- •31. Замыкание множества булевых функций.
- •38. Определение и свойства групп.
- •39. Группа подстановок.
- •40. Подгруппы. Пересечение подгрупп. Циклические подгруппы.
- •41.Теорема о подгруппе циклической группы.
- •42. Порядок элемента группы. Теорема о циклической подгруппе.
- •43. Разложение группы по подгруппе. Теорема Лагранжа.
- •44. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Ядро гомоморфизма. Изоморфизм циклических групп.
- •45. Нормальные подгруппы. Фактор-группы.
- •46. Теорема о гомоморфизме групп.
- •47. Определение и свойства колец.
- •48. Гомоморфизмы колец.
- •49. Идеалы, классы вычетов, фактор-кольца.
- •50. Теорема о гомоморфизме колец.
- •53) Простое поле. Теорема о изоморфизме простого поля.
- •54) Основные понятия теории графов.
- •55) Маршруты в графавах.
- •56) Матрица смежности и матрица инцидентности.
- •57) Алгоритмы обхода графа в ширину и глубину.
- •58) Алгоритмы Дейкстры.
39. Группа подстановок.
Рассмотрим сейчас более подробно подстановки (т. е.преобразования) на множестве первых n натуральныхчисел 1, 2, . . . , n; эти подстановки называют подстановками n-й степени.Подстановки на произвольном множестве с n элементами можно свестик рассматриваемым подстановкам, для чего достаточно занумеровать элементы множества натуральными числами
1, 2, . . . , n. Произвольную подстановку n-й степени можнозаписать в виде
_
1 2 . . . n
i1 i2 . . . in
_
, где im —это образ элемента m
при данной подстановке. Напомним, что подстановка —
взаимно однозначное отображение, поэтому все элементы
в нижней строке различны.
40. Подгруппы. Пересечение подгрупп. Циклические подгруппы.
Рассмотрим в группе G некоторое подмножество элементов . Может оказаться, что само является группой относительно той же бинарной операции, которая заданана G.
В этом случае H называют подгруппой группы G. Теорема: для любого элемента а группы G множество {а}={ak|K=0,±1,±2…..}≤G
Является абелевой подгруппой.
Теорема: пересечение 2-х подгрупп является подгруппой.
Тогда a,b€H∩P=> ab€H и ab€P => ab€H∩P e€H и e€P => e€H∩P, a€H∩P=>a-1€H€P=>a-1€H∩P
Определение: подруппа {а} называется циклической подгруппой порожденной элементом а.
Пример: G –подгруппа целых чисел относительно операции сложения. Подмножество четных чисел является подгруппой G/подгруппа четных чисел является циклической подгруппой {2}
Определение: Группа G называется циклической, если совпадает с одной из своих циклических подгрупп, т.е. множество можно представить в виде : G={a}={ak|k>0±1,±2,…}
41. Теорема о подгруппе циклической группы.
42. Порядок элемента группы. Теорема о циклической подгруппе.
43. Разложение группы по подгруппе. Теорема Лагранжа.
44. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Ядро гомоморфизма. Изоморфизм циклических групп.
45. Нормальные подгруппы. Фактор-группы.
41.Теорема о подгруппе циклической группы.
Теорема: Любая подгруппа циклической группы является циклической Доказательство: Пусть H подгруппа группы G={а}.Тогда аH€H=>(ak)-1=a-k€H
Пусть k-минимальное положительное число такое, что ak €H.Пусть an€H,n>k, и n не делится на k.Тогда n=pk+r ,где 0<r<k, ar=ara-pk€H, что противоречит выбору k следовательно H={ak}
42. Порядок элемента группы. Теорема о циклической подгруппе.
Определение : порядком элемента а называется наименьшее положительное число n, такое что an=e.
Теорема: пусть а имеет порядок n, тогда {a}={e,a,a2,….an-1}
Доказательство: все элементы последовательности e,a,a2,….an-1 различны.
Пусть ak=ar k,r<h, k>r. Тогда ak-r =e, k-r<n. Следовательно порядок элемента а меньше n,что противоречит исходному условию.
Любая другая степень а положительная или отрицательная совпадает с одним из элементов этой последовательности! Пусть |k|≥n. Тогда k=np+r, 0≤r<n,
ak=(an)par=epar =ar€{ e,a,a2,….an-1}. Следовательно {a}={ e,a,a2,….an-1}. Определение: подгруппа {а} называется циклической подгруппой порожденной элементом а.