46. Теорема о гомоморфизме групп.
Отображение является гомоморфизмом и называется естественным гомоморфизмом f:G→R f-гомоморфизм группы G на группуR, тогда kerf есть нормальный делитель группы G
Теорема о Гомоморфизмах: пусть F:G→R (f-гомоморфизм G на R),тогда группа R изоморфна(??) фактор группе G/kerf
Гомоморфизм отличается от изоморфизма тем, что при гомоморфизме не требуется взаимной однозначности.
47. Определение и свойства колец.
Определение: кольцо– алгебраическая структура с 2-мя алгебраическими операциями.<K,+,·> При этом выполняется следующее условия по отношению к слож.
<K,+>-кольцо является абелевой группой(коммунитативной)
<K,·> -полугруппа
Выполняется законом дистрибутивности
Полугруппа алгебраической структуры одной бинарной операции которая обладает свойством ассоциативности:
<K,+>-0(единичный элемент)-а(противоположный элемент)
<K,·> множество целых чисел <Z,+,·> образуют кольцо f(x)=a0xn+an-1+….an
Определение: подкольцо множества L подмножества K L€Kявляется подколькцо, если L является кольцом.
Теорема: L€K подкольцом , когда ¥а,b€L: a-b€L и ab€L
<L,·> a,b€L ab€L (ab)c=a(bc)
Дистрибутивность a(b+c)=ab+ac€L
L-множество чисел <Z,+,·>
a=2nb=2m
a-b=2(n-m) €L
ab=4nm€L Свойства колец (R,+,.)
1.Так как (R,+) - абелева группа, то: существует, и единственный, нейтральный элемент относительно сложения 0 ; для любого существует, и единственный, противоположный элемент -a (т. е. a+(-a)=0 ); уравнение x+b=a имеет, и единственное, решение x=a-b=a+(-b).
2.Справедлив обобщенный закон ассоциативности для умножения, т. е. результат произведения для n сомножителей не зависит от расстановки скобок; единичный элемент 1 - единственный нейтральный элемент (см. теорему 1.3.2).
3.Проводя индукцию по n, убеждаемся в том, что (a1+...+an)b = a1b+...+anb; b(a1+...+an) = ba1+...+ban.
4.Так как a0=a(0+0)=a0+a0, то a0=0. Аналогично, 0a=0.
5.Так как ab+(-a)b=(a+(-a))b=0b=0, то (-a)b=-ab. Аналогично, a(-b)=-ab. Поэтому (-a)(-b)=-(a(-b))=-(-ab)=ab.
6.(a-b)c=(a+(-b))c=ac+(-b)c=ac-bc, c(a-b)=c(a+(-b))=ca+c(-b)=ca-cb, т. е. дистрибутивность для разности.
48. Гомоморфизмы колец.
f:<K,+,·>
<L,
,
>
Называется
гомоморфизмом, если для любых
a,b€K:f(a+b)=f(a)
f(b)
Взаимнооднозначный гомоморфизм-изоморцизм. Область значений Imf={f(a)|a€K}
Kerf={a€K|f(a)=f(°)}
Область значения и ядро гомоморфизма-являются подкольцами.
Теорема: Область значений f является подмножеством L
Imf€L ; Kerf€K
49. Идеалы, классы вычетов, фактор-кольца.
Пусть K-коммутативное кольцо <K,+,·> ab=ba
Подкольцо L€K называется идеалом , если ¥a,b: a€L, b€ a€L, b€K LK€L
Пусть R - кольцо. Подмножество называется левым идеалом кольца R, если:
I - подгруппа аддитивной группы (R,+) кольца R ;
для любого элемента (т. е. для всех ).
-Аналогично определяется правый идеал.
Если подмножество I в кольце R является и левым и правым идеалом, то I называется двусторонним идеалом кольца R (т. е. I - подгруппа в (R,+), , для всех ). Для двустороннего идеала I кольца R будем использовать обозначение .
Если R - коммутативное кольцо, то подмножество является идеалом кольца R, называемым главным идеалом, порожденным элементом .
Множество всех чисел сравнимых с a по модулю n называется классом вычетов a по модулю n, и обычно обозначается или . Таким образом, сравнение равносильно равенству классов вычетов .
Поскольку сравнение по модулю n является отношением эквивалентности на множестве целых чисел , то классы вычетов по модулю n представляют собой классы эквивалентности; их количество равно n. Множество всех классов вычетов по модулю n обозначается или .
Операции сложения и умножения на индуцируют соответствующие операции на множестве :Относительно этих операций множество является конечным кольцом, а для простого n — конечным полем.
Факторкольцо —это кольцо классов вычетов некоторого кольца по модулю его идеала .
Классы вычетов по модулю идеала определяются как смежные классы кольца по аддитивной подгруппе . Класс вычетов, содержащий элемент обычно обозначается . Два различных элемента кольца, принадлежащие одному классу вычетов, называются равными по модулю идеала.