43. Разложение группы по подгруппе. Теорема Лагранжа.

Пусть H подгруппа группы G .Рассмотрим бинарное отношение

R_H={(a,b)|a^-1b€H}

Теорема отношение R_H является отношением эквивалентности .

Доказательство: Рефлейсивность: a­^-1a=e€H=>(a,a) €R_H

Симметричность: (a,b) €R_H =>a^-1 b=h€H=> b^-1a=h^-1€H=>(b,a) €R_H

Транзитивность: (a,b) €R_H,(p,c) €R_H=>a^-1b=h₁€H, b^-1c=h₂€H=>

c=bh₂ =>a^-1c=a^-1bh₂₌h₁h₂€(a,b) €R_H

Определение: Левые смежные классы группы G подгруппы H есть множество

a H={a^h (h€H}

Теорема: Классы эквивалентности отношения R_H есть левые смежные классы G по H [a]=aH

Доказательство: b€[a]a^-1b=h€Hb=ah € aH Левые смежные классы образуют разбиения группы. Аналогично определяются правые смежные классы.

Теорема Лагранжа: пусть G конечная группа порядка n, H подгруппа G порядка K, тогда n делится на K Доказательство: Все левые смежные классы содержат ровно K элементов, т.к.из равенства ah₁= ah₂ , h₁h₂ €H следует h₁=h₂

Пусть Р есть число различных смежных классов, тогда n=kp

44. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Ядро гомоморфизма. Изоморфизм циклических групп.

Определение: Отображение f группы G на группу H называется гомоморфизмом, если для любых a,b€G f(a,b)=f(a)f(b)

Определение: взаимно однозначный гомоморфизм называется изоморфизмом

Теорема: пусть f есть гомоморфизм G на H . Тогда f(e) есть единичный элемент ВH,f(a^-1)=f^-1 (a)

Доказательство:

1)h=f(a) €H=>hf(e)=f(a)f(e)=f(a,e)=f(a)=h

F(e)h=f(e)f(a)=f(e,a)=f(a)=h

2)a€G=>f(a)f(a^-1)=f(aa^-1)=f(e) f(a^-1)f(a)=f(aa^-1)=f(e)=>f(a^-1)=f^-1(a)

Определение: ядром гомоморфизма f группы G на группу H называется множество ker f={a€G | f(a)=f(e)} Теорема: ядро f является подгруппой G

Доказательство:a,b€kerf=>f(a,b)=f(a)f(b)=f(e)f(e)=f(e)=>a,b€kerf

a€kerf =>f(a^-1)=f^-1(a)=f^-1(e)=f(e)

Теорема: все бесконечные циклические группы изоморфны .Все конечные циклические группы данного порядка n изоморфны.

Доказательство: G={a}, H={b},f(a^k)=b^k

G={ a^k /k=0,±1….}

H={ b^k /k=0±1…..}

Теорема: если G-бесконечно циклическая группа ,то G изоморфна любой своей подруппе, т.к. любая подгруппа бесконечно циклической группы бесконечна

45. Нормальные подгруппы. Фактор-группы.

Определение: Подгруппа H группы G H≤G называется нормальной подгруппой или нормальным делителем группы G, если левостороннее разложение группы G по подгруппе H совпадает с правосторонним.

(для любого)¥а€G=>aH=Hc

aH={ah/h€H} То любая ее подгруппа называется нормальной . Элементы a,b€G называются сопряженными ,если существует (сущ)Ex€G:xa=bx или ax=bx, a=x^-1bx, a=xbx^-1

Две матрицы А и В называются подобными , если A=pBp^-1

У подобных матриц совпадает вырожденные числа и харктерист. многочлены.

Теорема: H € G является нормальной, когда H содержит все элементы сопряженные элементам Н aH€H, b сопр.а, то b€H

aH=Haax=bx, тогда ф и b явл. Сопряженными.

Пусть H и P- 2 нормальных делителя группы G,тогда Н∩Р- нормальный делитель группы G

a€ Н∩Р=>b=x·a·x^-1€ Н∩Р

Пусть H и P-два подмножества группы G

Н·Р={hp/h€H,p€P}

H-нормальная подгруппа группы G

xH, где x€G-левые смежные классы

xH·xH=(xy)HH=(xy)H

1)Aaaaa…

2)eH=H

3)(aH)^-1=a^-1H

Построенная т.о. группа называется фактор группой G/H

Пусть G-абелева группа ,тогда фактор группа тоже является абелевой G-циклической группой, тогда фактор группа тоже явл. циклической.

Очевидно также, что порядок факторгруппы равен натуральному числу n/m, где n — порядок группы G,а m — порядок нормальной подгруппы N. Например, факторгруппа группы симметрий квадрата по подгруппе центральных симметрий

содержит 4 элемента.

46. Теорема о гомоморфизме групп.

47. Определение и свойства колец.

48. Гомоморфизмы колец.

49. Идеалы, классы вычетов, фактор-кольца.

50. Теорема о гомоморфизме колец.