50. Теорема о гомоморфизме колец.
Теорема
о гомоморфизме колец:
Если
— гомоморфизм кольца на кольцо , то
ядро является идеалом кольца , причём
кольцо изоморфно факторкольцу .
Обратно:
если — идеал кольца , то отображение ,
определяемое условием является
гомоморфизмом кольца на с ядром .
Факторкольцо
кольца целых чисел по модулю главного
идеала, порождённого простым числом ,
является полем.
Идеал
кольца является простым (максимальным)
в том и только в том случае, когда
факторкольцо является целостным кольцом
(полем).
51.
Определение и свойства полей.
52.
Поле вычетов.
53.
Простое поле. Теорема о изоморфизме
простого поля.
54.
Основные понятия теории графов.
55.
Маршруты в графах.
51)
Определение и свойства полей.
Поле
– это коммутативное кольцо с единицей,
в котором каждый ненулевой элемент
имеет обратный относительно умножения,
это формальное обобщение понятия
действительных чисел, это система, в
которой можно выполнять 4 арифметических
действия (+,-,/,*)
Отметим
некоторые свойства полей, вытекающие
из их определения.
1.
Для любого элемента поля 
.
2.
Для ненулевых элементов 
и 
поля 
.
3.
Для любых элементов 
и 
поля 
.
4.
Если 
и 
,
то 
.
52)
Поле вычетов.
Минимальное
натуральное n
такое,
что ne
=
e
+
.
. . +
e=
0,
|
{n
}
где
e_
единичный
элемент.
Если это не верно ни для какого натурального
числа, говорят, что поле
имеет
характеристику нуль.
53) Простое поле. Теорема о изоморфизме простого поля.
54) Основные понятия теории графов.
|
Граф G —
это совокупность двух конечных
множеств: множества точек, которые
называются вершинами, и
множества пар вершин, которые
называютсяребрами. На
рис. 10.4.1 изображен граф, имеющий, пять
вершин и шесть ребер. Если рассматривается
множество упорядоченных пар точек,
т.е. на каждом ребре
задается
направление, то граф G называется ориентированным.
В противном
случае G
называется неориентированным
графом.
Ребра,
имеющие одинаковые концевые вершины,
называются параллельными. Ребро,
концевые вершины которого совпадают,
называется петлей. На
рис. 10.4.1 а4 и а5 — параллельные
ребра, a а6 —
петля.
Вершина
и ребро называются инцидентными друг
другу, если вершина является для
этого ребра концевой точкой. На рис.
10.4.1 вершина Р3 и
ребро а3инцидентны
друг другу.
Две
вершины, являющиеся концевыми для
некоторого ребра, называются смежными
вершинами. Два
ребра, инцидентные одной и той же
вершине, называются смежными
ребрами. На
рис. 10.4.1 Р1 , Р2 — смежные
вершины, а а1,
а4 —
смежные ребра.
Степенью
вершины называется
число ребер, инцидентных ей. Вершина
степени 1 называется висячей. Вершина
степени 0 называется изолированной. На
рис. 10.4.1 степень вершины Р1 равна
трем, Р4 —висячая
вершина, Р5 —изолированная.
Теорема
1. В
графе G сумма
степеней всех его вершин — число
четное, равное удвоенному числу
ребер графа:
Теорема
2. Число
нечетных вершин любого графа, т.е.
вершин, имеющих нечетную степень,
четно. Граф G называется полным, если
любые две его различные вершины
соединены ребром и'он не содержит
параллельных ребер. |
|
|
Путем в
графе называется такая последовательность
ребер, ведущая от некоторой начальной
вершины Р1 в
конечную вершину Рn,
в которой каждые два соседних ребра
имеют общую вершину и никакое ребро
не встречается более одного раза.
Например, в графе, изображенном на
рис. 10.4.1, последовательность ребер (а1,
а2, а3, а4, а5, а6) образует
путь, ведущий от вершины Р1 к
вершине Р4.
Циклом называется
путь, начальная и конечная вершины
которого совпадают. На рис. 10.4.1 ребра
(a1,
a3,
a4)
образуют цикл.
Цикл
графа G называется простым, если
он не проходит ни через одну
вершину G более
одного раза. Длиной
пути или
цикла называется число ребер этого
пути или цикла. |
|
