Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Алтайский государственный технический университет им. И.И.Ползунова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

neopred_int(математика)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.02.2015

Размер:

1.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

1.5. Интегрирование иррациональных функций

Выделяют четыре основных типа интегралов, содержащих иррациональные функции:

•Первый тип включает в себя интегралы, которые вычисляются методом замены переменной.

Примеры:

− 2dx

− dx

− 2t3dt

t2dt

a) ∫ 1 − 2x − 4 1 − 2x =

4 1 − 2x = t; dt =

2t3

= ∫

t2 − t

= −2∫

4(4 1 − 2x )3

t −1

dt = −t

− 2t

− 2ln t −1 +C =

= −2∫ t +

t −1

dt = −2∫tdt − 2∫

t −1

− 2∫ 1

t −1

dt = −t

= − 1− 2x − 24 1− 2x − 2ln 4 1− 2x −1 +C.

3 x −1 +4 x −1

12 x −1 =t; x −1 =t12

(t4 +t3 )12t11dt

t3 +t2

b) ∫(x −1)(1+6 x −1)dx = dx =12t11dt

= ∫

t12 (1+t2 )

=12∫

t2 +1 dt =

∫

tdt

∫

dt −

t −

−

=12

t +1

=12

=12 tdt

−12

+12

t +1

−12∫1+dtt2 = 6t2 +12t −6ln(t 2 +1) −12arctg(t) +C = 66 x −1 +1212 x −1 −6ln(6 x −1 +1) −

−12arctg(12 x −1) +C.

52x −3

(4x +8) −13

42x +8

2 dx

с) ∫

dx = ∫ 4

dx =

∫

dx −13∫

+8x +1

2x +8x +1

+8x +1

2x2 +8x +1 = t

= 5

∫ dt

− 13 ∫

5 2 t

− 13 ∫

(4x +8)dx = dt

+ 4x +

+ 2)2 −

2x2 +8x +1 − 13

ln x + 2 + x2 +

4x +

+C.

Таким образом, к первому типу можно отнести следующие подынтегральные выражения, представленные в таблице 5.

Таблица 5.

№

подынтегральное

преобразования

замена

выражение

ax +b = t

dx =

2tdt

ax +b

ax +b = t 2

x +

= t

dx = dt

x + px + q

x +

−

+ q

mx + n

x +

= t

dx = dt

+ px + q

x +

q −

= t ,

x − a

dx =

−1dt

(x − a) x2 + px + q

x =

+ a

t 2

ax + b

= t;

ax +b

cx + d

′

R x, n

dx ,

−b

cx + d

ax +b

dx=

где n N

cx + d

= t

;

−ct

x =

dt n

−b

a −ct n

•

Ко второму типу относят интегралы вида ∫

Pn (x)

dx , где Pn(x) –

ax 2

+ bx + c

многочлен п-ой степени. Интеграл находится с помощью тождества, на-

зываемое методом неопределённых коэффициентов:

Pn (x)

dx =Qn−1 (x)

+ bx + c + λ

∫ ax2 + bx + c

где Qn-1(x) – многочлен степени равной п-1 с неопределёнными коэффициентами, λ – некоторый неопределённый коэффициент.

Примеры:

а) ∫3x32			−7x2 +1 dx
		x	− 2x +5
	Здесь n = 3, поэтому соответствующее тождество имеет вид:
∫	3x32	−7x2 +1 dx = (Ax2 + Bx +C) x2 − 2x +5 + λ∫			x	2	dx	.
	x	− 2x +5			x		− 2x +5
	Продифференцируем полученное выражение:
3x3 −7x2 +1 = (2Ax + B) x2 − 2x +5 + Ax2 + Bx +C (x −1) +								λ
	x2 − 2x +5			x2 − 2x +5				x2 − 2x +5

Умножим на ax2 +bx + c и сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х:

(2Ax + B)(x2 − 2x +5) + (Ax2 + Bx +C)(x −1) + λ=3x3 −7x2 +1

2Ax3 − 4Ax2 +10Ax + Bx2 − 2Bx +5B + Ax3 + Bx2 +Cx − Ax2 − Bx −C + λ = 3x3 −7x2 +1
3Ax3 −(5A − 2B)x2 + (10A −3B +C)x +5B −C + λ = 3x3 −7x2 +1
A =1		A =1

5A − 2B = 7		B = −1
	= 0
10A −3B +C	= 0	C = −13
5B −C + λ =1		λ = −7

Итого ∫3x32	−7x2 +1 dx = (x2 − x −13) x2 − 2x +5 −7∫		(x	dx 2	=
x	− 2x +5		(x	−1)	+ 4
= (x2	− x −13) x2 − 2x +5 −7 ln(x −1+	x2 − 2x +5)		+C.

b) ∫(4x2 − 6x) x2 + 3dx

Здесь n = 4, поэтому соответствующее тождество имеет вид:

∫(4x

− 6x) x

+ 3dx = ∫

(4x2 − 6x)(x2 + 3)

dx = (Ax

+ Bx

+Cx + D) x

+3 + λ∫

+ 3

Дифференцируем полученное выражение:

4x4 −6x3 +12x2 −18x = (3Ax2 + 2Bx +C) x2 +3 + (Ax3 + Bx2 +Cx + D)x + λ

x2 +3

Перегруппировываем:

4x4 −6x3 +12x2 −18x = (3Ax2 + 2Bx +C)(x2 +3) + Ax4 + Bx3 +Cx2 + Dx + λ

4x4 −6x3 +12x2 −18x = 3Ax4 + 2Bx3 +Cx2 +9Ax2 + 6Bx +3C + Ax4 + Bx3 +Cx2 + Dx + λ

4x4 −6x3 +12x2 −18x = 4Ax4 +3Bx3 + (2C +9A)x2 + (6B + D)x +3C + λ

	4A = 4,			A =1,
	3B = −6,			B = −2,
	3B = −6,			B = −2,
	2C +9A =12,
	2C +9A =12,		C = 32 ,
				D = −6,
6B + D = −18,				D = −6,
	3C + λ = 0.		λ = −9 .
	3C + λ = 0.				2
					2
∫(4x2 −6x) x2 +3dx = x3 − 2x2		+	3 x −6 x2			+3 −	9 ln x + x2	+3 +C.
			2				2

• К третьему типу относят интегралы вида ∫ R(x, ax2 + bx + c )dx .

Интегрируются с помощью тригонометрической подстановки, которая называются подстановкой Эйлера. При необходимости выделяют под ра-

4ac − b2

дикалом полный квадрат, т.е.

ax2 + bx + c = a

x +

, и вводят

4a2

обозначение:

x +

= t ,

4ac − b2

= m2 .

4a2

Примеры:

x = sin(t)

cos(t)dt

a) ∫

= dx

= cos(t)dt

= ∫

= tg(t) +C =

+C.

(1− x

)

3 / 2

cos

(t)

cos

(t)

1− x

cos(t) =

1− x2

; dx =

2sin(t) dt

2sin(t) cos(t)dt

b) ∫

cos(t)

cos

(t)

= ∫

∫ctg

(t)dt =

x(x

−

5 / 2

cos

(t) 2

(t)

x2 − 4 = 2tg(t)

∫ctg

(t)d (ctg (t)) −

(t)dt = −

ctg (t) −

(t)

−1 dt = −

sin

ctg

(t)

ctg

(t) +

+ C = ctg

(t) =

−

∫

(t)

−1 dt

= −

− 4

= −

12(x

− 4)

3 / 2

sin

+	1		+	1		2	+ C.
	16 x 2	− 4		32	arccos
					x

x = 2tg(t)

с)

∫

= ∫

cos

(x)

= ∫

= dx =

(x)

tg(x) cos

4(1+tg

4 + x

cos2 (x)

2tg(x)

4 + 4tg

(x)

(x))

= ∫

cos(t)dt

∫

+C =

sin(t)

2tg(t) cos

(t)

2sin(t) cos

(t)

cos(t)

cos2 (t)

arctg

+C.

Таким образом, введя новые обозначения имеем следующие подынтегральные выражения, которые будут иметь соответствующие тригонометрические подстановки, представленные в таблице 6.

Таблица 6.

№

подынтегральное

замена

выражение

R(t,

m2 − t 2 )

t = msin(z) или t = m cos(z)

dt = m cos(z)dz

или

dt = −msin(z)dz

dt =

msin(z)

или

R(t,

− m2 )

cos2 (z)

t 2

t =

или

t =

− m cos(z)

cos(z)

sin(z)

dt =

sin 2 (z)

dt =

или

R(t,

t 2

+ m2 )

t = m tg(x) или

t = m ctg(z)

cos2 (z)

dt =

− m

sin 2 (z)

•Четвёртый тип ∫xm (a +bxn )p dx , где m, n, и p – рациональные числа,

называют интегралами от дифференциального бинома.

Академиком Чебышевым П.Л.1 было доказано, что интеграл от дифференциального бинома может быть выражен через элементарные функ-

ции только в следующих трех случаях:

Таблица 7.

№

случаи

замена

р – целое число

t = λ x

или x = tλ ,

где λ-общий знаменатель m и n.

m +1

– целое число

подстановкой t =

+bx

где s – знаменатель числа р.

m +1

+ p - целое число

a +bxn

, где s – знаменатель числа р.

Примеры:

здесь p =

m +1

= 2 Z

3 1+ 4 x

a) ∫

= ∫x

−

dx =

поэтомуприменимподстановку

1+ x

= t 3 ; x = (t 3 −1)4 ;dx = 4(t 3 −1)3 3t 2 dt

1+ x

−2

= ∫(t

−1) t 4(t

−1) 3t

=12∫t

−1)dt =12∫(t

−t

)dt =

−

+C =

= 12 3 (1+ 4 x )7

(1+ 4 x )4 +C

−

3 3

m +1

b) ∫x−2 (1+ x2 )−

здесь p = −

= −

+ p

= −2 Z

dx =

заменаx−2

1 = t 2

x = (t 2

−1)−

, dx = −

(t 2

−1)−

2tdt

1 −

t 2 −1

−

= −∫

−1)1+

−1)

2 tdt = −∫

= −∫ 1−

dt = −t −

+C = −

−

−1

−

+C = −

(2x2

+1)

1 Чебышев Пафнутий Львович (4(16).5.1821 – 26.11(8.12).1894) – русский мате-

матик и механик. Получил основопологающие результаты во многих разделах математики и механики.

1.6. Примеры интегралов, не выражающихся через элементарные функции

1. Интеграл вида ∫R(x, P(x))dx :

a)Р(х) – многочлен третей или четвёртой степени без кратных корней, такой многочлен называется эллиптическим:

•	∫				dx
		(1	− x	2	)(1	− k	2	x	2	)

•	∫			x2 dx
		(1	− x	2	)(1	− k	2	x	2	)

–эллиптический интеграл 1 рода;

–эллиптический интеграл 2 рода;

• ∫					dx							– эллиптический интеграл 3 рода.
	(1	+ hx	2	)	(1 − x	2	)(1	− k	2	x	2
												)

(0 < k < 1, h – комплексное число)

b)Р(х) – многочлен степени выше четвертой, то интеграл называет-

ся ультраэллиптическим.

c)Р(х) – многочлен выражаемый через элементарные функции на-

зывается псевдоэллиптическим.

2.	∫t	e−x2	2 dx - интеграл Пуассона2.
	0
3.	∫t	sin(x2 )dx; ∫t			cos(x2 )dx - интегралы Френеля3.
	0			0
4.	∫t	dx		= Li(t) - интегральный логарифм.
4.	∫t	ln(x)		= Li(t) - интегральный логарифм.
	0	ln(x)

5. ∫t ex

0 x

- интегральная показательная функция.

6. ∫t sin(x) dx = Si(t) - интегральный синус.

0 x

2 Пуассон Симеон Дени (21.6.1781 – 25.4.1840) – французский механик, физик, математик.

3 Френель Жан Огюстен (1788-1827) – французский физик, математик. Разработал теорию волновой оптики и др.

1.7. Задания для самопроверки №1

Вычислить:

∫2x 32 x dx

Ответ:

18x

+ C

ln18

∫

Ответ: x −cos(x) +C

sin

+ cos

∫tg2 xdx

Ответ: tg(x) − x +C

∫

dxx

Ответ:

2arctg(

ex −1) +C

−1

∫x

1 + x2 dx

Ответ:

(1 + x2 )3

+ C

∫

sin(x)

Ответ: −

1+5cos(x) +C

1+5cos(x)

∫x2 cos(3x)dx

Ответ: 1 x2 sin(3x)−

sin(3x)+ 2 x cos(3x)+ C

∫arcsin(x)dx

Ответ: x arcsin(x) + 1− x2

∫

−x

Ответ:

2 −x

− 2cos

cos

sin

10. ∫ln(x)dx

Ответ: x ln(x) − x +C

11. ∫

Ответ:

−

+ C

(4x +1)3

8(4x +1)2

12. ∫

x − 3

Ответ:

− 6x

+ C

2 ln

− 6x +1

13. ∫

Ответ:

ln3 C(x

−8)+C

x3 −8

14. ∫

x5 + x4 −8

Ответ:

+ 4x + ln

Cx2 (x − 2)5

+ C

x3 − 4x

(x + 2)3

15. ∫

Ответ: x +

6 6

x5 +

3 3

+ 2

x + 33

x + 66 x + 6 ln 6

x −1 + C

x −

16. ∫

(23x −1)

Ответ: 3

+ 2x + 2 − 4 ln (x +1)+

+ 2x + 2 + C

+ 2x +

				1		−
17.	∫ x x2	dx	Ответ:				1
		dx			x		1
		+ 2x −1			x			+ C
		+ 2x −1		arccos		2		+ C

18.	∫		x2 +16dx	Ответ:
19.	∫		dx	Ответ:
19.	∫	9	+8cos(x) +sin(x)	Ответ:
		9	+8cos(x) +sin(x)

2x x2 +16 +8ln x + x2 +16 + C

		x
1	tg			+1
	tg		2	+1
	arctg		2		+C
2	arctg		4		+C
2			4

20.	∫sin5 (x)dx							Ответ: −cos(x) +											2	cos3 (x) −									1	cos5 (x) +C
20.	∫sin5 (x)dx							Ответ: −cos(x) +												cos3 (x) −								5		cos5 (x) +C
														3														5
21.	∫sin 4 (2x) cos3 (2x)dx							Ответ:			1		sin5 (2x) −								1			sin 7 (2x) +C
21.	∫sin 4 (2x) cos3 (2x)dx							Ответ:	10				sin5 (2x) −											sin 7 (2x) +C
									10					14
22.	∫cos4 (x)dx							Ответ:		3		x +			1		sin(2x) +								1	sin(4x) +C
22.	∫cos4 (x)dx							Ответ:	8			x +		4			sin(2x) +							2		sin(4x) +C
									8					4										2
23.	∫sin 4 (x) cos2 (x)dx							Ответ:		1			x −			1		sin(4x) −									1	sin3 (2x) +C
23.	∫sin 4 (x) cos2 (x)dx							Ответ:	16				x −					sin(4x) −										sin3 (2x) +C
									16					64										48
24.	∫sin(5x) cos(3x)dx							Ответ: −					1	cos(8x) −								1	cos(2x) +C
24.	∫sin(5x) cos(3x)dx							Ответ: −						cos(8x) −									cos(2x) +C
									16					4
25. Используя метод интегрирования по частям, доказать, что:
	а) ∫eax cos(bx)dx =				1		(a cos(bx) +bsin(bx)) eax								+C ;
	а) ∫eax cos(bx)dx =		a	2	+b	2	(a cos(bx) +bsin(bx)) eax								+C ;
			a		+b
	b) ∫eax sin(bx)dx =				1		(a sin(bx) −b cos(bx)) eax							+C ;
	b) ∫eax sin(bx)dx =		a	2	+b	2	(a sin(bx) −b cos(bx)) eax							+C ;
			a		+b
	c) ∫	x2 + λdx = x	x2		+ λ +			λ ln(x + x2 + λ )+C .
		2						2

§2. Определенный интеграл

2.1. Основные понятия и методы решения определенного интеграла

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x) [см. § 1]. Ра-

зобьём

отрезок

[a, b]

произвольным

образом на

частей точками

a = x0 < x1 < ... < xn = b . На каждом отрезке [xi−1, xi ]

длины

xi = xi − xi−1

выбе-

рем произвольную точку ξi . Составим сумму ∑ f (ξi )

называемую ин-

i=1

тегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].

Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b] называ-

ется число равное пределу интегральных сумм при стремлении к нулю

максимальной из длин отрезков разбиения:

(ξi ) xi

∫ f (x)dx = maxlimx →0

∑ f

этот предел коне-

1≤i≤i n

i=1

чен и не зависит от способов разбиения от-

резка [a,

на

части

выбора

точек

a=x0

ξ1,ξ2 ,...,ξn , на отрезках [x0

; x1 ],...,[xn−1; xn ].

Определённый интеграл обозначается символом ∫ f (x)dx , где а назы-

вается нижним пределом, b называется верхним пределом, х называется переменной интегрирования, f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx называется подынтегральным выражением, [a, b] – отрезок интегрирования.

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция y = f (x) ≥ 0 . Фи-

гура, ограниченная сверху графиком функции y = f (x) , снизу – осью Ox,

сбоку прямыми x=a и x=b, называется криволинейной трапецией.

Геометрический смысл определённого интеграла: определённый интеграл равен площади «криволинейной трапеции» ограниченной функ-

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.02.2015202.24 Кб28mol.doc
#
25.11.2019282.31 Кб4MOTIVATION THEORIES.docx
#
14.02.201581.2 Кб5moy_otchet_Avtosokhranenny.docx
#
12.03.2016930.75 Кб33moy_otchyot_po_vinu.docx
#
14.02.20151.69 Mб4nalogovyy-kodekss-chast-1.doc
#
14.02.20151.18 Mб18neopred_int(математика).pdf
#
31.07.201944.54 Кб3nReferat.ru - Metodika Obucheniya Barernomu Beg....doc
#
14.02.20151.1 Mб10nwpi221.pdf
#
14.02.20151.14 Mб43O.A.Platonov-Russkaya_pravda.pdf
#
14.02.2015408.06 Кб358obraztsi_dokumentov_proc_docs.doc
#
14.02.2015838.66 Кб79oeppp088.doc