neopred_int(математика)
.pdfцией y = f (x) , осью ОY, и прямыми х=а и у=b.
Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то опреде-
b
лённый интеграл ∫ f (x)dx существует.
a
Отметим, что если оставить постоянным нижний предел интегрирования а, а верхний х изменить так, что бы x [a;b], то величина интеграла
x
будет изменяться. Интеграл: ∫ f (t)dt = Φ(x), x [a;b], называется определён-
a
ным интегралом с переменным верхним пределом и является функцией верхнего предела х.
Теорема (Связь между неопределённым интегралом и опреде-
лённым интегралами). Всякая непрерывная на отрезке [a, b] функция
x
f (x) имеет первообразную, равную интегралу ∫ f (t)dt , и тогда согласно оп-
a
ределению неопределённого интеграла имеет место равенство
∫ f (x)dx = ∫x |
f (t)dt +C . |
|
a |
|
|
Теорема (Ньютона – Лейбница). Если функция F(x) – какаялибо |
||
первообразная от непрерывной функции f(x), то ∫b |
f (x)dx = F(b) − F(a) – это |
|
|
a |
|
выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница4.
4 Лейбниц Готфрид Вильгельм (1.7.1646 – 14. 11.1716) – немецкий философидеалист, математик, физик и изобретатель, юрист, историк, языковед. Ввел впервые обозначение интеграла.
Ньютон Исаак (4.1.1643 – 31.3.1727) – английский физик и математик, создавший теоретические основы механики и астрономии. Ньютон вычислял интеграл любой степенной функции. Математика для него была главным орудием в физических изысканиях.
30
Основные свойства определенного интеграла:
1.∫b Af (x)dx = A∫b f (x)dx .
a a
2. |
∫b ( f1 (x) ± f2 (x))dx = ∫b |
f1 (x)dx ± ∫b |
f2 (x)dx . |
|
|
|
a |
a |
a |
|
|
3. |
∫a |
f (x)dx = 0 . |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
4. |
Если f(x) ≤ ϕ(x) на отрезке [a, b] a < b, то∫b |
f (x)dx ≤ ∫b ϕ(x)dx . |
|||
|
|
|
|
a |
a |
5.Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения
функции f(x) на отрезке [a, b], то: m(b − a) ≤ ∫b |
f (x)dx ≤ M (b − a) . |
a |
|
6.Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то
на этом отрезке существует точка ε такая, что ∫b |
f (x)dx = (b − a) f (ε) . |
|||||
|
|
|
|
a |
|
|
7. Для |
произвольных чисел a, b, c справедливо |
равенство: |
||||
∫b |
f (x)dx = ∫c |
f (x)dx + ∫b |
f (x)dx , где равенство выполняется, |
если сущест- |
||
a |
|
a |
c |
|
|
|
вует каждый из входящих в него интегралов.
8.∫b f (x)dx = −∫a f (x)dx .
a b
|
a |
0, еслиf (x) − нечётнаяфункция, |
|
|
|
|
|
9. |
∫ |
|
|
f (x)dx = |
a |
||
|
−a |
2 |
∫ f (x)dx, еслиf (x) −чётнаяфункция. |
|
|
|
0 |
Методы интегрирования определенного интеграла: 1. Непосредственное интегрирование.
π |
|
Пример: ∫sin(3x)dx = − cos(3x) |
|
0 |
3 |
π
0
= − |
cos(3π) |
|
− |
cos 0 |
|
= |
1 |
+ |
1 |
= |
2 |
. |
3 |
− |
3 |
|
3 |
3 |
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
31
2.Замена переменных.
Пусть задан интеграл ∫b f (x)dx , где f(x) – непрерывная функция на отрезке
a
[a, b]. Введем новую переменную в соответствии с формулой x = ϕ(t).
1)ϕ(α) = а, ϕ(β) = b;
2)ϕ(t) и ϕ′(t) непрерывны на отрезке [α, β];
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
β |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) f(ϕ(t)) определена на отрезке [α, β], то ∫ f (x)dx = ∫ f [ϕ(t)]ϕ (t)dt . |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
α |
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
Тогда ∫ |
f [ϕ(t)]ϕ |
′ |
= F[ϕ(t)] |
|
|
= F[ϕ(β)] − F[ϕ(α)] = F(b) − F(a) |
|
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
(t)dt |
|
α |
|
|||||||||||||||
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
x = sin(t) |
|
|
|
π / 2 |
|
|
π / 2 |
|
1 |
π / 2 |
||||
∫ 1− x2 dx = x = 0 t = 0 |
= ∫ |
|
|
|
1−sin 2 (t) cos(t)dt = ∫cos2 (t)dt = |
∫(1+ cos(2t))dt = |
||||||||||||
0 |
|
|
|
x =1 t = |
π |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
2 |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
1 |
|
π / 2 |
π |
+ |
1 |
sin |
π |
= |
π |
. |
|
|
|
||
2 |
t + |
2 |
sin(2t) |
= |
4 |
4 |
4 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Интегрирование по частям .
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
b |
|
|
|
Формула имеет вид: ∫u(x)d[v(x)]= u(x)v(x) |
|
|
ba |
− ∫v(x)d[u(x)]. |
||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
Пример: |
2π |
|
|
u = x |
du = dx |
|
|
|
2π |
2π |
||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∫x cos(x)dx = |
dv = cos(x)dx |
v = sin(x) |
= x sin(x) |
|
0 |
− ∫sin(x) dx = |
||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x sin(x) |
|
2π |
+ cos(x) |
|
2π =[2π sin(2π )−0 sin(0)]+ [2π cos(2π)−0 cos(0)]=0. |
|||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2. Приближенное вычисление определенного интеграла
Потребность в приближенном вычислении интеграла возникает тогда, когда не существует или неизвестен метод отыскания точного значения интеграла, и тогда, когда этот метод известен, но неудобен.
32
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула прямоугольников |
|||||||||||||
|
|
Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x). |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей, |
||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
длины которых равны |
x = |
b − a |
= xi − xi−1 , где |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1, x2, … xn – точки разбиения. Тогда можно |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
записать, что xi = x0 + h i |
(i = |
|
) . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
x |
=b |
|
x |
1, n |
|||||||||
0 |
|
a=x0 |
|
|
|
|
x |
i |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
При таком разбиении имеем прямоугольники, площадь которых равна |
|||||||||||||||||||||||||||||
x yi , где |
yi |
|
= f (ξi ) , а ξi |
= |
|
xi−1 + xi |
– некоторая точка на отрезке, которая в |
2
частности выбирается середина отрезка [xi−1; xi ].
Тогда сумма площадей всех прямоугольников дает площадь ступенчатой фигуры, представляющую собой приближенное значение определен-
ного интеграла и называемое общей формулой прямоугольников:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫b |
f (x)dx ≈ |
b − a |
( y1 + y2 |
+... + yn ) . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула трапеций |
|
|
|||||||||
|
|
Эта |
формула |
является более точной |
по сравнению с формулой |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямоугольников. |
|
|
||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подынтегральная |
функция |
в этом |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
случае заменяется на вписанную лома- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ную. Геометрически площадь криволи- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yn |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
y1 |
|
y2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
нейной трапеции заменяется |
суммой |
||||||||
|
|
|
a |
|
|
x1 |
|
x2 |
|
|
b |
|
|
|
площадей вписанных трапеций. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Замечание: чем больше взять точек n разбиения интервала, тем с |
||||||||||||||||||||||||||||
большей точностью будет вычислен интеграл. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Площади вписанных трапеций вычисляются по формулам: |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 + y1 |
x; |
y1 + y2 |
|
x; ... |
, |
yn−1 + yn |
|
x ; |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
33
∫b |
f (x)dx ≈ |
y0 + y1 |
x + |
y1 + y2 |
x +... + |
yn−1 + yn |
x . |
|
|
|
|||||
a |
|
2 |
2 |
2 |
|
После приведения подобных слагаемых получаем формулу трапеций:
b |
b − a y |
|
+ y |
|
|
|
|
|||
∫ f (x)dx ≈ |
0 |
n |
+ y1 + y2 |
+... + yn−1 |
||||||
|
|
|
|
|
||||||
n |
|
|
2 |
|
||||||
a |
|
|
|
|
|
|
Формула парабол (формула Симпсона или квадратурная формула)
y |
|
Данный метод основан на разбиении дуги |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
линии f(x), соответствующую [a, b], дуга- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ми парабол, что позволяет получить более |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точную формулу приближенного вычис- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ления. Для этого разделим отрезок интег- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x0 |
|
|
||||||||||||||||
x1 |
x3 |
x4 |
x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
рирования [a, b] на четное число отрезков |
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2m). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x) заменим на площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой второй степени с осью симметрии, параллельной оси OY и проходящей через точки кривой, со значениями f(x0), f(x1), f(x2).
|
|
Для каждой пары отрезков построим такую параболу. |
|||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения этих парабол имеют вид |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax2 + Bx + C, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где коэффициенты А, В, С могут быть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
легко найдены по трем точкам пересе- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чения параболы с исходной кривой. |
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|||||
0 |
x0 |
|
|||||||||
|
|
x2 |
x |
||||||||
|
|
Для определения А, В, С имеется система уравнений:
y0 |
= Ax02 + Bx0 +C |
|
|
|
y1 |
= Ax12 + Bx1 +C |
(1) |
|
y2 |
= Ax22 + Bx2 +C |
|
34
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
x |
2 |
|
|
|
x2 |
Если |
|
обозначим 2h = x2 − x0 и |
|||||||
S = ∫(Ax2 + Bx +C)dx = A |
|
+ B |
|
|
+Cx |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
примем х0 = -h, x1 |
= 0, x2 = h, то S = |
h |
(2Ah2 |
|
+ 6C) (2) |
||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 = Ah2 |
− Bh +C |
||||||
Выразается S через величины (1): |
|
|
|
y1 |
= C |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
= Ah |
2 |
+ Bh +C |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
C учетом этого: y0 + 4y1 + y2 = 2Ah2 |
+ 6C . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Отсюда выражение (2) примет вид: |
|
S = |
h |
( y0 + 4y1 + y2 ) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||
Тогда для каждой пары отрезков имеется: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x |
|
|
h |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫2 |
f (x)dx ≈ |
(y0 |
+4y1 + y2 ), ∫2 |
f (x)dx ≈ |
(y2 +4y3 + y4 ), . . . |
||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
x0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Суммируя эти выражения, получаем формулу называемую формулой |
|||||||||||||||||||||||||||
Симпсона: ∫b |
f (x)dx = |
b − a |
[y0 |
+ y2m + 2( y2 |
+ y4 |
+... + y2m−2 ) + 4( y1 + y3 +... + y2m−1 )] |
|||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
6m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример:
Вычислим приближенное значение определенного интеграла
∫8 x3 +16dx с помощью формулы Симпсона и формулы трапеций, разбив
−2
отрезок интегрирования на 10 частей. По формуле Симпсона получим:
8 |
|
|
|
8 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
x3 +16dx ≈ |
[ y(−2) + y(8) + 2[ y(0) + y(2) + y(4) + y(6)] + 4[ y(−1) + y(1) + y(3) + y(5) + |
|||||||||||||
−2 |
|
|
|
6 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ y(7)]]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
0 |
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
x |
-2 |
|
-1 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
f(x) |
2.828 |
|
3.873 |
|
4 |
4.123 |
4.899 |
6.557 |
8.944 |
11.874 |
15.232 |
18.947 |
22.978 |
|
|
∫8 |
x3 +16dx ≈ |
8 + 2 [2.828 + 22.978 + 2[4 + 4.899 +8.944 +15.232] + 4[3.873 + 4.123 + 6.557 + |
|
||||||||||||
−2 |
|
|
|
6 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+11.874 +18.947]] = 91.151 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Точное значение этого интеграла: 91.173.
Для сравнения применим к этой же задаче формулу трапеций.
35
8 |
b − a y |
|
+ y |
|
|
|
|
8 + |
2 |
2.828 + 22.978 |
|
|
|
||
∫ x3 +16dx ≈ |
0 |
n + y1 + y2 |
+... + yn−1 |
= |
+3.873 |
+ 4 |
+ 4.123 + |
||||||||
n |
|
2 |
|
10 |
|
2 |
|||||||||
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 4.899 + 6.557 +8.944 +11.874 +15.232 +18.947) = 91.352
2.3.Несобственные интегралы
1.Несобственные интегралы первого рода
Если функция y = f (x) определена и непрерывна на любом отрезке
[a,b], то несобственным интегралом с бесконечным пределом или несобственным интегралом первого рода называется интеграл:
b
lim ∫
b→+∞ a
c
lim ∫
a→−∞ a
f (x)dx = +∞∫ f (x)dx или alim→−∞ ∫b |
f (x)dx = ∫b |
f (x)dx , или |
|
a |
a |
−∞ |
|
f (x)dx +blim→+∞ ∫b |
f (x)dx = +∞∫ f (x)dx , с – произвольное число. |
||
c |
−∞ |
|
|
Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся.
Теоремы о сходимости и расходимости:
1. Если на промежутке [a;+ ∞) непрерывные функции f (x) и ϕ(x) удовле-
+∞
творяют условию: 0 ≤ f (x) ≤ϕ(x) , то из сходимости интеграла ∫ϕ(x)dx сле-
a
дует сходимости интеграла +∞∫ f (x)dx , а из расходимости интеграла +∞∫ f (x)dx
|
|
a |
|
|
|
a |
|
следует расходимость интеграла |
+∞ |
(«признак сравнения»). |
|||||
∫ϕ(x)dx |
|||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
2. Если |
при x [a;+ ∞), f (x) > 0, ϕ(x) > 0 |
и существует конечные предел |
|||||
|
f (x) |
|
+∞ |
|
+∞ |
||
lim |
= k ≠ 0 , то интегралы |
|
f (x)dx и |
|
ϕ(x)dx сходятся или расходятся |
||
ϕ(x) |
a |
a |
|||||
x→+∞ |
|
|
|
||||
|
|
∫ |
|
∫ |
|
||
одновременно («предельный признак сравнения»). |
3. Если сходится интеграл +∞∫ |
|
f (x) |
|
dx , то сходится и интеграл |
+∞∫ f (x)dx , кото- |
|
|
||||
|
|
||||
a |
a |
36
рый в этом случае называется абсолютно сходящимся.
Примеры:
1. |
∞ |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b = lim(sin b −sin 0) = limsin b - не существует |
||||
∫ |
cos xdx = lim |
∫ |
cos xdx = limsin x |
|
|||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
b→∞ |
|
|
|
b→∞ |
|
|
|
b→∞ |
|
|
b→∞ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
несобственный интеграл расходится. |
|
||||||||||||||||||||
2. |
−1 dx |
−1 dx |
|
|
|
1 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
1 |
- интеграл сходится. |
||||||||
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
= lim |
|
− |
|
|
|
|
= lim 1+ |
|
=1 |
|||||
−∞ x |
|
|
x |
|
|
|
x |
|
b |
|
|||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
||||||||||
|
|
∫ |
2 |
b→−∞ ∫ |
|
2 |
b→−∞ |
|
|
|
|
|
b→−∞ |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Несобственные интегралы второго рода (интеграл от разрывной функции)
Если функция y = f (x) непрерывна на промежутке [a;b) и имеет раз-
рыв II-го рода при x =b , то несобственным интегралом неограниченной функции или несобственным интегралом второго родва называется ин-
теграл: ∫b |
f (x)dx = limε→0 b∫−ε f (x)dx или ∫b |
f (x)dx = limε→0 |
∫b |
f (x)dx , если функция терпит |
|
a |
a |
a |
|
a+ε |
|
бесконечный разрыв в точке x = a . |
|
|
|||
Если функция |
f (x) терпит разрыв II-го рода во внутренней точке |
c [a;b] , то несобственным интегралом второго рода называют инте-
грал: ∫b |
f (x)dx = ∫c |
f (x)dx + ∫b |
f (x)dx . |
a |
a |
c |
|
Замечание: внутренних точек разрыва II-го рода внутри отрезка может быть несколько.
Теоремы о сходимости и расходимости:
1. Если на промежутке [a;b) функции f (x) и ϕ(x) непрерывны, при x =b
терпит разрыв II-го рода и удовлетворяют условию: 0 ≤ f (x) ≤ϕ(x) , то из
сходимости интеграла ∫b ϕ(x)dx следует сходимости интеграла ∫b |
f (x)dx , а из |
||
a |
|
a |
|
расходимости интеграла ∫b |
f (x)dx |
следует расходимость интеграла ∫b ϕ(x)dx |
|
a |
|
|
a |
(«признак сравнения»).
37
2. Пусть функции |
f (x) и ϕ(x) непрерывны на промежутке [a;b) |
и в точке |
|||||||||||
x =b |
терпит |
разрыв II-го |
рода. |
Если |
существует |
предел |
|||||||
|
f (x) |
|
|
|
b |
|
|
|
b |
|
|
||
lim |
= k, 0 < k < ∞, то интегралы |
|
f (x)dx |
и ϕ(x)dx сходятся или расхо- |
|||||||||
ϕ(x) |
a |
||||||||||||
x→+∞ |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
∫ |
|
|
||
дятся одновременно («предельный признак сравнения»). |
|
||||||||||||
3. Если функция |
f (x) , знакопеременная на отрезке [a;b], имеет разрыв в |
||||||||||||
точке x =b , и несобственный интеграл ∫b |
|
|
f (x) |
|
dx |
сходится, то сходится и |
|||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
||
интеграл ∫b |
f (x)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. Задания для самопроверки №2
Вычислить:
1. |
9 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 6-2ln4 |
||||||||
∫ |
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
0 |
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
3 |
|
cos(x) |
|
|
|
|
Ответ: |
4 |
|
|
|
|
|||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||||
sin |
3 |
(x) |
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
0,1 |
|
− |
x2 |
|
|
|
|
Ответ: 0 |
|
|
|
|
|||||||||
∫xe |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
−0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
π |
|
|
|
|
|
x |
|
|
Ответ: |
|
9 |
3 |
|
|
|||||||
∫sin |
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
− |
|
4 |
+ 4 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
π |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
5. |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
|||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
−ln 2 |
||||||
cos |
2 |
(x) |
|
4 |
||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
∞ |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
при α >1, |
||
6. |
∫1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|||||||||
x |
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
приβ <1. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
||
7. |
∞ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
Ответ: π |
|
|
|
|
||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Исследовать на сходимость несобственные интегралы:
38
a) |
1 |
|
|
|
dx |
|
|
Ответ: сходится |
∫ |
|
|
|
4 |
|
|||
|
0 |
|
1 − x |
|
|
|
||
|
3 |
|
|
|
dx |
Ответ: расходится |
||
b) ∫1 |
|
|
|
|||||
x2 |
− 7x +12 |
|
||||||
c) |
∞ arctg(2x) |
Ответ: сходится |
||||||
∫0 π(1 + 4x2 )dx |
||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||
d) ∫0 |
ex3 |
dx |
|
|
Ответ: расходится |
2.5. Геометрические приложения определенного интеграла
1. Вычисление объём тела по известным площадям параллельных сечений
|
|
|
|
|
|
|
Пусть тело, заключеное между двумя |
|
|
|
|
|
|
|
плоскостями x=a и x=b, имеет площадь |
|
|
|
|
|
|
|
сечения S(x) при x [a;b], проведенно- |
|
|
|
|
S(x) |
|
го перпендикулярно к оси Ох, и кото- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рое является известной и непрерывной |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
изменяющейся при изменении х. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b
Тогда объем этого тела вычисляется по формуле V = ∫S(x)dx .
a
2. Объёмы тел вращения
Пусть кривая, задана уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения.
y=f(x) |
b |
|
V = π ∫ f 2 (x)dx , где V – объем тела, полученного вра- |
||
|
||
|
a |
xщением криволинейной трапеции 0 ≤ y ≤ f(x), a ≤ x ≤ b вокруг оси Ох.
39