Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Алтайский государственный технический университет им. И.И.Ползунова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

neopred_int(математика)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.02.2015

Размер:

1.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

	−	π	=	π	−1	≈ 0,57 .
Поэтому k =1− 2 1		4		2

Достаточно высокое значение k показывает существенно неравномерное распределение доходов среди населения в рассматриваемой стране.

4.Найти среднее время, затраченное на освоение одного изделия в период освоения от х1=100 до х2=121 изделий, полагая а=600 (мин.), b=0,5.

Решение:

Используем формулу, получаем:

		1	121	−12 dx =	600			400	≈ 57,2 (мин.).
tср =			∫600x			2	x 100121 =
	121	−100			21			7
			100

2.8. Химические приложения определенного интеграла

Приведем в виде таблицы 11 химические приложения определенного интеграла.

Таблица 11.

Вычислить

Формула

Количество электричества, протекшее через

электролизер за время Т

q = ∫Idτ

Средняя и истинная теплоемкости

CV = T

1−T ∫2

CV dT ,

1 T

∫2 CP dT

−T

1 T

Теплота испарения жидкости для температур,

Hисп,T

Hисп,298 + ∫

CdT

далеких от критической

298

Теплота возгонки твердого тела

H возг,T

Hвозг,298

+ ∫

CdT

298

Измерение

энтропии

при

нагревании

(охлаждении) от Т1 до Т2 при постоянном

S = ∫CV

, S

= ∫CP

объеме или постоянном давлении

Примеры:

1.При электролизе раствора CuSO4 силу тока в цепи, измеренную в амперах, изменяли по закону I = τ +1 2 , где τ - время электролиза,

измеренное в часах. Чему равна скорость осаждения меди в начале и конце электролиза, если электролиз длился 2 ч и выход по току меди равен 100%? Определить количество меди, образовавшееся за это время

на катоде. Решение.

Скорость электрохимической реакции определим, согласно законам

Фарадея, по формуле

v =

. Тогда по условию задачи для τ=0 и τ=2 ч

получим v =

0,5

−6

-1

= 2,59 10

(моль с

) и

2 9,65

104

0,25

−6

-1

v =

=1,29

(моль с

2 9,65 104

Соответственно количество меди, образовавшееся на катоде, найдем, предварительно определив количество электричества, протекшее через электролизер за это время:

q = ∫τ

Idτ = ∫2

dτ

= ln(τ + 2)

= 0,693(A ч) = 2494,3(Кл).

τ + 2

mCu = KCu q =

ACu

q =

63,54

2494,3 = 0,821(г).

9,65 10−4

2. Теплоты образования LiI при 298 К в газообразном и твердом состояниях составляют –67,0 и –271,3 кДж/моль соответственно. Зависимость теплоемкости твердого LiI от температуры выражается уравнением CP0 = 51,50 +10,22 10−3 Т. Теплоемкость газообразного LiI

CP0 = 36,68 +14,24 10−3 Т. Определить теплоту возгонки LiI при 680 К.

Решение.

Теплоту возгонки определяем по уравнению H возг,T = Hвозг,298 + ∫ CdT .

298

H 680 = (−67,0 103 + 271,3 103 )+ 680∫[(36,68 −51,50)+ (14,24 −10,22)10−3 T ]dT =

298

= 204,3 103 −14,82(680 − 298) + 4,02210−3 (6802 − 2982 )=199,39 103 Дж/моль.

3. Термический

коэффициент

объемного расширения

ртути

дается

выражением:

α =

=1,817 10

−4

+5,90 10

−9

t +3,45 10

−10

, где

t –

∂V

∂T P

температура (0С) и V0=V при t=0. Если показания идеального газового и ртутного термометров совпадают при 0 и 1000 С, то какой кажущейся температуре по ртутной шкале будет соответствовать 500 С по шкале идеального газового термометра?

Решение.

Вычисляется с помощью формулы: tHg = ((V50 −V0 ))Hg 100 .

V100 −V0 Hg

Воспользуемся формулой: VT2 −VT1 = ∫αV0 dt .

50 50

V50 −V0 = ∫αV0 dt = ∫(1,817 10−4 +5,90 10−9 t +3,45 10−10 t 2 )V0 dt =

=(1,817 10−4 t +5,90 10−9 t 2 +3,45 10−10 t 3 ) 500 V0 = 0,009107V0 ;

100 100

V100 −V0 = ∫αV0 dt = ∫(1,817 10−4 +5,90 10−9 t +3,45 10−10 t 2 )V0 dt =

=(1,817 10−4 t +5,90 10−9 t 2 +3,45 10−10 t 3 ) 1000 V0 = 0,01831V0 ;

Тогда tHg = 0,009107 V0 100 = 49,80 C . 0,01831 V0

2.9.Задания для самопроверки №3

1.Постройте на бумаге в клетку систему координат, где единичный отрезок - 1см. Найдите приближенные значения следующих интервалов с помощью графиков подынтегральных функций:

	10		10	10			10	πx
a)	0,1x2 dx ;	b)	∫1		dx ;	c)	∫0	5sin		dx .
									10
	∫0			x

2. Пусть имеется кардиоида r = a(1 + cosϕ)(рис. см. приложение №1). Найти:

a) площадь фигуры ограниченной кардиоидой ;	Ответ:	3	πa2 .
a) площадь фигуры ограниченной кардиоидой ;	Ответ:	2	πa2 .
		2
b) длину дуги кардиоиды;	Ответ: 8а.

3. Пусть имеется одна арка циклоиды x = a(t −sin t), 0 ≤ t ≤ 2π , ограничен-
	y = a(1 − cos t),
ная осью Ох (рис. см. приложение №1). Найти:
a) площадь циклоиды	Ответ: 3πa2 .
b) длину дуги циклоиды;	Ответ: 8а.

c) вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох одной

арки циклоиды.				Ответ: 5π2а3.
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностями r = 3							2a cos(ϕ)
и r = 3a sin(ϕ) .	Ответ:	9	a	2		2 −	2
и r = 3a sin(ϕ) .	Ответ:		a		π − arctg	2 −		.
		4					3
		4					3

5. Определить площадь части круга x2 + y2	≤ 5(x ≥ 0 I y ≥ 0), ограниченной
кривыми y2 = 4x, x2 = 4 y .	Ответ:	2	+	5 arcsin	3 .
		3		2	5

6.Найти силу давления бензина, находящегося в цилиндрическом баке высокой h = 3,5 м и радиусом основания r = 1,5 м, на его стенки, если

ρ = 900	кг	3 .	Ответ: 161,7π kH.
	м

7.Найти работу, совершенную при выкачивании воды из емкости, имеющую форму полуцилиндра, длина которого a, радиус r.

Ответ: 23 ρgar3 .

8. Вычислить силу давления воды на пластину, имеющую форму параллелограмма соснованием а= 2 мивысотаН= 3 м, опущеннуювертикальновнизна глубину 4 м, если основание параллельно поверхности воды. Плотность воды

1 т/м3.

Ответ: 156,8 кН.

9. Найти координаты центра масс однородной дуги окружности радиусом R с центром в начале координат, расположеннойвпервомквадранте.

Ответ: ( 2πR ; 2πR ).

10. Найти координаты центра масс однородной фигуры, ограниченной линиями y = sin x, y = 0 (0 ≤ x ≤ π).

Ответ: ( π2 ; π8 ).

11. Вычислить работу, необходимую для того, чтобы выкачать воду из полусферического сосуда, диаметр которого 20 м, если плотность воды ρ =1 т/м3.

Ответ: 76969 кДж.

12. Найти координаты центра масс однородной плоской фигуры, ограниченной линиями y2 = 20x, x2 = 20y .

Ответ: (9;9).

13. Производительность труда рабочего в течение дня задается функцией z(t) = −0,00625t 2 + 0,05t + 0,5 (ден.ед./ч.), где t – время в часах от начала работы,

0 ≤ t ≤ 8 . Найти функцию u=u(t), выражающую объем продукции (в стоимостномвыражении) иеговеличинузарабочийдень.

Ответ: 4,53 ден. ед.

14. Стоимостьперевозкиоднойтонныгрузанаодинкилометр(тарифперевозки)

задается функцией f (t) = x10+ 2 (ден.ед./км.). Определите затраты на перевозку

однойтонныгрузанарасстояние20 км.

Ответ: 23,98 ден. ед.

15. Вычислить среднюю теплоемкость аммиака CP в интервале температур от

298 до1000 К.

Ответ: 45,79 Дж/(моль К).

2.10. Вопросы и предложения для самопроверки

Неопределенный интеграл

1.Что называется неопределенным интегралом от данной функции?

2.Что называется первообразной от данной функции?

3.Сформулируйте теорему о существовании неопределенного интеграла.

4.Сформулируйте свойства неопределенного интеграла.

5.В чем состоит метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле?

6.Какая рациональная дробь называется правильной?

7.Как производится разложение правильной рациональной дроби на простейшие?

8.В чем состоит метод интегрирования рациональной функции?

9.Приведите примеры интегрирования простейших иррациональных

функций.

Определенный интеграл

10.Что называется определенным интегралом от данной функции в данном интервале?

11.В чем состоит теорема существования определенного интеграла?

12.Сформулируйте свойства определенного интеграла.

13.Каков геометрический смысл определенного интеграла от данной функции y = f (x) в данном интервале [a; b] в системе декартовых коор-

динат?

14.Разъясните понятие интеграла как функции своего верхнего предела. 15.Сформулируйте теорему о связи между неопределённым интегралом и

определённым интегралами.

16.В чем состоит метод замены переменной в определенном интеграле? 17.В чем особенность вычисления определенного интеграла, взятого по

симметричному интервалу [− a; a]?

18.Что называется несобственным интегралом от данной функции по бесконечному интервалу?

19.Что называется несобственным интегралом от данной функции по данному конечному интервалу?

Применение определенного интеграла

20.Сформулируйте правила приближенного отыскания определенного интеграла: 1) правила прямоугольников и трапеций; 2) правило параболических трапеций (Симпсона).

21.Как вычислить площадь плоской фигуры в системе: декартовых координат, полярных координат и в случае задания линии параметрическими уравнениями?

22.Как вычисляются длину дуг кривых в системе: декартовых координат, полярных координат и в случае задания линии параметрическими уравнениями?

23.Как вычислить площадь поверхности вращения плоской фигуры в системе: декартовых координат, полярных координат и в случае задания линии параметрическими уравнениями?

24.Как вычислить объем тела вращения?

25.По какой формуле вычисляется: путь, пройденный телом; работу переменной силы; работу электродвигателя переменной мощности; силу давления жидкости?

26.По какой формуле вычисляется: масса; статические моменты; моменты инерции; координаты центра тяжести для плоской линии и плоской фигуры?

Семестровая работа

Вариант 1

Часть А

1.Найти неопределённые интегралы:

2 x

)dx;

а)

∫

+ xe

(x +18)dx

д)

sin

cos

dx ;

е)

;

∫2sin(3x) +

xdx

в) ∫

x2 − 4x −12;

∫

3cos(3x) + 7

б) ∫7 + x2 ;

xdx

г) ∫

;

ж)

∫

arcsin3 (2t) .

x2 + 2x +10

1− 4t 2

2.Вычислить интегралы или установить расходимость:

а) ∫

;

б) ∫ dx

;

в)

∫1

4 t

;

г) ∫x3 ex2 dx .

e 5 x ln(5x)

t + 4

−2

Часть В

1.Найти неопределённые интегралы:

−

б)

∫

г)

∫

е)

;

а) ∫

xarctg

dx;

cos

sin

dx;

∫3 (2x +1)2 − 3 2x +1

в)

∫

2x +3

dx;

д)

∫

3 +7x + x 2 −4x3

dx;

ж) ∫

3x3 −3x2 −7x −2

dx .

3 +12x − 4x2

x 2 (x 2 +2x +1)

x3 − x2 −4x + 4

Вычислить интегралы

или установить

расходимость:

а)

∫1

x2 log3 (5x) dx ;

б)

+∞∫3 dx .

1 5

−4

x + 3

Часть С

Найти неопределённые интегралы:

а)

∫ctg

(5x) dx ;

б) ∫

2 dx ;

в)

∫e

z 2

sin(2z) dz ;

г) ∫

2x2 −3x −3

dx .

1 +

−1)(x

−2x +5)

Часть D

1. Вычислить площади фигур:

а)

y = (x − 2)3 и

б) x = 4

2 cos3 (t), x = 2

(x ≥ 2) ;

в) r = 4 cos(3ϕ), r = 2(r ≥ 2) .

y = 4x −8 ;

y = 4

2 sin3 (t),

2. Вычислить длины дуг кривых:

а) y = ln(x),

;

б) x = 5(t −sin(t)),

0 ≤ t ≤π ;

в) r =3e3ϕ

4 ,

−π / 2 ≤ϕ ≤π / 2 .

3 ≤ x ≤

y = 5(1−cos(t)),

3. Вычислить объемы тела образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями: y = −x2 +5x −6, y = 0

Часть E

Вычислить приближённо ∫ 1 + x2 dx указанным методом , отрезок интег-

рирования разбить на 10 равных частей, сравнить с результатом непосредственного интегрирования:

а) прямоугольников;

б) трапеций;

в) Симпсона.

Вариант 2

Часть А

1.Найти неопределённые интегралы:

∫

д) ∫cos(2x) cos(3x)dx ;

а)

∫

x −

x + x

dx ;

в)

x + 4

dx ;

ж) ∫(arcsin(x))2 1− x2 .

− 5x +

е) ∫

1−cos(x)

dx ;

б) ∫xe−3x

dx ;

г)

∫ x2

− 2dx

+ 4x + 40 ;

sin(x)

2.Вычислить интегралы или установить расходимость:

π 4

а)

∫x cos(2x)dx ;

б) ∫

;

в)

∫x2

;

−x 2

−

2 − x

г)

∫ x

dx .

−21

−2x +3

−

Часть В

1.Найти неопределённые интегралы:

г)

∫

sin3 (x) cos1 2 (x)dx;

3 3x + 4

а) ∫1 +x

x dx ;

в) ∫ 2x2 +8x +7 ;

д)

x + 2

dx;

е)

∫1 + 3 3x + 4 dx

;

б) ∫arcsin(2x)dx ;

∫ x2 (x +

1)2

ж)

∫3cos2 (x) + 4sin 2 (x) .

2.Вычислить интегралы или установить расходимость:

π 2

+∞

а)

∫

;

б) ∫

x −

0 1+sin(x) + cos(x)

Часть С

Найти неопределённые интегралы:

x + 2

а)

∫e

−x

sin(2x)dx ;

б) ∫

10 dx ;

в)

∫sin

(3x)dx ;

г)

∫

dx .

x +1)

(x +1)(x

+ 2x + 2)

Часть D

1. Вычислить площади фигур:

а)

y = x

9 − x2 , y = 0 ,

x =

2 cos(t),

y = 2 ( y ≥

2) ;

в)

r = cos(2ϕ).

(0 ≤ x ≤ 3) ;

б)

2 sin(t).

y = 2

Вычислить длины дуг кривых:

а)

y =

ln(x),

x =3(2cos(t) −cos(2t)),

4ϕ

−

б) y =3(2sin(t) −sin(2t)). ;

в) r = 2e

3 ,

1 ≤ x ≤ 2 ;

0 ≤t ≤2π

−π / 2 ≤ϕ ≤π / 2 .

3. Вычислить объемы тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями: 2x − x2 − y = 0, 2x2 − 4x + y = 0.

Часть E

Вычислить приближённо ∫ 1 + x3 dx указанным методом , отрезок интег-

рирования разбить на 10 равных частей, сравнить с результатом непосредственного интегрирования:

а) прямоугольников;

б) трапеций;

в) Симпсона.

Вариант 3	Часть А
	1.Найти неопределённые интегралы:

а) ∫	3	x − 2x2 x3		dx ;	в) ∫		x +1		dx;	д)
		x					x2 + 6x +13			е)
б) ∫		xdx	;		г) ∫	dx		;
						x2 −3x + 2
	2	2
		−3x

∫

sin3 (2x)dx ;		ж)	∫	xdx		.
dx		ж)	∫	1 +	4	.
dx	;			1 +		x
2sin(x) +3cos(x)	;

2.Вычислить интегралы или установить расходимость:

1	2		dx2 − x ;	16	t4 +t 4 dt ;
а) ∫xe−3x dx ;	б) ∫	1 −	dx2 − x ;	в) ∫	t4 +t 4 dt ;
0	−2			1

∞

г) ∫x e−x 2 dx .

−∞

Часть В

1.Найти неопределённые интегралы:

cos( x)dx

1 − x +1

г)

∫

cos4 (x)sin 2 (x)dx ;

е) ∫

а) ∫

;

в) ∫1 + 3 x +1dx ;

2x + 3

1−4t2 arcsin3 2t ;

б) ∫xarcctg (2x)dx ;

д) ∫

dx ;

3x3 −3x2 −7x −2

ж) ∫

−1)

+ 4)

x3 − x2 −4x + 4 dx .

2.Вычислить интегралы или установить расходимость:

dx2x +1 ;

+∞

dxx − 2 .

а) ∫1+

б) ∫ x

Часть С

Найти неопределённые интегралы:

а)

∫x

sin(3x)dx ;

б) ∫

dx ;

10dx

3 −2x − x

в)

∫

;

г) ∫

(x2 −4x +3)(x2 + 4x +5)

tg(x) +1

Часть D

1. Вычислить площади фигур:

а)

y = 4 − x2 , y = x2 −2x ;

б) x = 4(t −sin(t)),

в)

r =

3 cos(ϕ), r = sin(ϕ)

y = 4(1−cos(t)),

(0 ≤ϕ ≤π

y = 4 (0 < x < 8π, y ≥ 4) ;

Вычислить длины дуг кривых:

а)

y =

1− x2

+ arcsin(x),

б) x =4(cos(t) +t sin(t)), 0 ≤t ≤2π ;

в) r =

2eϕ ,

0 ≤ x ≤ 7 9 ;

y =4(sin(t) −t cos(t)),

−π / 2 ≤ϕ ≤π / 2 .

3. Вычислить объемы тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями: y = 3sin(x), y = sin(x), 0 ≤ x ≤π.

Часть E

Вычислить приближённо ∫ 1+2x2 dx

указанным методом , отрезок интег-

рирования разбить на 10 равных частей, сравнить с результатом непосредственного интегрирования:

а) прямоугольников;

б) трапеций;

в) Симпсона.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.02.2015202.24 Кб28mol.doc
#
25.11.2019282.31 Кб4MOTIVATION THEORIES.docx
#
14.02.201581.2 Кб5moy_otchet_Avtosokhranenny.docx
#
12.03.2016930.75 Кб33moy_otchyot_po_vinu.docx
#
14.02.20151.69 Mб4nalogovyy-kodekss-chast-1.doc
#
14.02.20151.18 Mб18neopred_int(математика).pdf
#
31.07.201944.54 Кб3nReferat.ru - Metodika Obucheniya Barernomu Beg....doc
#
14.02.20151.1 Mб10nwpi221.pdf
#
14.02.20151.14 Mб43O.A.Platonov-Russkaya_pravda.pdf
#
14.02.2015408.06 Кб358obraztsi_dokumentov_proc_docs.doc
#
14.02.2015838.66 Кб79oeppp088.doc