Аксонометрия

Министерство образования Российской Федерации

Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова

Кафедра начертательной геометрии и графики Н.С. Николаенко, Т.Е. Павлова, Е.Г. Шипулина

Аксонометрические проекции

Лекция с применением элементов компьютерной графики

Барнаул 2004

УДК 725.4

Аксонометрические проекции. Лекция с применением элементов компьютерной графики / Сост.: Николаенко Н.С., Павлова Т.Е., Шипулина Е.Г. /Барнаул: Изд-во АлтГТУ – 2005 – 36 с.

Методические указания предназначены для углубленного изучения ГОСТ 2.317-69 «Аксонометрические проекции»

Научный редактор: Гурьев А.М., д.т.н., проффессор

Рассмотрены и одобрены на заседании кафедры «Начертательная геометрия и графика» Протокол №3 от 8 декабря 2004 г.

2

3

Введение

Чертежи, выполненные в ортогональных проекциях и дополненные при необходимости вспомогательными видами, разрезами, сечениями, позволяют судить о форме и размерах изображаемого объекта. Но такие чертежи не являются наглядными. Для получения наглядных изображений применяют аксонометрические проекции (аксон – «ось», метрео – «измеряю» с греческого).

1 Основные понятия и определения

Аксонометрической называется проекция, полученная при параллельном (прямоугольном или косоугольном) проецировании на произвольно расположенную плоскость проекций заданного объекта вместе с системой координат, к которой он отнесён. Выберем в пространстве некоторую прямоугольную (натуральную) систему координат Оxyz и фигуру Ф, жёстко связанную с этой системой. Оси координат должны совпадать с направлением основных измерений фигуры Ф, называемой оригиналом. Отложим на каждой из осей координат отрезок е и обозначим полученные отрезки соответственно ex, ey, ez (рисунок 1.1).

4

Измерив, расстояния каждой точки фигуры до координатных плоскостей единичным отрезком e1′, получим три числа - три натуральные координаты точки, которые определяют её положение относительно данной системы координат.

Спроецируем параллельно фигуру Ф вместе с системой координат по

направлению S на некоторую плоскость π΄ - аксонометрическую (картинную) плоскость проекций.

Проекции всех геометрических элементов на плоскости π΄назовём аксонометрическими, например: O′x′y′z′ - аксонометрическая система координат; проекции единичных отрезков на оси O′x′, O′y′, O′z′, обозначенные

через e΄x, e΄y, e΄z - аксонометрические масштабные единицы, A′- аксонометрическая проекция точки A и т.д. В результате проведённых

построений на аксонометрической плоскости проекции π΄получим аксонометрическое изображение фигуры Ф и связанных с нею геометрических элементов.

Взависимости от способа проецирования (центрального, параллельного

ипрямоугольного) получают различные виды аксонометрических проекций: центральную, параллельную, косоугольную или прямоугольную аксонометрию.

На (рис.1.1) точка A параллельно спроецирована на плоскость π΄. Положение точки A относительно системы координат Oxyz определяется её натуральной координатной ломаной OAx A1 A . Зная натуральные единичные отрезки, можно определить натуральные координаты точки A :

При параллельном проецировании величины отношений отрезков прямой сохраняются, поэтому:

Основное свойство аксонометрических проекций заключается в следующем: аксонометрические координаты точки A , измеренные аксонометрическими масштабными единицами, численно всегда равны натуральным координатам точки A .

Примем координатные плоскости xOy , xOz , yOz за плоскости проекций π1,

π2, π3 и спроецируем на них точку A (рисунок 1.2). Получим шесть взаимосвязанных координатных ломаных AA1 AxO , AA1 Ay O , AA2 AxO , AA2 Az O ,

AA3 Ay O , AA3 Az O , каждая из которых определяет положение точки A

5

относительно Oxyz . Спроецируем на плоскость π΄параллельно направлению S

систему (Oxyz , A , A1 , A2 , A3 ). На плоскости π΄ получим систему

(O′x′y′z′, A′, A1′, A2′, A3′), где A′ - аксонометрическая проекция оригинала точки A , а точки A1′, A2′, A3′ - аксонометрические проекции точек А1, А2, А3.

Аксонометрические проекции, проекции геометрических элементов на координатных плоскостях называют вторичными проекциями или основаниями.

Рисунок 1.2

Аксонометрическую координатную ломаную можно построить, если заданы аксонометрическая проекция точки и одно из её оснований. Это означает, что проекция Ф1 ( O′x′y′z′) обратима, если имеются натуральные и масштабные аксонометрические единицы и основания характерных точек фигуры Ф.

6

2 Основная теорема аксонометрии

При построении аксонометрических чертежей возникает вопрос, с какой степенью точности нужно выбрать аксонометрические оси и масштабы на них. Ответ на этот вопрос даёт теорема Карла Польке.

В косоугольной аксонометрии аксонометрические оси на плоскости чертежа и единичные отрезки на них могут быть выбраны совершенно

произвольно. Это означает, что, задав на плоскости π΄три проходящие через одну точку несовпадающие прямые O′x′, O′y′, O′z′ и, отложив на них три отрезка произвольной длины (конечной и отличной от нуля), можно утверждать, что данная фигура будет рассматриваться как параллельная проекция трёх взаимно перпендикулярных осей координат Oxyz с

отложенными на них равными масштабными отрезками OEx =OEy =OEz =1

2.1 Видыаксонометрическихпроекций

Из теоремы К. Польке следует, что аксонометрическая система e′x , e′y , e′z ) в общем случае определяется пятью независимыми

параметрами: тремя аксонометрическими единичнымими отрезками и двумя углами между аксонометрическими осями.

В зависимости от соотношений между аксонометрическими единичными отрезками параллельные аксонометрические проекции классифицируют:

1) e′x = e′y = e′z - изометрические проекции (изос-равный);

e′x = e′y ≠ e′z

2) e′x = e′z ≠ e′y диметрические проекции (диос-дважды); e′y = e′z ≠ e′x

3)e′x ≠ e′y ≠ e′z - триметрические проекции (триметрос-трижды).

2.2Коэффициенты(показатели) искажений

Впрактике построения чертежей пользуются не аксонометрическими масштабами и координатами, а коэффициентами (показателями) искажения по осям. Их определяют как отношения аксонометрических масштабов к натуральным.

7

Отсюда следует, что коэффициенты искажения пропорциональны аксонометрическим масштабным единицам:

u : v : w= e ΄x = e ΄y = e ΄z

Получим u = v = w - изометрия, u = w ≠v - диметрия, u ≠v ≠ w - триметрия. Итак, если мы имеем геометрический объект (точку, отрезок,

фигуру), то нужно её натуральные координаты умножить на коэффициенты искажения и отложить на аксонометрических осях.

В зависимости от направления S проецирования по отношению к плоскости π΄ различают косоугольные и прямоугольные аксонометрические проекции (в

последнем случае S перпендикулярно π΄).

2.3Прямоугольная аксонометрия и еёсвойства

Спомощью прямоугольной (ортогональной) аксонометрии выполняют большинство наглядных изображений технических деталей. В этом виде аксонометрии теорема К.Польке (1851 г.) не имеет места, так как здесь коэффициенты искажения и углы между аксонометрическими осями - взаимосвязанные величины.

Теорема 1. Показатели искажений в прямоугольной аксонометрии равны косинусам углов наклона натуральных осей к плоскостям проекций.

Теорема 2. Сумма квадратов показателей искажения в ортогональной аксонометрии равна 2.

u 2 + v2 + w2 = 2;

Теорема 3. Прямой угол между натуральными осями при прямоугольном проецировании всегда проецируется тупым на плоскость

π΄ (т.е угол между аксонометрическими осями всегда больше 90°).

8

3 Стандартныеаксонометрические проекции

ГОСТ 2.317-69* устанавливает аксонометрические проекции, применяемые в чертежах всех отраслей промышленности и строительства. На практике чаще применяют прямоугольные изометрию и диметрию, а также косоугольную диметрию.

При построении прямоугольных аксонометрических проекций с использованием коэффициентов искажения (которые всегда меньше единицы) приходилось бы выполнять большую вычислительную работу.

Чтобы избежать этого применяют так называемые приведённые коэффициенты (показатели) искажений, которые обозначают U, V, W.

Вводится коэффициент пропорциональности п, который показывает во сколько раз действительные размеры увеличиваются при построении изображения по приведённым коэффициентам.

Uu = Vv = Ww = n; u = Un ; v = Vn ; w = Wn .

3.1 Прямоугольная изометрия

Практическим аксонометрическим чертежом называют такую изометрию, у которой приведенные показатели искажения равны между собой и равны1.

U=V=W=1.

Определим коэффициент пропорциональности п. Учитывая, что

Найдём действительные коэффициенты искажения u =v = w : u = Un = 1,122 = 0,82

Отсюда масштаб в изометрии

Линейные размеры, взятые с плоского чертежа, откладываются по осям без изменений.

9

3.2 Прямоугольная диметрия

Как указывалась выше u = w ≠ v , в приведённых показателях искажения

Определим коэффициент пропорциональности:

3.3 Построение осей в прямоугольных аксонометрических проекциях

Изометрия:

Углы в изометрии между аксонометрическими осями составляют 1200

z

10