Алексейцев. Плоский изгиб
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию Российской Федерации
ГОУ ВПО «Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова»
А.И Алексейцев, Е.В. Черепанова, С.Я. Куранаков
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ
Методические указания и варианты заданий для студентов машиностроительных специальностей
Барнаул 2008
УДК 620.174(0.75.5) А-478
Алексейцев А.И. Плоский изгиб: Методические указания и варианты заданий для студентов машиностроительных специальностей/ А.И. Алексейцев, Е. В. Черепанова, С. Я. Куранаков; Алт. гос. тех. ун-т им. И. И. Ползунова. – Барнаул, 2008. – 34 с.
Методические указания предназначены для студентов изучающих курс «Сопротивление материалов» и включают в себя варианты решений домашних заданий по подбору сечений при плоском изгибе.
Рассмотрена и одобрена на заседании кафедры «Прикладная механика».
Протокол №2 от 21.10.2008г.
2
Пример 1.
Подобрать указанные типы профилей для стальной балки (рису-
нок 1), если a=2 м, q=15 кН/м, M=qa2 = 60 кН/м, F = qa = 30 кН/м.
=160 МПа.
Рисунок 1
Определим опорные реакции.
M A M q2a 3a RB4a F 5a 0 |
RB 2,5qa |
MB RA 4a M q2a a F a 0 |
RA 0,5qa |
Fz H A 0 |
H A 0 |
После определения опорных реакций делается проверка. Для этого составляется уравнение Fy 0 .
RA RB F q2a 0,5qa 2,5qa q2a qa 0
Так как тождество выполняется, то опорные реакции определены верно.
Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, используя метод сечений (рисунок 2).
Опасным сечением является сечение «В», в котором изгибающий момент максимален.
M xmax qa2 60 кН м.
|
Mxmax |
|
|
60 103Н м |
|
3 |
|
3 |
3 |
|
Wx |
|
= |
|
|
0,375 10 |
|
м |
|
375 см |
. |
|
|
160 106 Н / м2 |
|
|
3
Рисунок 2
а). Сечение балки состоит из двух одинаковых двутавров (рисунок 3).
4
Рисунок 3
Определим момент инерции сечения относительно центральной оси Х, используя правило параллельного переноса осей.
|
h |
2 |
|
||
Iсеч 2 Ix |
|
|
|
A |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 Ix |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Iсеч |
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
Wсеч |
|
|
|
|
|
|
Wx |
375 см |
. |
||
ymax |
|
h |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При подборе сечения применяем метод попыток.
Выбираем двутавр №18. (Ix=1290 см4, h=18 см, A=23,4 см2).
|
|
18 |
2 |
|
||
|
2 1290 |
|
|
23,4 |
||
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
||
Wсеч |
|
|
|
|
|
353,93 375 см3 |
|
18 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
Двутавр №18 условию прочности не удовлетворяет.
Выбираем двутавр №18а. (Ix=1430 см4, h=18 см, A=25,4 см2).
5
|
|
18 |
2 |
|
||
|
2 1430 |
|
|
25,4 |
||
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
||
Wсеч |
|
|
|
|
|
387,5 375 см3. |
|
18 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
Двутавр №18а условию прочности удовлетворяет.
В некоторых случаях необходимо проверить прочность балки по главным напряжениям. Такую проверку целесообразно проводить при выполнении следующих условий:
1.Изгибающий момент и поперечная сила достигают наибольшей величины в одном и том же сечении.
2.Ширина балки резко меняется вблизи границ сечения.
Фактические максимальные напряжения составят:
max |
Mxmax |
|
60 103 |
|
154,8 10 |
6 |
Н / м |
2 |
154,8 |
МПа. |
Wсеч |
387,5 10 |
|
|
|
||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|||
Эпюра нормальных напряжений представлена на рисунке 6а. Касательные напряжения вычисляем по формуле Журавского в
некоторых характерных точках сечения:
Q Sотс .
Ix B
Для нашего сечения Ix=6974,8 см4, Q=40 кН, B – ширина сечения
вточке, где определяется касательное напряжение, Sотс – статический момент отсеченной части сечения. Sотс определяется по формуле:
Sотс Aотс yотс,
где Аотс – площадь отсеченной части, yотс – координата центра тяжести отсеченной площади сечения относительно центра тяжести сечения.
Вточках 1, 7 касательные напряжения равны нулю, т.к. Sотс=0.
Вточках 2, 8
|
|
|
|
|
t |
|
|
3 |
|
|
0,0083 |
|
||
|
|
|
Q b t h |
|
|
|
40 10 |
|
0,10 0,0083 |
0,18 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2,8 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Ix b |
|
|
|
|
6974,8 10 8 |
0,10 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0,84 106 |
Па 0,84МПа |
|
|
|
|
|
|
|||||||
здесь, из таблицы сортамента, ширина сечения B= b = 100 мм = 0,10 м В точках 3, 9
6
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,0083 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Q b t h |
|
|
|
|
|
|
|
40 10 |
|
|
0,10 0,0083 |
0,18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3,9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Ix B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6974,8 10 8 0,0051 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
16,41 106 Па 16,41МПа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Здесь ширина сечения B= s = 5,1 мм = 0,0051 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
В точках 4, 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
s h |
2t |
h |
|
|
|
|
|
40 103 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
4,10 |
|
|
|
|
|
|
b t h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||
|
Ix B |
|
|
|
|
6974,8 10 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0,0051 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,0083 |
0,00510,18 2 0,0083 |
0,18 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x 0,10 0,0083 0,18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
24,84 106 |
Па 24,84 МПа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Здесь ширина сечения B= s = 5,1 мм = 0,0051 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
В точках 5. 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
h 2t |
h |
|
|
40 103 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
5,11 |
|
|
|
|
|
b t h |
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6974,8 10 8 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Ix B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
0,1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,0083 |
|
0,00510,18 2 0,0083 |
0,18 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x 0,10 0,0083 |
0,18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1,27 106 |
Па 1,27 МПа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Здесь ширина сечения B= b = 100 мм = 0,1 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
В точке 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Q |
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 103 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
0,18 |
|
|
||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
25,4 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Ix B |
|
|
6974,8 10 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
0,0051 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
1,31 106 Па 1,31 МПа.
Здесь ширина сечения B= b = 100 мм = 0,1 м, А – площадь сече-
ния.
На рисунке 4 представлены эпюры нормальных и касательных напряжений для заданного типа сечения.
По третьей теории прочности (гипотезе наибольших касательных напряжений) для точки 3 определим эквивалентное напряжение:
7
Рисунок 4
|
2 |
2 |
|
|
2 |
4 16,41 |
2 |
151,26 |
МПа, |
||
экв |
3 |
4 3 147,66 |
|
|
|||||||
где 3 |
|
max y3 |
|
max |
h t |
147,66МПа . |
|||||
ymax |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
||
Прочность балки обеспечена. Двутавр №18а условию прочности удовлетворяет.
б). Сечение балки состоит из двух неравнобоких уголков (рисунок 5).
Рисунок 5
8
Определим момент инерции сечения относительно центральной оси Х, используя правило параллельного переноса осей, и момент сопротивления сечения.
|
|
B |
|
|
|
2 |
|
||||
Iсечx 2 Ix |
|
|
|
|
|
y0 |
|
A , |
|||
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
2 |
|
||||
|
2 Ix |
|
|
|
y0 |
|
A |
||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
Wсечx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
B |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Выбираем уголок №16/10/1,4
(Ix=897 см4, B=16 см, A=34.7 см2, y0=5,4 см).
|
|
|
0,16 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 897 10 8 |
|
|
|
34,7 10 4 |
|
|||
|
|
|
|
0,054 |
|
|
|||
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wсеч x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,16 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
2
282,9 10 6 м3 282,9 см3 375см3. Условие прочности не выполняется.
Выбираем уголок №20/12,5/1,1
(Ix=1449 см4, B=20см, A=34.9 см2, y0=6,5 см).
|
|
|
8 |
|
0,20 |
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
2 1449 10 |
|
|
|
|
0,065 |
|
34,9 10 |
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wсечx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,20 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
375,3 10 6 |
м3 375,3см3 |
375см3. |
|
|
|
|
|||||||
Уголок №20/12,5/1,1 условию прочности удовлетворяет.
в). Сечение балки состоит из двух швеллеров (рисунок 6).
Определим момент инерции сечения относительно центральной оси Х, используя правило параллельного переноса осей, и момент сопротивления сечения.
9
Рисунок 6
Iсечx |
2 Ix |
b z0 2 A, |
|||
Wсечx |
|
2 Ix |
b z0 |
2 A |
|
|
|
|
|
. |
|
|
b |
|
|||
|
|
|
|
|
|
Выбираем швеллер №33
(Iy=410 см4, b=10,5 см, A=34.9 см2, z0=2,59 см).
Wсечx 2410 10 8 0,105 0,0259 2 34,9 10 4 494,02 10 6 м3 0,105
494,02 см3.
Получили очень большой запас прочности.
Выбираем швеллер №24
(Iy=208 см4, b=9 см, A=30,6 см2, z0=2,42 см).
Wсечx 2208 10 8 0,09 0,0242 2 30,6 10 4
0,09
340,64 10 6 м3 340,64 см3.
Условие прочности не выполняется.
10