Аксонометрия

4.3 Построение овалов, заменяющих эллипсы, в прямоугольной изометрии и диметрии.

На практике, чтобы упростить построение, вместо эллипсов строят овалы, которые состоят из четырех сопрягающихся дуг: двух больших и двух малых. Такие кривые называют циркульные.

4.3.1 Прямоугольная изометрия

Построение овала по двум его осям Первый способ:

Рисунок 4.7

Порядок построения:

1.По направлениям, определяющим большие и малые оси, откладываем величины этих осей: большая ось AB=1,22d, малая ось CD=0,71d;

2.На направлении малой оси откладываем отрезок OE, равный половине большой оси OE=OA;

3.Соединяем точки A и C;

4.Разность полуосей, т.е. отрезок CE откладываем на прямой АС, CE=CF;

5.Отрезок AF делим пополам (циркулем) и через середину этого отрезка проводим к нему перпендикуляр;

21

6.На пересечении этого перпендикуляра с направлениями большой и малой

осей получаем центры O1 и O2 . Два других центра находятся как симметричные точки относительно центра O;

7.Дуги KCN и K1DN1 радиусом O2C=O4D=R1 проводят из центров O2 и O4, а дуги KAK1 и NBN1 – из центров O1 и O3 радиусом O1A=O3B=R2 (рисунок

4.7).

Второй способ. Порядок построения:

O1

Рисунок 4.8

1.Из центра O проводят окружности радиусами равными половине осей эллипса OA и OC.

2.На пересечении этих окружностей с направлениями осей эллипсов

получают точки O1 , O2 - на направлении малой оси CD и O3 , O4 – на направлении большой оси AB;

3.Из полученных центров O1 и O2 .проводят радиусами O1C=R1 и O2D=R1 большие дуги до точек 1, 2, 3, 4.

4.Из центров O3 и O4 радиусами O3A=R2 и O4B=R2 проводим малые дуги (рисунок 4.8).

22

Построение овалов по диаметру изображаемой окружности.

Овал состоит из четырех сопрягающихся дуг: двух большихидвух малых. Для его построения необходимо определить четыре точки, через которые проходят большие дуги, и четыре центра дуг. На рисунке 4.9 показаны три случая расположения овала относительно аксонометрических осей. В плоскости XOY построение доведено до конца, в двух других плоскостях построение остановлено наопределенных этапах.

Рисунок 4.9

Порядок построения:

1.Через центр O проводим аксонометрические оси X, Y, Z. Определим направления больших и малых осей в плоскостях XOZ, XOY и YOZ. Величины больших и малых осей определяются построением.

23

2.Через точки O1 проводим прямые, параллельные: осям OX и OZ в плоскости XOZ,

осям OX и OY в плоскости XOY, осям OY и OZ в плоскости YOZ.

3.Из центра O1 описывают окружность радиусом, равным радиусу изображаемой окружности. В пересечении окружности с проведенными

параллельно осям (см. п2) прямыми получаем четыре точки K1, K2, K3, K4, (плоскость XOZ), через которые пройдут большие дуги. Центры этих дуг находятся на направлении малой оси – точки 1 и 2. Радиусы больших дуг

R равны расстояниям от точки 1 до точек K1 и K2 и от точки 2 до точек K3

и K4.

4.Проведение малых дуг показано на рисунке 4.9 в плоскости XOY. Проведя большие дуги, в пересечении с направлением малой оси отметим

точки C и D, CD – малая ось. Из точки O1 радиусом, равным половине отрезка CD, проводим дуги до пересечения с большой осью овала. Полученные точки 3 и 4 являются центрами малых дуг. Радиусами малых дуг являются отрезки 3K1 = 3K2 = 4K3 = 4K4.

5.Величина большой оси (в плоскости XOY) отрезок AB определится на пересечении малых дуг с направлением большой оси.

4.3.2 Прямоугольная диметрия

Упрощенный способ построения овалов, заменяющих эллипсы в плоскостях XOY и YOZ, предложены проф. В.И. Каменевым.

Построение овала по двум его осям

Порядок построения:

1.По направлениям осей, указанным в п. 4.1.2, откладываем отрезки AB=1,06d и CD=0,35d, где d- диаметр изображаемой окружности (малая ось CD приблизительно равна 1/3 большой оси, т.е. CD=AB/3) (рисунок 4.10).

2.На направлении малой оси от точки O откладываем отрезки

OO1=OO2=AB.

3.На направлении большой оси отмечаем центры малых дуг O3 и O4

AO3 = BO4 = ¼ CD.

4.Из точек O1 и O2 проводим дуги радиусом R1 = O1C = O2D, а из точек O3 и O4 проводим дуги радиусом R2 = O3A = O4B.

24

3.Через точки 3, 4 проводим прямые перпендикулярные оси Z. Эти прямые пересекут малую ось в точках О1 и О3.

4.Из центров О1 и О3 проводим дуги радиусом R1= О1 D= О3С. Из центров О2 и О4 проводим дуги1В4 и 3А2 радиусом R2=O2B=O4A.

Рисунок 4.11

Построение овалов по диаметру изображаемой окружности

Рассмотрим построение овала в плоскости XOZ.

1.Через точку O1 проведем прямые, параллельные осям OX и OZ, на них откладываем отрезки, равные радиусу заданной окружности, получаем точки K1 , K2 , K3, K4, которые будут точками касания дуг овала.

2.Затем строим центры 1 и 2 малых дуг. Для этого в обе стороны по большой оси откладываем отрезки, равные 0,1d, где d – диаметр заданной

окружности. Из центра проводим дуги K1K4 и K2K3 радиусом R1 – O1K1 = O1K2;

3.Известно, что точки касания лежат на прямых, соединяющих центры дуг. Центры больших дуг (3, 4) лежат на направлении малой оси. Точка 3 на продолжении отрезка K21, точка 4 – на продолжении отрезка K42.

4.Из центров 3 и 4 проводим большие дуги овала K3K4 и K2K1 соответственно: из точки 3 радиусом R2=3K3 = 3K4, а из точки 4 радиусом

R2=4K1 = 4K2.

5.Обводим овал циркулем с мягким грифелем (рисунок 4.12).

26

z1

Малая

Рисунок 4.132

5. Построение сферы в прямоугольной изометрии и диметрии

Вычерчивание аксонометрических проекций сферы проводим по приведенным коэффициентам. При этом изображение получится увеличенным в 1,22 раза в изометрии и в 1,06 раза в диметрии.

Для построения овалов можно использовать любой из вышеуказанных способов.

5.1 Сфера в изометрии

При точном построении (с коэффициентом искажения 0.82) большая ось AB = d, малая ось CD = 0,58d, где d – диаметр сферы. При построении без сокращения размеров по осям OX, OY, OZ AB=1,22d, CD=0,71d.

28

Изометрическое изображение сферы дано на рисунке 4.14. Внешний очерк сферы является окружностью радиуса R=d/2 (при точном построении) или R=1,22d/2 по приведенным коэффициентам.

Для наглядности кроме внешнего контура на изображение сферы наносят проекции экваториального и двух меридиальных сечений, параллельных координатным плоскостям. Они изображаются эллипсами с общим центром .

Все построения сохраняются в тонких линиях.

z

Если использовать построение точных проекций с коэффициентами 0,94

и0,47 (по осиx Y), то большая ось AB=d, малая ось CD=0,9AB (Yв плоскости

XOZ); в плоскостях XOY и ZOY AB=d, CD=0,33AB.

При вычерчивании сферы рекомендуется пользоваться только приведенными коэффициентами. Напомним, большие оси во всех плоскостях равны AB=1.06d, а малая ось CD=0,95d в плоскости XOZ, а в плоскостях XOY

иZOY – CD=0,35d.

Внешний очерк сферы – окружность радиуса R=d/2 (при точном построении) и R=1,06d/2 – по приведенным коэффициентам.

Кроме внешнего контура для наглядности нанесены проекции экваториального и двух меридиальных сечений, параллельных координатным плоскостям. Они изображены эллипсами с общим центром (рисунок 4.15).

29

z

x

Y

Рисунок 4.15

5.3 Нанесение штриховки в сечениях

Линии штриховки сечений в аксонометрических проекциях наносят параллельно одной из диагоналей проекций квадратов, лежащих в соответствующих координатных плоскостях, стороны которых параллельны

B

Рисунок 4.16

В изометрии, где приведенные коэффициенты по всем осям равны единице, выбираем масштабную единицу OA=OB=OC и откладываем эти

30