neopred_int(математика)
.pdf∫e2 x cos(x)dx = e2 x sin(x) − 2(−e2 x cos(x) + 2∫e2 x cos(x)dx)=
= e2 x sin(x) + 2ex cos(x) − 4∫e2 x cos(x)dx .
Обозначается, ∫e2 x cos(x)dx = I . Тогда I = e2 x sin(x) + 2e2x cos(x) − 4I .
Следовательно, ∫e2 x cos(x)dx = |
e2 x |
(sin(x) + 2cos(x)) +C. |
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5 |
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h) ∫sin(ln( x))dx |
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Интегрируется по частям: пусть u = sin(ln(x)), dv = dx; тогда
du = cos(ln(x)) 1x dx, v = x . Следовательно,
∫sin(ln(x))dx = x sin(ln(x)) − ∫cos(ln(x)) 1x xdx = x sin(ln(x)) − ∫cos(ln(x))dx .
Еще раз интегрируется по частям: пусть u = cos(ln(x)), dv = dx; тогда
du = −sin(ln(x)) |
1 |
dx, v = x . Получается, |
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x |
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∫sin(ln(x))dx = |
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+ ∫sin(ln(x)) |
1 |
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x sin(ln(x)) − x cos(ln(x)) |
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xdx |
= |
|||||
x |
||||||||
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= x sin(ln(x)) − x cos(ln(x)) − ∫sin(ln(x))dx. |
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|||||
Обозначают, |
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∫sin(ln(x))dx = I . Тогда I = x sin(ln(x)) − x cos(ln(x)) − I. |
Следовательно, I = 2x (sin(ln(x)) −cos(ln(x)))+C.
k) ∫ln(x + x 2 +1)dx
Интегрируется по частям: пусть u = ln(x + x2 +1), dv = dx;
тогда du = |
dx |
, v = x . |
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x2 +1 |
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Следовательно, |
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∫ln(x + x 2 |
+1)dx = x ln(x + x 2 +1)− ∫ |
xdx = |
x2 +1 = t; x2 +1 = t; = |
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x 2 +1 |
2xdx = 2tdt; xdx = tdt. |
= x ln(x + |
x2 +1)−∫dt = x ln(x + x2 +1)−t +C = |
= x ln(x + |
x2 +1)− x2 +1 +C. |
10
Приведем в таблице 2 некоторые распространённые случаи использования метода интегрирования по частям.
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Таблица 2. |
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вид интеграла |
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метод интегрирования |
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∫Pn (x) ekx dx , |
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За u принимается многочлен |
Pn (x), а за dv все |
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∫Pn (x) sin(kx)dx , |
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остальные подынтегральные выражения. |
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∫Pn (x) cos(kx)dx . |
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∫Pn (x) ln(x)dx , |
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За dv принимается Pn (x)dx , а за u все остальные |
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∫Pn (x) arcsin(x)dx , |
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подынтегральные выражения. |
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∫Pn (x) arccos(x)dx , |
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∫Pn (x) arctg(x)dx , |
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∫Pn (x) arcctg(x)dx . |
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∫emx sin(kx)dx , |
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данные бесконечные интегралы, решаются как |
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∫emx cos(kx)dx , |
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уравнения, после двукратного интегрирования |
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по частям. |
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∫sin(ln x)dx , |
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∫cos(ln x)dx . |
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∫ a2 − x2 dx , |
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За dv принимается dх, а за u остальные подын- |
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∫ a2 + x2 dx , a > 0. |
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тегральные выражения. |
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1.3. Интегрирование рациональных дробей |
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Дробно-рациональной |
функцией |
называется |
функция вида: |
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f (x) = |
Qm (x) |
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, где Qm (x) - многочлен степени m, Pn (x) - многочлен степени n. |
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P (x) |
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n |
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Замечание: Если m < n, то рациональную дробь называется правиль- |
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ной. Если m ≥ n, то рациональную дробь называется неправильной. |
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Примеры: |
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a) ∫ |
7dx |
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3x + 4 = t; |
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7 |
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−2 |
7 |
|
t −1 |
7 |
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7 |
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= |
dx = |
dt |
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= |
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∫t |
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dt = |
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+ C = − |
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+ C = − |
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+ C ; |
||||||
(3x + 4)2 |
3 |
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3 |
(−1) |
3t |
3(3x + 4) |
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3 |
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11
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13 |
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13 |
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x −3 = t; |
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13 |
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dt |
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b) ∫ 7 − x2 + 6x dx = |
∫ 16 − (x −3)2 dx = |
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dx = dt |
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= ∫ 16 −t 2 dt =13∫ |
16 −t 2 |
= |
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t |
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x −3 |
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=13arcsin |
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+C =13arcsin |
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+C . |
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4 |
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4 |
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7x − 2 |
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84x − 24 |
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84x − 24 |
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6x −5 = t; x = |
t +5 |
; |
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c) ∫ |
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dx |
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= ∫ |
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dx = |
∫ |
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dx = |
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6 |
= |
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|
3x |
2 |
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−5x + |
4 |
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36x |
2 |
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−60x + |
48 |
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(6x − |
5) |
2 |
+ 23 |
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dx = |
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dt |
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6 |
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||||||||||
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||||
|
= |
|
1 |
|
∫ |
14t + 70 − 24 |
dt |
|
= |
|
7 |
∫ |
|
2 |
tdt |
|
+ |
23 |
|
∫ |
|
|
2 |
|
dt |
|
|
= |
7 |
ln(t |
2 |
+ 23) |
+ |
23 |
|
|
|
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|
|
|
|
t |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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6 |
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t + 23 |
|
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|
3 |
|
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|
t + 23 |
|
3 t |
|
|
|
+ |
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23 |
6 |
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|
arctg |
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+C = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3 23 |
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23 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
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7 |
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ln 36x |
2 |
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−60x + 48 + |
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23 |
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6x −5 |
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arctg |
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+C; |
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6 |
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3 |
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23 |
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d) |
|
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8x +5 |
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dx = |
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|
|
|
|
|
|
4(2x − 2) +13 |
dx = |
4 |
|
|
|
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|
2x − 2 |
|
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|
|
dx +13 |
|
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|
|
|
dx |
|
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= |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫(x2 |
|
− 2x +17)2 |
|
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∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
∫(x2 |
|
− 2x +17)2 |
∫((x −1)2 +16)2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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(x2 − 2x +17)2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
t = x2 − 2x +17, |
y = x −1 |
|
= 4∫ |
dt |
+13∫ |
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+13∫ |
|
|
|
dy |
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dt = (2x − 2)dx, |
|
|
dy = dx |
|
|
t2 |
|
|
( y2 +16)2 |
|
x2 − 2x +17 |
|
|
( y2 +16)2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= − |
|
|
|
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4 |
|
|
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+ |
13 |
|
|
|
|
|
x −1 |
|
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|
|
|
|
|
|
+ |
|
1 |
arctg |
x −1 |
|
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+ C . |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
2 − 2x +17 |
32 |
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|
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|
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|
|
+17 |
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4 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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x2 − 2x |
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4 |
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Интеграл ∫ |
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dy |
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вычисляется с помощью: |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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(y |
2 |
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|
2 |
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|
+16) |
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|
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|||||||||||||||
|
|
• рекуррентной формулы: Она выведена в курсе математического ана- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
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|
лиза: ∫ |
|
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dt |
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= |
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|
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t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2n − 3 |
|
∫ |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t |
2 |
|
+ s) |
n |
|
|
|
|
s(2n − 2)(t |
|
2 |
|
|
+ s) |
n−1 |
|
s(2n − 2) |
|
|
(t |
2 |
+ s) |
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
Следовательно, |
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|
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|
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|
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|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
+C. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(y |
2 |
+16) |
2 |
2 |
1 16 |
|
(y |
2 |
+ |
|
|
16 |
2 |
|
|
y |
2 |
+ |
2 |
32(y |
2 |
|
|
|
|
32 |
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+16) |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
• |
|
|
|
|
|
интегрирования по частям: |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
16 + y2 − y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∫ |
|
|
= |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
∫ |
|
− |
|
|
∫(y2 +16)dy = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(y2 +16)2 |
16 |
|
|
|
|
(y2 +16)2 |
|
|
16 |
|
y2 +16 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y ydy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = y; du = dy; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
arctg |
− |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ydy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(y2 +16)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2(y2 +16). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
16 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
(y2 +16) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv |
|
|
= |
|
;v = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12
|
1 |
y |
|
1 |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
arctg |
− |
|
|
− |
2 |
+16) |
+ |
|
|
|
2 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
64 |
4 |
|
|
16 |
|
|
2(y |
|
|
|
2 |
|
y |
|
+16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
1 |
y |
|
|
y |
|
|
|
||||||
= |
|
arctg |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
+C = |
|
|
arctg |
|
|
+ |
|
|
|
+C. |
||||||
64 |
|
|
32(y2 +16) |
2 |
64 |
|
128 |
|
32(y2 |
+16) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
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В таблице 3 приведены общие виды правильных рациональных дробей и способы их интегрирования с помощью замены переменной.
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Таблица 3. |
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№ |
подынтегральное |
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преобразования |
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замена |
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dx |
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выражение |
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I. |
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1 |
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ax + b = t |
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dx = |
dt |
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||||||||||
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|
ax +b |
|
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|
a |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||
II. |
|
|
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1 |
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
ax +b = t |
|
|
|
dx = |
dt |
|
|
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|
(ax +b)m |
|
|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
a |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
dx = dt |
|
|
||||||
III. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 |
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
x + |
= t |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x + px + q |
|
|
|
x + |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
+ q |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
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|
Mx + N |
|
|
|
|
|
|
|
|
Mx + N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
dx = dt |
и расклады- |
||||||||||||||||
IV. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 |
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
x + |
= t, |
|
вается на сумму |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x + px + q |
|
|
|
x + |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
+ q |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
двух интегралов |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 |
|
|
|
|
|
p2 n |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
dx = dt |
|
|
|||||||||||||||
V. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
|
|
|
= t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
(x |
2 |
+ px + q) |
n |
|
x + |
2 |
|
+ |
q − |
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и применяется |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
рекуррентная формула |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
dt |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
2n − 3 |
|
∫ |
|
|
dt |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t |
2 |
+ s) |
n |
|
s(2n − 2)(t |
2 |
+ s) |
n−1 |
s(2n − 2) |
(t |
2 |
+ s) |
n−1 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m, n – натуральные числа (m ≥ 2, n ≥ 2) и D <0.
Подынтегральные выражения не вошедшие в таблицу 3 интегрируются с помощью метода неопределенных коэффициентов.
13
Теорема (метод неопределенных коэффициентов). Если f (x) = Q(x)
P(x)
- правильная рациональная дробь, где знаменатель имеет вид:
P(x) = (x - a)α…(x - b)β(x2 + px + q)λ…(x2 + rx + s)μ ) (причем множите-
ли типа x2+px+q неразложимы на действительные множители первой степени), то эта дробь может быть разложена на сумму простейших дробей:
Q(x) |
= |
|
A |
+ |
|
A |
|
|
+... + |
A |
|
+... + |
|
B |
+ |
|
|
B |
2 |
|
+... + |
|
Bβ |
+ |
M |
1 |
x + N |
1 |
+ |
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
α |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
P(x) |
|
x − a |
(x − a)2 |
(x − a)α |
|
(x −b) |
(x |
−b)2 |
(x −b)β |
x2 |
+ px + q |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
+ |
M |
2 |
x + N |
2 |
|
+... |
+ |
|
M |
λ |
x + N |
λ |
|
+... + |
|
R x + S |
1 |
|
+ |
|
|
R |
2 |
x + S |
2 |
|
+... + |
|
|
Rμ x + Sμ |
|
|
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
(x2 |
+ px + q)2 |
(x2 + px + q)λ |
x2 |
+ rx + s |
|
(x2 + rx + s)2 |
|
(x2 + rx + s)μ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si – некоторые постоянные величины.
Примеры:
a) ∫ |
9x3 −30x2 + 28x −88 |
dx = ∫ |
9x3 − 30x 2 + 28x −88 |
dx = ∫ |
|
A |
|
|
B |
|
|
Cx + D |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
|
dx |
|||
(x |
2 |
−6x +8)(x |
2 |
+ 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(x − 2)(x − 4)(x |
2 |
+ 4) |
|
2 |
x − |
4 |
x |
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x − |
|
|
|
+ 4 |
Подынтегральное выражение представляется в виде суммы простейших
дробей |
9x3 −30x2 + 28x −88 |
= |
A |
|
+ |
B |
|
+ |
Cx + D |
. |
(x − 2)(x − 4)(x2 + 4) |
x − |
2 |
x − |
4 |
|
|||||
|
|
|
|
x2 + 4 |
После освобождения от знаменателей, получается:
A(x − 4)(x2 + 4) + B(x − 2)(x2 + 4) + (Cx + D)(x2 −6x +8) = 9x3 −30x2 + 28x −88 .
(A + B +C)x3 + (−4A − 2B −6C + D)x2 + (4A + 4B +8C −6D)x + (−16A −8B +8D) = = 9x3 −30x2 + 28x −88.
Сгруппировываются члены с одинаковыми степенями:
A + B +C = 9
− 4A − 2B −6C + D = −304A + 4B +8C −6D = 28−16A −8B +8D = −88
C = 9 − A − B
D = −30 + 4A + 2B +54 −6A −6B2A + 2B + 4C −3D =14
2A + B − D =11
C = 9 − A − B
D = 24 − 2A − 4B
2A + 2B +36 − 4A − 4B −72 + 6A +12B =14
2A + B − 24 + 2A + 4B =11
C = 9 − A − BD = 24 − 2A − 4B
4A +10B = 50
4A +5B = 35
14
C = 9 − A − B |
|
|
C = 9 − A − B |
|
|
|
4B |
|
− 2A − |
4B |
|
D = 24 − 2A − |
D = 24 |
||||
|
|
|
|
|
|
4A +10B = 50 |
|
|
4A +10B = 50 |
|
|
50 −10B +5B = |
35 |
B = 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = 5
B = 3C =1
D = 2
В итоге получается:
∫ |
|
5 |
|
|
dx + |
∫ |
3 |
|
|
|
dx + ∫ |
|
x |
+ 2 |
|
dx = |
5ln |
|
x − 2 |
|
|
+3ln |
|
x − 4 |
|
+ ∫ |
|
x |
dx + ∫ |
|
|
2 |
dx = |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
x |
− |
2 |
x − 4 |
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
+ 4 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
+ 4 |
|
x |
|
+ 4 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= 5ln |
x − 2 |
+3ln |
x |
− 4 |
+ |
|
|
|
ln(x |
|
+ 4) |
+ arctg |
|
|
|
|
+C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
b) ∫ |
6x5 |
|
−8x4 |
− 25x3 + 20x2 −76x −7 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
3x |
3 |
− 4x |
2 |
−17x + 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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Так как дробь неправильная, то выделяется целая часть:
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6x5 – 8x4 – 25x3 + 20x2 – 76x – 7 |
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3x3 – 4x2 – 17x + 6 |
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6x5 – 8x4 – 34x3 + 12x2 |
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2x2 + 3 |
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9x3 + 8x2 – 76x - 7 |
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9x3 – 12x2 – 51x +18 |
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Следовательно, |
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20x2 – 25x – 25 |
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2 |
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20x |
2 − 25x − 25 |
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2 |
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4x2 − |
5x −5 |
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2 |
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3 |
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|||||||||
2x |
|
+3 + |
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dx = |
|
2x |
|
dx |
+ |
|
3dx +5 |
|
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|
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dx = |
|
x |
|
+3x + |
||||||||||
|
3x3 − |
4x2 −17x + |
|
∫ |
|
∫ |
∫3x3 − 4x2 |
−17x + 6 |
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
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|
|
6 |
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||||||||||||||||||||
+5∫ |
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4x2 |
−5x −5 |
|
dx. |
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||||||
3x |
3 |
− 4x |
2 |
− |
17x + 6 |
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|||||||||||
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Для |
нахождения корней уравнения |
3x3 − 4x2 −17x + 6 = 0 |
применяем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
схему Горнера: |
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коэффициенты перед x |
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|
ре |
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3 |
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– 4 |
|
– 17 |
|
6 |
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||||
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|
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|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
– 2 |
|
– |
|
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|
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|||||
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|
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|
|
|
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|
ше |
|
– 2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
– 1 |
|
– |
|
– |
|
|
|
|
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|||||
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ние |
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1/3 |
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3 |
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|
– |
|
|
– |
|
– |
|
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|
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||||
Получаются: |
3x3 − 4x2 −17x + 6 = 3(x −3)(x + 2)(x −1/ 3) . |
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|
Следовательно, корни этого уравнения: 3; -2; 1/3.
Отсюда ∫ |
|
|
4x2 − |
5x − |
5 |
dx = ∫ |
4x2 −5x −5 |
. |
|
3x |
3 |
− 4x |
2 |
−17x + 6 |
(x −3)(x + 2)(3x −1) |
||||
|
|
|
|
|
Получившееся подынтегральное выражение раскладывается на элементар-
15
ные дроби: |
4x2 −5x −5 |
= |
A |
|
+ |
B |
|
+ |
C |
|
(x −3)(x + 2)(3x −1) |
x − |
3 |
x + |
2 |
3x −1 |
|||||
|
|
|
|
A(x + 2)(3x −1) + B(x −3)(3x −1) +C(x −3)(x + 2) = 4x2 −5x −5
Применяем метод произвольных значений, суть которого состоит в том, что в полученное выражение подставляем поочередно (по числу неопределенных коэффициентов) значения х. Для упрощения вычислений принимают точки, при которых знаменатель дроби равен нулю. В нашем случае: 3, -2, 1/3. Получаем:
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40A =16 |
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|
A = 2 / 5 |
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|||
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35B = 21 |
|
|
B = 3/ 5 |
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|
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|||
|
|
|
|
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|
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|
C =1 |
|
|
|
C =1 |
|
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||
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В итоге получаем: |
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||||
∫ |
6x5 |
−8x4 |
− 25x3 + 20x2 −76x −7 |
dx = |
2 |
x |
3 |
+3x +9∫ |
dx |
|
+ 6∫ |
dx |
|
+15∫ |
dx |
|
= |
||||
|
3x |
3 |
− 4x |
2 |
−17x + 6 |
|
3 |
|
x + |
2 |
x − |
3 |
3x −1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=23 x3 +3x +9ln x + 2 + 6ln x −3 +5ln 3x −1 +C.
1.4.Интегрирование тригонометрических функций
•Метод тождественных преобразований.
Примеры:
a) ∫sin |
4 |
1 |
|
1 |
|
2 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
(x)dx = ∫ |
|
− |
|
cos(2x) dx = |
|
∫(1 |
−cos(2x)) |
|
dx = |
||
|
2 |
2 |
4 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=14 ∫(1− 2cos(2x) + cos2 (2x))dx == 14 ∫dx − 12 ∫cos(2x)dx + 14 ∫cos2 (2x)dx =
=4x − 14 sin(2x) + 14 ∫12 (1+ cos(4x))dx = 4x − sin(24 x) + 18 [∫dx + ∫cos(4x)dx]=
=x − sin(2x) + x + sin(4x) = 1 3x −sin(2x) + sin(4x) +C. 4 4 8 32 4 2 8
b) ∫sin(2x) cos(5x)dx = ∫ |
sin(2x +5x) +sin(2x −5x) |
1 |
∫sin(7x)dx − |
1 |
∫sin(3x)dx = |
|||||||
|
|
dx = |
|
|
||||||||
2 |
2 |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= − |
cos(7x) |
+ |
cos(3x) |
+C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
14 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
16
• Метод замены переменной.
Примеры:
c) ∫ |
cos7 |
(x)dx |
|
|
|
|
sin(x) = t;cos(x)dx = dt; |
|
|
|
= ∫ |
(1−t 2 )3 |
dt = ∫ |
1 |
−3t 2 +3t 4 |
−t 6 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
= |
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt = |
||||||||||||
|
|
|
|
sin |
4 |
(x) |
|
cos |
2 |
(x) = |
1−sin |
2 |
(x) |
|
|
|
|
|
t |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
t |
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
= ∫ |
dt |
−3∫ |
dt |
+3∫dt − ∫t |
2 dt = − |
|
1 |
|
+ |
3 |
|
+3t − |
1 |
t 3 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
2 |
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3t |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= − |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
3 |
|
+3sin(x) − |
|
sin3 (x) |
|
+C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
3sin3 |
(x) |
|
sin(x) |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
d) ∫ |
|
|
|
sin( 4 x) dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 2 (2 x) = t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− dt |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
2 cos( 2 x) (−sin( 2 x)) 2 dx = dt |
= ∫ |
|
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
cos |
4 |
(2 x) + |
4 |
|
|
2 |
(t |
2 |
+ 4) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin( 4 x)dx = |
− dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
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||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(2x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= − |
|
|
|
|
|
|
arctg |
+ C = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||
e) ∫ |
|
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dx |
|
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|
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∫ |
|
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|
|
dx |
|
|
= ∫(1+tg 2 x) |
|
|
|
|
dx |
|
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tgx = t |
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= ∫(1+t 2 )dt = |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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= |
|
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|
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|
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|
= |
dx |
|
|
= dt |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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4 |
x |
|
|
|
|
|
|
2 |
x cos |
2 |
x |
|
|
|
|
2 |
x |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
cos |
|
|
|
|
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|
cos |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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cos |
|
|
cos |
2 |
x |
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
= t + |
|
t 3 |
|
+C = tgx + |
tg |
3 x |
+C. |
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|||||||||||||||||||||||||
|
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3 |
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|
3 |
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||
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• Метод универсальной тригонометрической подстановки
(универсальной замены).
Примеры:
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x |
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2dt |
|
|
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|
2dt |
|
|
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||||||||
|
|
|
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t = tg |
|
;dx |
= |
|
|
|
|
|
; |
|
|
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|
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|
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|
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|||||
|
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dx |
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1+t 2 |
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|
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|
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|
|
|
|
|
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||||||||||||||||
f) ∫ |
|
|
|
|
|
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|
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= |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
1+t 2 |
|
|
= |
|||||||||||||||||
4sin(x) +3cos(x) +5 |
sin(x) = |
|
2t |
|
;cos(x) = |
1−t |
2 |
4 |
|
2t |
|
+3 |
1−t |
2 |
+5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
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1+t |
2 |
1+t |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+t 2 |
1+t 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= 2∫ |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
= 2∫ |
|
|
dt |
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
dt |
|
|
= ∫ |
|
dt |
|
|
= − |
|
1 |
|
|
+ C = |
|||||||||||||
|
8t |
+ |
3 − 3t |
2 |
+ 5 |
+ 5t |
2 |
|
2t |
2 |
+ 8t + 8 |
|
t |
2 |
+ 4t + 4 |
(t |
+ |
2) |
2 |
|
t |
+ 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||
= − |
|
|
|
1 |
|
+ C. |
|
|
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|
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|
|
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|
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|
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|
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|
|
|||
|
|
x |
|
|
|
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|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
tg |
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
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|
|||||||
|
|
|
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|
|
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|
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17
|
|
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dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
t = tg(x);dx |
= |
|
|
|
|
|
dt |
|
; |
|
|
|
|
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|
|||||||||||
g) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
+t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
= . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
sin |
2 |
(x) + 6sin(x) cos(x) −16cos |
2 |
(x) |
sin 2 (x) = |
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
;cos2 (x) = |
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
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1 |
+t 2 |
1 |
+t 2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
||||||||||||||||
= ∫ |
|
|
|
|
|
dt |
=∫ |
|
|
dt |
|
|
= |
|
1 |
ln |
|
tg(x) +3 −5 |
|
+C = |
|
1 |
|
ln |
|
tg(x) − 2 |
|
+C. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t |
2 |
+ |
6t −16 |
(t |
+3) |
2 |
− 25 |
10 |
|
tg(x) +3 +5 |
|
10 |
|
tg(x) +8 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||
h) ∫ |
|
|
|
|
|
cos2 (x) |
|
|
|
dx = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
cos2 (x) |
|
|
|
|
|
|
|
dx = ∫ |
|
ctg 2 (x) |
dx = |
|||||||||||||||||||||||||||
|
sin |
2 |
(x) + 4sin(x) cos(x) |
|
sin |
2 |
(x) (1+ 4ctg(x) |
|
1+ 4ctg(x) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ctg(x) = t, x = arcctg(x) |
|
|
= −∫ |
|
|
|
t |
2 |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
dx = − |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ 4t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1+t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+t |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
Интеграл вычисляется методом неопределенных коэффициентов:
A |
|
+ |
Bt +C |
= |
A(t 2 +1) +(Bt +C)(4t +1) |
= |
t 2 |
(A +4B) +t(B +4C) +(A +C) |
= |
−t 2 |
|
|
||||
4t +1 |
t2 +1 |
(4t +1)(t 2 +1) |
|
|
(4t +1)(t 2 +1) |
(4t +1)(t |
2 |
+1) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
A = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
A + 4B = −1 |
17 |
|
|
|
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|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 B
A +C = 0 17
C = 1
17B + 4C = −
Получается:
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
4 |
|
t + |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
dt |
|
|
|
4t −1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
2t |
|
||||||||||||
17 |
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt = − |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
dt |
= − |
|
|
|
|
ln(4t +1) |
+ 2 |
|
|
|
|
dt − |
||||||
∫ 4t + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫4t +1 |
∫t 2 +1 |
|
4 |
∫t 2 |
+1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t 2 +1 |
|
17 |
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− ∫ |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
ln(4t |
+ |
1) + |
2 ln(t |
|
+1) − arctg(t) + C = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(4ctg(x) +1) + 2ln(ctg 2 (x) +1) − arctg(ctg(x)) |
+ C |
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2ln(ctg 2 (x) +1) − ( |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(4ctg(x) +1) + |
|
− x) |
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
17 |
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4 |
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2 |
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Учитывая выше сказанное, представим основные типы тригонометрических функций в виде таблицы 4.
18
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Таблица 4. |
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№ |
подынтегральное |
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замена |
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dx |
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выражение |
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1. |
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универсальная замена |
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x |
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R(sin(x),cos(x))dx |
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t = tg |
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, x = 2arctg(t), |
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dx = |
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2dt |
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2 |
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−t 2 |
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1+t 2 |
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2t |
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1 |
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sin(x) |
= |
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,cos(x) = |
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1 |
+t 2 |
1 |
+t 2 |
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2. |
R(sin n (x),cosm (x))dx, |
|
t = tg(x),sin |
2 |
(x) = |
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|
t 2 |
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, |
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dt |
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1 |
+t 2 |
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dx = |
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1 |
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|
nиm −четныечисла |
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2 |
x |
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1+t 2 |
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cos |
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= |
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1+t 2 |
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3. |
R(tg(x))dx |
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|
t = tg(x), x = arctg(t) |
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dx = |
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|
dt |
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|
1+t 2 |
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|
R(ctg(x))dx |
|
t = ctg(x), x = arcctg(t) |
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dx = − |
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dt |
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1 |
+t 2 |
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4. |
R(sin n (x),cosm (x))dx, |
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cos(x) = t |
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|
sin(x)dx = −dt |
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n −нечетная, |
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|
sin 2 (x) =1−cos2 (x) =1−t 2 |
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|
m −четная. |
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5. |
R(sin n (x),cosm (x))dx, |
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sin(x) = t |
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cos(x)dx = dt |
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n −четная, |
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cos2 (x) =1−sin 2 (x) =1−t 2 |
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|
m −нечетная. |
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6. |
R(tg m (x)secn (x))dx, |
|
tg(x) = t , |
1+tg 2 (x) = sec2 (x) |
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sec2 (x)dx = dt |
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|
R(ctg m (x) cscn (x))dx, |
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ctg(x) = t , |
1+ ctg 2 (x) = csc2 (x) |
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|
− csc2 (x)dx = dt |
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|
n −четное, n > 0 |
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7. |
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Понижается степень по |
формуле |
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|
sin 2n (x) cos2m (x)dx |
cos2 (x) = |
1 + cos(2x) |
, sin 2 (x) = |
1 − cos(2x) |
|
, sin(x) cos(x) = |
sin(2x) |
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2 |
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2 |
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2 |
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||||
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8. |
sin(αx) cos(βx)dx, |
sin((α − β)x) +sin((α + β)x) , cos((α − β)x) −cos((α + β)x) , |
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|
sin(αx) sin(βx)dx, |
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2 |
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2 |
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|||
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cos((α − β)x) + cos((α + β)x) |
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
cos(αx) cos(βx)dx. |
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2 |
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9. |
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|
Применяются рекуррентные формулы |
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|
2n+1 |
∫ |
|
2n+1 |
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(x)dx = |
|
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|
sin(x) |
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|
|
|
|
|
|
1 |
∫ |
|
2n−1 |
(x)dx |
||||||||||||||||||||||||||
|
R(sec (x))dx, |
sec |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
− |
|
|
|
|
sec |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2n cos2n (x) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
R(csc2n+1 (x))dx. |
|
|
2n+1 |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
−cos(x) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||
|
|
∫csc |
|
|
(x)dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
− |
|
|
|
∫csc |
|
(x)dx |
||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
2nsin |
2n |
(x) |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sin(x) и cos(x) . Функции sec(x)=1/cos(x) и csc(x)=cosec(x)=1/sin(x).
19