Расчет ломаного бруса spektor-rlb

Министерство образования и науки Российской Федерации

ГОУ ВПО «Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова»

С.Г. СПЕКТОР

РАСЧЕТ ЛОМАНОГО БРУСА

Методические указания и домашнее расчетно-графическое задание для студентов машиностроительных специальностей

БАРНАУЛ 2009 г.

УДК 620. 17 (075.5)

Спектор С.Г. Расчет ломаного бруса. Методические указания и домашнее расчетно-графическое задание для студентов машиностроительных специальностей / С.Г. Спектор; Алт. гос. техн. ун-т им. И.И. Ползунова. – Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2009 – 30 с.

В работе приведены варианты домашних заданий и дан пример расчета.

Рассмотрено и одобрено на заседании кафедры «Прикладная механика». Протокол № 6 от 20 марта 2009 г.

Рецензент Л.В. Якименко (АГАУ)

2

Требования к работе и порядок выполнения задания.

Для заданного стального ломаного бруса, элементы которого взаимно перпендикулярны, требуется:

1)вычертить схему бруса в масштабе;

2)построить эпюры внутренних усилий (поперечных сил и изгибающих моментов – в аксонометрии, нормальных сил и крутящих моментов в произвольной плоскости с указанием знака);

3)установить для каждого участка бруса положение опасного се-

чения;

4)построить эпюры нормальных и касательных напряжений в опасных сечениях бруса и определить опасные точки в опасных сечениях;

5)показать напряженное состояние опасных точек опасного сече-

ния;

6)подобрать размеры поперечных сечений при допускаемом на-

пряжении для материала бруса (малоуглеродистая сталь)160МПа;

7) вычислить вертикальное, горизонтальное и угловое перемещения сечений бруса в точках А, В, С.

Расчет провести для бруса, участки АВ и ВС которого имеют круглое поперечное сечение, а остальные – прямоугольное, высота которого - h , а ширина - b . Данные для расчета взять из таблицы 1.

Таблица 1

Общий случай действия сил на брус (сложное сопротивление). Основные понятия.

Центральное растяжение (сжатие), сдвиг, кручение и плоский прямой изгиб относятся к простым видам нагружения.

Во всех этих случаях в поперечных сечениях бруса под действием нагрузки возникает только одно внутреннее усилие – продольная или поперечная сила, крутящий или изгибающий момент. Исключением является лишь общий случай плоского (прямого поперечного изгиба), при котором в поперечных сечениях возникают одновременно два

3

внутренних усилия: изгибающий момент и поперечная сила. Но и в этом случае при расчетах на прочность и жесткость, как правило, учитывается лишь одно внутреннее усилие – обычно изгибающий момент.

Однако, на практике, часто встречаются и более общие случаи, когда в поперечных сечениях бруса одновременно действуют несколько внутренних усилий, учитываемых при расчете на прочность. Эти случаи называются сложным сопротивлением.

Порядок решения таких задач следующий.

Вначале с помощью метода сечений определяют внутренние усилия, возникающие в поперечных сечениях бруса. От этих усилий строят эпюры, позволяющие определить положение опасного сечения. В опасном сечении на основании принципа независимости действия сил определяют нормальные и касательные напряжения и строят их эпюры. Исследуя распределение напряжений в опасном сечении, устанавливают опасную точку, для которой и составляют условие прочности. При этом, если окажется, что в опасной точке имеет место одноосное напряженное состояние, то для расчета на прочность достаточно сопоставить возникающее в этой точке суммарное (т.е. от всех внутренних усилий) нормальное напряжение с допускаемым [ p]и [ c]. В

случае же, если напряженное состояние в опасной точке является двухосным (при расчете бруса случаи трехосного напряженного состояния не встречаются), расчет следует выполнять, применяя гипотезу прочности. Выбор гипотезы прочности определяется состоянием материала (пластическое или хрупкое).

При необходимости определения перемещения используется принцип независимости действия сил.

ПРИМЕР

Подобрать для каждого участка бруса размеры поперечных сечений. Участки АВ и ВС имеют круглое поперечное сечение, CD – пря-

Определить вертикальное перемещение сечения в точке А, горизонтальное в точке В и угловое в точке С (рисунок 1).

4

Рисунок 1

РЕШЕНИЕ

Данный ломаный брус является плоско пространственной системой, т.е. системой плоской в геометрическом отношении, но нагруженной силовыми факторами, действующими в плоскостях, перпендикулярных плоскости бруса (наряду с силовыми факторами действующими в плоскости бруса). В сечениях такого бруса можно ожидать наличие шести внутренних усилий: продольной силы Nz, поперечных

сил Qx и Qy , крутящего момента Mz и изгибающих моментов Mx и My . Для их определения воспользуемся методом сечений и скользя-

щей системой координат, действительной отдельно для каждого из трех участков бруса. На каждом участке координатную ось Z совместим с продольной осью элемента бруса, а оси X и Y- с главными центральными осями инерции поперечных сечений. Положительные направления осей X и Y совпадают с положительными направлениями сил Qx и Qу (рисунок 3, 4, 5).

При определении внутренних усилий будем следовать правилам знаков: - внутреннее нормальное усилие Nz считается положитель-

ным, если в рассматриваемом сечении вызывает растяжение бруса;

- внутреннее поперечное усилие Qx положительно, если при взгляде

с острия оси Y «видно», что она поворачивает отсеченную рассматриваемым сечением часть бруса по ходу часовой стрелки; - внутреннее

5

поперечное усилие Qy положительно, если со стороны положительно-

го направления оси Y «видно», что отсеченную рассматриваемым сечением часть бруса она вращает по ходу часовой стрелки;

- значения изгибающих моментов Mx и My откладываются на

эпюрах со стороны сжатого волокна соответствующего фрагмента бруса;

- внутренний крутящий момент Mz положителен, если при взгля-

де на рассматриваемое сечение со стороны острия оси Z «видно», что он действует по ходу часовой стрелки.

Рисунок 2

Все сечения бруса будем производить со стороны его свободного конца, чтобы не определять опорные реакции заделки. Для построения эпюр внутренних усилий, возникающих под действием внешних усилий, действующих на брус, сначала составим для каждого из трех прямолинейных участков ломаного бруса аналитические выражения изменения величины всех шести компонент внутренних усилий в зависимости от значения местной ординаты z , изменяющейся от нуля до своего конечного значения

Участок АВ (в точке А: z1 0, в точке В: z1 l ).

В соответствие с методом сечений мысленно рассечем ломаный брус в некоторой точке К участка АВ на 2-е части. Рассмотрим состояние свободной (левой незакрепленной) отсеченной части

бруса. Ее взаимодействие с правой отсеченной частью представим дей-

6

ствием на сечение К шести компонент внутренних усилий (см. рисунок

3).

Рисунок 3

Под действием внешней нагрузки, приходящейся на участок АК, и шести внутренних усилий часть бруса АК находится в равновесии: не перемещается вдоль осей координат и не вращается вокруг них. Сформулируем этот факт шестью соответствующими равенствами, записанными в построенной для участка АВ местной системе координат:

Рассечем мысленно ломаный брус в некоторой точке L участка ВС на расстоянии z2 от точки В. Результат взаимодействия разъединенных

частей заменим действием на сечение L шести внутренних усилий (рисунок 4).

Рисунок 4

Сформулируем факт общего равновесия одной из отсеченных частей бруса – части – ABL шестью равенствами, составленными в по-

Мысленно рассечем брус на 2 части в некоторой точке S его участка CD. К образовавшемуся сечению незакрепленной части бруса ABСS приложим шесть компонент внутренних усилий, заменяющих ее взаимодействие со второй отсеченной частью (рисунок 5). Под действием заданной нагрузки и шести компонент внутренних усилий часть бруса ABCS находится в равновесии.

Рисунок 5

Сформулируем этот факт шестью уравнениями, составленными в принятой для участка CD местной системе координат:

Nz 0,5F 0,5ql;

По полученным значениям внутренних усилий строим их эпюры.

Эпюры внутренних усилий

Рисунок 6

10