|
|
|
|
|
б) |
y =10(1−cos(t)), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y ≥15 (0 < x < 20π); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить длины дуг кривых: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
а) |
y =1−ln(x2 −1), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = et (cos(t) +sin(t)), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r =8(1−cos(ϕ)), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 ≤ x ≤ 4; |
|
|
|
|
|
|
|
б) |
y = et (cos(t) |
−sin(t)), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) −2π |
3 |
≤ϕ ≤0. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ t ≤ 2π; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3.Вычислить объемы |
тела, образованного вращением |
вокруг оси ОY фигу- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ры, ограниченной линиями: |
y = arcsin(x |
5 |
), y = arcsin(x), y = |
π |
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить приближённо ∫ |
5x2 − 3dx указанным методом, отрезок интег- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рирования разбить на 10 равных частей, сравнить с результатом непосредственного интегрирования:
а) прямоугольников; |
б) трапеций; |
в) Симпсона. |
74
Вариант 19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
∫x |
3 |
sin(3x |
4 |
)dx ; |
|
в) |
∫3 |
|
cos |
4 |
(z) sin(z)dz ; |
|
|
д) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
; |
|
|
ж) |
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
2 . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(2x) + 4cos(2x) +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 y dy |
|
|
|
|
|
г) |
∫ |
|
|
|
5 − 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 +3x −2x |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
б) |
∫1+ 4 |
y ; |
|
|
|
|
x |
2 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
е) |
|
∫ |
cos |
|
sin |
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x + 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
π 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||
а) |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
б) |
∫cos3 (x)dx ; |
|
в) ∫ |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
|
|
|
|
dx . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫x |
2 −4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫1 + |
|
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫e |
−3x |
(2 |
−9x)dx ; |
|
в) ∫ |
3x4 − 2 |
dx ; |
|
г) ∫ |
|
|
|
|
|
2x2 +11x |
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е) ∫tg |
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
3 |
− x |
|
|
(x |
+ |
1)(x |
2 |
− x + |
1) |
|
|
5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) ∫arctg(2x) dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) ∫sin |
2 |
(x) cos |
2 |
(x)dx ; |
|
ж) ∫ |
3 |
z + |
6 |
z |
dz . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ |
3 |
z |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) ∫x2 ln(x)dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∫x cos(7x)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
∫ex cos(4x)dx ; |
|
б) |
|
∫ |
x2 |
|
|
|
16 − x2 dx ; |
|
в) ∫ |
|
3 |
|
1 + x2 |
dx ; |
|
|
г) ∫ |
x3 |
|
− 6x2 +10x −10 |
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
(x +1)(x − 2)3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Вычислить площади фигур: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
а) |
y = x arctg(x), x = |
|
3, |
|
|
|
|
б) x = 2 |
2 cos3 (t), x |
=1 (x |
|
≥1); |
|
|
|
|
в) r =1+ |
|
|
2 sin(ϕ). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
|
2 sin3 (t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Вычислить длины дуг кривых: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
y = |
|
x − x2 −arccos( |
|
x) +5, |
|
x |
= 4(t −sin(t)), |
|
|
|
|
|
|
|
в) r =2ϕ,0 ≤ϕ ≤ 3 |
4 |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9 |
|
≤ x ≤1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) y = 4(1 −cos(t)), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
≤ t ≤ 2π |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Вычислить объемы тела, образованного вращением вокруг оси ОY фигуры, ограниченной линиями: y = x2 , x = 2, y = 0.
Часть E
1
Вычислить приближённо ∫sin(х3 )dx указанным методом, отрезок интегри-
−1
рования разбить на 10 равных частей, сравнить с результатом непосредственного интегрирования:
а) прямоугольников; |
б) трапеций; |
в) Симпсона |
75
Вариант 20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Найти определённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫cos( x) dx ; |
|
в) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
; |
|
|
|
г) |
|
∫ctg |
4 |
(z)dz ; |
|
е) ∫cos(2x) cos(8x)dx ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(1+ y |
2 |
|
)arctg( y) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−x2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) ∫ |
|
|
|
|
|
x − 3 |
|
|
dx ; |
|
ж) ∫ |
|
|
|
dx |
2 . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
б) ∫xe |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x −3 − x |
||||||||||||||||||||||||||
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 3x +10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
π 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
а) |
∫ |
|
e |
x |
ex |
|
−x |
|
dx ; |
|
|
|
б) |
∫ |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
в) |
∫(x −1)sin(2x)dx ; |
|
|
|
|
г) ∫5x +31 dx . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
+ e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
1+ x |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫(4 −3x)e |
−3x |
dx ; |
|
в) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dl |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
∫ |
2x3 +1 |
|
|
|
|
|
4x2 |
+ 4x + 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
|
|
3 |
|
|
|
|
dx ; |
|
|
е) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
l |
|
|
|
|
|
l |
|
x |
|
|
|
|
|
(x +1)(x |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x |
|
|
|
|
|
+ x +1) |
|
|
||||||||||||||||||||||||
б) ∫t cos(2t)dt ; |
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 + |
2tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
д) |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
cos |
|
|
|
|
dy ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
ж) ∫ 3 − x + 4 3 − x . |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
π 6 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
а) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∫x3e−x2 dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
(2 +tg |
2 |
(x)) cos |
2 |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
∫ |
e−2t |
sin(5t)dt ; |
|
|
|
б) |
∫ |
|
|
x2 +1 |
dx ; |
|
|
в) ∫ |
3 |
x(1 |
− |
3 |
x |
4 |
|
)dx ; |
|
г) ∫ |
|
x3 +6x2 +13x +9 |
dx . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x +1)(x + 2)3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Вычислить площади фигур: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x = |
2 cos(t), |
|
|
|
|
|
|
x |
= |
|
|
|
|
|
2 cos(t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
= 4 ( y ≥ 4); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) r = |
2 sin(ϕ), |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
y |
= 4 2 sin(t), |
|
|
|
|
|
y |
= 4 |
|
|
2 sin(t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r = |
3 |
sin(ϕ). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
y = 4 ( y ≥ 4); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Вычислить длины дуг кривых |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) y = |
|
|
1− x2 |
−arccos(x) +1, |
|
|
|
|
|
|
|
б) x = 2(2cos(t) −cos 2(t)),0 ≤ t |
≤π 3 ; |
|
в) r =2ϕ, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 ≤ x ≤ 9 |
16 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 2(2sin(t) −sin 2(t)), |
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ϕ ≤ 43. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.Вычислить объемы тела |
, образованного вращением вокруг |
оси ОY фигу- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ры, ограниченной линиями: y = x2 |
+1, y = x, x = 0, x =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Вычислить приближённо ∫2 |
(1 + x2 )4 dx указанным методом , отрезок интег- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рирования разбить на 10 равных частей, сравнить с результатом непосредственного интегрирования:
а) прямоугольников; |
б) трапеций; |
в) Симпсона |
76
Вариант 21 |
Часть А |
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
а) ∫ |
|
ydy |
|
|
|
; |
в) |
|||
cos |
2 |
( y |
2 |
) |
||||||
|
|
|
|
|
||||||
б) ∫ |
x3dx |
; |
|
|
г) |
|||||
9 |
+ x |
8 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫
∫
2x −1 |
|
dx ; |
|
|
|
x |
|
|
|
ж) |
∫ |
dx |
. |
|
|
|
|
д) |
∫ |
cos |
|
cos(x)dx ; |
(25 + x2 )3 |
||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
x2 + x + 6 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
||||||
|
3dx |
; |
е) ∫ |
|
dx |
|
; |
|
|
|
|
|||
4sin(x) + cos(x) +5 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
7 −18x −9x |
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость:
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а) |
∫ |
|
|
xdx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
б) ∫ |
|
|
|
; |
|
|
в) |
∫ |
dx |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) ∫ |
|
dx2 |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
−9 |
|
|
|
|
|
|
|
0 1 |
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x +3 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ |
|
arctg 3 (2t)dt |
; |
|
|
|
|
в) ∫log2 |
(z)dz ; |
д) ∫ |
|
7x2 +10x + 7 |
|
|
|
|
dx ; |
|
ж) ∫ |
sin3 (5x) |
dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1+ |
4t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2x |
3 |
− 7x −12 |
|
|
|
(x + |
2)(x |
2 |
+ x + |
1) |
|
cos |
2 |
(5x) |
||||||||||||||||||||||||||||||
б) ∫e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) ∫ |
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
3x |
(3x |
+ |
4)dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
е) ∫sin |
4 |
( y) cos |
2 |
( y)dy ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
− |
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) ∫1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 e |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg(x)dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) |
|
x |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(x) − cos(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 −6x2 +13x −6 |
|
||||||||||||||
а) |
∫1 + 3x x dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
∫5 sin(x) + cos(x)dx ; |
|
в) ∫ |
(1+ 3 |
x) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
г) |
∫ |
|
|
dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
(x +2)3 (x −2) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Вычислить площади фигур: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
а) r = |
|
3 |
cos(ϕ), r = |
5 |
cos(ϕ); |
|
|
б) x = t −sin(t), |
y ≥1 (0 < x < 2π); |
|
|
|
|
|
в) |
x = ( y − 2)3 , |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y =1−cos(t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 4y −8. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Вычислить длины дуг кривых: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
а) |
y = ln(sin x),π 3 |
≤ x ≤π 2 ; |
|
|
б) x = 8(cos(t) +t sin(t)), |
0 ≤ t ≤π |
4 |
; |
|
|
в) |
r =2ϕ, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 8(sin(t) −t cos(t)), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ϕ ≤ 5 . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
3.Вычислить объемы тела, образованного вращением вокруг оси ОY фигуры, ограниченной линиями: y = x −1, x = 0.5, y = 0, y =1.
Часть E
2
Вычислить приближённо ∫cos(x2 )dx указанным методом, отрезок интегри-
0
рования разбить на 10 равных частей, сравнить с результатом непосредственного интегрирования:
а) прямоугольников; |
б) трапеций; |
в) Симпсона. |
77
Вариант 22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Найти |
неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
∫4 |
сos(2 x) |
sin(2x)dx ; |
|
в) ∫3 |
z |
2 |
dz |
|
; |
|
|
|
|
|
|
д) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2dx |
|
|
|
|
|
; |
|
|
ж) ∫ |
e |
x |
dx |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2sin(x) +3cos(x) + 4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
1−4z |
|
|
|
|
|
|
|
е) |
|
|
sin(x) cos(8x)dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 −8e |
|||||||||||||||||||||||||||||
∫3 ( y +3)3 − y +3 |
|
г) ∫ |
|
|
3x +8 |
|
|
|
dx ; |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4x2 −12x +17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить |
|
интегралы или |
установить расходимость |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а) |
∫ |
|
|
2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
б) ∫ |
|
; |
|
|
|
|
|
|
в) |
∫ctg(x)dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
|
|
∫sin(2x)dx . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
4 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ |
|
|
|
ln(t)dt |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
г) |
∫e |
2x |
(1−6x)dx ; |
|
|
|
|
|
е) |
∫ |
|
|
|
x |
4 |
+ |
2x |
3 |
+ 3x |
|
|
|
|
dx ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
t(ln2 (t) + 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
arctg(2x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −1)(x − 2)(x − 3) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
x |
|
|
|
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
б) |
|
|
|
|
x |
|
|
; |
|
|
|
1+ 4x2 |
|
|
д) |
∫cos |
|
|
|
sin |
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
2 x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
∫arccos 6 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
ж) |
∫ |
8sin |
|
|
4 |
cos |
|
|
4 |
dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 4 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
а) |
|
∫ |
|
cos(4x)dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
∫e−ax dx (a f 0) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти |
неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
a) |
∫e |
3t |
cos(3t)dt ; |
|
|
б) ∫ |
|
8 + 6x − |
9x |
2 |
dx ; |
|
|
в) |
∫x |
5 |
3 |
|
(1 |
+ x |
3 |
) |
2 |
dx |
; |
г) |
∫ |
|
2x3 +6x2 +7x +1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −1)(x +1) |
3 |
|
|
dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Вычислить площади фигур: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
y = cos5 (x)sin(2x), y = 0 |
|
|
x = 8cos3 (t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
r = 4 cos(4ϕ). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(0 ≤ x ≤π |
2 |
); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
y = 8sin3 (t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x =1 (x ≥1); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Вычислить длины дуг кривых: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y = ln 7 −ln(x), |
|
|
|
|
|
|
|
|
x = (t 2 −2)sin(t) +2t cos(t), |
|
|
|
|
в) |
r |
= ϕ |
|
|
≤ϕ ≤12 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
3 ≤ x ≤ |
|
8; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) y = (2 −t 2 )cos(t) +2t sin(t), |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ t ≤ 2π; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3.Вычислить объемы |
тела, образованного вращением |
вокруг оси ОY фигу- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ры, ограниченной линиями: |
|
y = ln(x), x = 2, y = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x +1 dx указанным методом, отрезок интегри- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вычислить приближённо ∫ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рования разбить на 10 равных частей, сравнить с результатом непосредственного интегрирования:
а) прямоугольников; |
б) трапеций; |
в) Симпсона. |
78
Вариант 23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫x |
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
в) |
∫cos(2 y)sin(3y)dy ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
sin(2x |
|
|
)dx |
; |
|
|
д) ∫cos2 (x) |
4 + tg 2 (x) ; |
|
е) |
∫ |
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin(x) + 2cos(x) +1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
б) ∫ |
2 |
dx ; |
|
|
|
|
г) ∫ |
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж) ∫ |
|
|
dx |
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 + 3x + 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 + 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+6x +10 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
2 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
zdz4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
2 |
xdx . |
|
|
|
||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
б) |
∫ |
|
|
|
; |
|
|
в) ∫3 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
4 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
z − 9 |
|
|
0 |
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x − |
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
∫ |
|
|
|
2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3x |
3 |
|
3x |
|
|
|
|
|
3x3 |
+ x2 −15x −9 |
|
|
||||||||||||||||||||
e |
|
|
(3 |
−t)dt ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
∫ |
sin |
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
dx ; |
|
е) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
∫ |
|
|
x2 +3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
−9x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
б) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
arctg |
|
|
|
|
dx |
|
(x −1)(x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
+ 4) |
|
д) |
|
∫ |
sin |
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж) |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ x +1 −1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить интегралы или установить расходимость: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) ∫ |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
∫x sin(3x)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ 4x +9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
9 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∫ |
dx |
|
|
|
|
|
в) |
|
∫ |
e2 y cos( y)dy ; |
|
г) ∫ |
|
x3 + 2x2 −3x + 4 |
dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
4 1+ x4 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −1)2 (x +1)2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Вычислить площади фигур: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 9cos(t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
r |
= |
|
|
ϕ |
|
|
|
||||||||||||
а) |
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(6 |
). |
|
|
|
|||||||||||||||||
(x |
2 |
|
+1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 4sin(t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
y = 0, x =1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 2 ( y ≥ 2); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить длины дуг кривых: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
y = ch(x) +3,0 ≤ x ≤1; |
|
|
|
|
б) x = 8cos3 (t),π |
6 |
≤ t ≤π |
4 |
; |
|
|
|
|
в) |
r =4ϕ,0 ≤ϕ ≤ 34. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 8sin3 (t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Вычислить объемы тела, образованного вращением вокруг оси ОY фигуры, ограниченной линиями: y = (x −1)2 , y =1.
Часть E
1
Вычислить приближённо ∫sin(3х2 )dx указанным методом, отрезок интег-
−1
рирования разбить на 10 равных частей, сравнить с результатом непосредственного интегрирования:
а) прямоугольников; |
б) трапеций; |
в) Симпсона. |
79