Алексейцев. Плоский изгиб
.pdf
Выбираем швеллер №24а
(Iy=254 см4, b=9,5 см, A=32,9 см2, z0=2,67 см).
Wсечx |
|
2254 10 8 |
0,095 0,0267 2 |
32,9 10 4 |
383 10 |
6 |
м |
2 |
|
|
|
0,095 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
383 |
см2 375 см2. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Швеллер №24а условию прочности удовлетворяет.
г). Сечение балки состоит из двух швеллеров №14 (Ix=491 см2, b=5,8 см, h=14см, t=0,81см) и двух пластин прямоугольного сечения, сверху и снизу жестко соединенных со швеллерами (рисунок 7).
Требуется определить толщину пластин t.
Рисунок 7
11
|
|
2bh3 |
h |
|
t |
|
2 |
|
Iсечx 2 Ix |
|
|
2bt |
|
|
|
|
, |
|
2 |
|
||||||
|
12 |
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2bt3 |
|
|
h |
|
|
t |
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
2 Ix |
|
|
|
2bt |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
Wсечx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 0,058 t3 |
|
|
|
|
|
0,14 |
|
|
t |
2 |
|||||||||
|
|
2 491 10 8 |
|
|
|
|
2 0,058 t |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||||||
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
375 10 6 м3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
сеч x |
|
|
|
|
0,14 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Откуда t |
0,07 м 7 cм. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
д). Сечение балки состоит из трех прямоугольных пластин (рисунок 8).
Рисунок 8
|
5b b3 |
|
|
b |
2 |
b 6b 3 |
||
Iсечx 2 |
|
5b b |
3b |
|
|
|
|
, |
12 |
|
12 |
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5b b3 |
|
|
b |
2 |
b 6b 3 |
|||
|
|
|
|
2 |
|
5b b |
3b |
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
12 |
|
12 |
|
|
|||||
|
сечx |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
Wсечx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4b |
|
|
|
|
|
|||
|
|
4b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
35,33b3 |
375cм3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Откуда b=2,2см.
е). Сечение балки состоит из прямоугольника с вырезанным центральным отверстием (рисунок 9).
Рисунок 9
Iсеч 5b 8b 3 2b 4 , 12 64
5b 8b 3 2b 4
Wсечx |
12 |
64 |
53,137b3 |
375 см3. |
|
|
4b
Откуда b=1,92 см.
13
Пример 2.
Для рамы (рисунок 10), которая изготовлена из хрупкого мате-
риала, подобрать размеры сечения (рисунок 11), если |
[ ]р=40 МПа, |
[ ]с=120 МПа, а=2 м, q=7,5 кН/м, F=qa=15 кН, |
M=qa2= 30 кНм. |
Рисунок 10
Рисунок 11
14
Построим эпюры продольных сил, поперечных сил и изгибающих моментов, используя метод сечений (рисунок 12).
Рисунок 12
15
Опасным сечением рамы является сечение А, в котором:
Ммах = 60 кНм, Qy=15 кН
Определим положение центра тяжести сложного сечения, разбив его на составляющие два прямоугольника. Сечение симметрично относительно оси У, поэтому необходимо определить только координату Ус.
y |
c |
|
A1 y1 |
A2 y2 |
, где A |
6b |
2, A 8b2 |
, |
y 4b, |
y |
2 |
0,5b. |
||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
A1 |
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
6b |
2 4b 8b20,5b |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
yc |
|
|
|
2b. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6b2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
8b2 |
|
|
|
|
|
||
Определим момент инерции сечения относительно оси Хс.
Ixc Ix1 A1a12 Ix2 A2a22.
|
|
6b 3b |
4, |
Ix |
|
|
b |
38b |
0,667b4, |
|||
|
Ix |
|
|
18b |
2 |
|
|
|
||||
|
12 |
|
|
12 |
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a1 y1 yc |
2b, |
|
|
|
a2 yc y2 |
1,5b. |
|||||
Ix |
18b4 |
6b2 |
2b 2 0,667b4 |
8b2 1,5b 2 |
60,667b4. |
|||||||
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сечение по условию задачи должно быть расположено рационально, т.е. чтобы в растянутой зоне размещалась большая доля материала. Поэтому точку А сечения расположим в сжатой зоне, а точку В в растянутой.
Для точки А условие прочности запишем в виде:
A |
M |
yA сж , |
откуда |
|
60 103 |
5b 120 106 |
, |
||||
|
|
|
60,667b4 |
||||||||
|
Ix |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
60,667b4 |
|
60 103 |
|
, |
b3 41,21 10 6, |
|
|||
|
|
|
5b |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
120 106 |
|
|
|
|
|||
b 3
41,21 10 6 3,454 10 2 м 3,5 см.
Для точки В условие прочности запишем в виде:
B |
|
M |
yB р , |
|
60 103 |
2b 40 106, |
|
|
60,667b4 |
||||
|
|
Ix |
|
|
||
|
|
|
|
16 |
|
|
60,667b4 |
|
60 |
103 |
, |
b3 49,45 10 6, |
2b |
|
106 |
|||
40 |
|
|
|||
b 3
49,45 10 6 3,67 10 2 м 3,7см.
Из двух найденных значений b , принимаем наибольшее.
Определим значения касательных напряжений для характерных точек сечения 1, 2, 3, 4, 5, используя формулу Журавского
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
QySотс |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ixb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Для точек 1 и 5 |
|
S1отс S5отс 0,следовательно 0. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Для точки 2 и 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
S2отс S3отс |
8b b 1,5b 12b3 12 3,7 10 2 3 |
607,836 10 6 м3, |
|||||||||||||||||||||||
|
Для точки 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
S4отс 5b b 2,5b 10b3 12,5 3,7 10 3 3 633,16 10 6 м3. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
QyS2отс |
|
15 103 607,836 10 6 |
9117,54 10 3 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
336551,2 10 10 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Ixb |
60,667 3,7 10 2 48 3,7 10 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
0,27 106 Па. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
QyS3отс |
|
15 103 607,836 10 6 |
|
|
9117,54 10 |
3 |
|||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Ixb |
|
60,667 3,7 10 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 3,7 10 2 |
42068,9 10 10 |
|||||||||||||||
|
|
|
2,167 106 Па. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
QyS4отс |
|
|
|
15 103 633,16 10 6 |
|
|
9497,4 10 3 |
|
2,258 10 |
6 |
Па. |
||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ixb |
|
|
|
|
|
|
|
42068,9 10 10 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
60,667 3,7 10 2 43,7 10 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
На рисунке 13 представлены эпюры нормальных и касательных напряжений для заданного типа сечения
Проверку прочности проводим для точки 3, для которой
19,52МПа, |
2,17МПа. |
17
Рисунок 13
Проверим условие прочности по Третьей теории прочности для плоского напряженного состояния.
эквIII |
|
2 4 2 |
|
19,522 4 2,172 |
19,997МПа р |
Условие прочности выполняется. Окончательно принимаем b=3,7 мм.
18
ЗАДАНИЕ
Определить внутренние силовые факторы, построить их эпюры и подобрать указанные типы сечений.
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
Численные значения
№ |
q, |
P |
M, |
a, |
Вар. |
кН/м |
кН |
кНм |
м |
1 |
2 |
5 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
4 |
6 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
6 |
7 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
4 |
8 |
8 |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
5 |
2 |
9 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
6 |
4 |
5 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
7 |
6 |
6 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
8 |
8 |
7 |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
9 |
2 |
8 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
10 |
4 |
9 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
11 |
6 |
5 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
12 |
8 |
6 |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
13 |
2 |
7 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
14 |
4 |
8 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
15 |
6 |
9 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
№ |
q, |
P, |
M, |
a, |
Вар. |
кН/м |
кН |
кНм |
м |
16 |
8 |
6 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
17 |
2 |
3 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
18 |
4 |
4 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
19 |
6 |
5 |
5 |
1 |
|
|
|
|
|
20 |
8 |
6 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
21 |
2 |
3 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
22 |
4 |
4 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
23 |
6 |
5 |
5 |
1 |
|
|
|
|
|
24 |
8 |
6 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
25 |
2 |
3 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
26 |
4 |
4 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
27 |
6 |
5 |
5 |
1 |
|
|
|
|
|
28 |
8 |
6 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
29 |
2 |
3 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
30 |
4 |
4 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
19
20