2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

2.1. Классификация математических моделей

При системном подходе к разработке с применением ЭВМ прибор выступает как объект моделирования, т. е. происходит не только построение модели, но и исследование ее с последующим переносом полученной информации на моделируемый объект [11; 21].

Поскольку одним из главных элементов процесса разработки приборов и систем служит проведение расчетов в соответствии с проектными задачами, то используемые при этом модели физических (электрических, электромагнитных, тепловых, механических и пр.) процессов ПС будем называть расчетными моделями.

Уточним определение расчетной модели ПС. Под расчетной моделью понимается представленное в той или иной форме математическое описание, которое адекватно отражает сущность и характерные свойства рассматриваемого физического процесса, протекающего в схеме или конструкции прибора (включая специальные механизмы и устройства), и используется для проведения расчетов при его проектировании. Каждая расчетная модель является результатом математической формализации схемы или конструкции ПС с точки зрения рассматриваемого физического процесса.

Степень соответствия модели реальным процессам, протекающим в ПС, определяет точность расчетов, проводимых на ее основе, и зависит от полноты учета существенных сторон моделируемых процессов.

Инженерные цели разработки ПС часто не требуют построения особо точных моделей, и термин «расчетная модель» подчеркивает наличие того уровня точности, какой необходим для практики расчетов в задачах проектирования. Обеспечить необходимую точность расчетов в задачах проектирования ПС можно при выполнении определенной формализации протекающих в ПС физических процессов и при последующем использовании унифицированных исходных расчетных моделей.

Формализация предполагает осуществление таких принципов построения расчетных моделей, которые достаточно полно отражают в модели сущность и характерные стороны рассматриваемых физических процессов в ПС для любых вариантов схемно-конструкторских реализаций приборов и различных условий их эксплуатации.

Унификация расчетных моделей предполагает единообразие принципов их построения для процессов, различных по физической природе. Последнее как раз является предпосылкой системного подхода при моделировании ПС, направленном на учет взаимосвязи разнородных физических процессов, одновременно протекающих в схемотехнических и конструкторскотехнологических реализациях ПС.

2.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

2.1.Классификация математических моделей

Под топологической расчетной моделью понимается математическая модель, изображенная как эквивалентная электрическая, механическая или тепловая цепь или в общем виде как ненаправленный топологический граф, на котором заданы переменные величины и параметры рассматриваемых физических процессов и который полностью определяет физическую взаимосвязь этих переменных через параметры.

Под морфологической расчетной моделью понимается математическая модель протекающих физических процессов, представленная в форме соединения многополюсников или ненаправленного морфологического графа (гиперграфа), определяющих способ построения рассматриваемого схемноконструкторского решения прибора из выделенных составных частей.

Перечисленныевидырасчетныхмоделейрассматриваютсяв[8; 10; 11; 21]. Кратко остановимся на наиболее часто встречающихся в практике ав-

томатизированного проектирования ПС моделях.

2.1.1. Аналитическиерасчетныемодели

Рассмотрим типовые, часто встречающиеся на практике формы аналитических расчетных моделей ПС. Наиболее общая форма аналитической расчетной модели – нелинейная вектор-функция, которая может быть явной функциональной зависимостью

или неявной функциональной зависимостью

Следовательно, примером аналитической модели вида (2.1) или (2.2) может служить любая формула, связывающая входные характеристики прибора с его внутренними параметрами.

Например, в качестве электрической модели экранирования электрического поля конструкции ПС (рис. 2.2) можно привести зависимость

где x( ) E( ) – напряжение источника наводки в функции частоты сигнала; y( ) U( ) – наводимое напряжение на заданном элементе приемника наводки конструкции ПС; q1 Cи.п,q2 Cэ.п,q3 Cп.к – емкости между источни-

ком и приемником наводки, между экраном и приемником наводки, между приемником наводки и корпусом прибора.

2.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

2.1.Классификация математических моделей

Рис. 2.2. Схема формализации конструкции прибора при анализе экранирования электрического поля

Примером аналитической расчетной модели механического типа в виде (2.1) может служить часто используемая зависимость частот собственных колебаний прямоугольных печатных узлов как пластин (рис. 2.3), закрепляемых в четырех угловых точках винтами в блоках ПС:

где y1 f j – j-я резонансная частота колебаний рассматриваемого печатного узла ПС; nj и m j – количество узловых линий по малой и большой сторонам

прямоугольного печатного узла, соответствующих j-й форме собственных колебаний; g – ускорение свободного падения; q1 b1 – размер меньшей

стороны платы печатного узла; q2 – приведенная плотность печатного узла, усредняющая плотность материалов всех слоев печатной платы и рас-

обобщенный физико-механический параметр печатного узла, называемый цилиндрической жесткостью, причем q5 E – приведенный модуль упругости,

q6 – приведенный коэффициент Пуассона.

Пример тепловой аналитической модели в форме (2.1) возьмем из технологии пайки ПС. Рассмотрим модель нагрева вывода РЭ при пайке его на печатной плате методом погружения в расплавленный припой.

2.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

2.1.Классификация математических моделей

Рис. 2.3. Схема формализации печатной платы при анализе ее резонансных явлений

Тв

ЭРЭ l

Припой (Тп)

Рис. 2.4. Формализованная схема представления пайки вывода ЭРЭ

Если представить вывод РЭ (рис. 2.4) как полуограниченный стержень, конец которого находится при температуре припоя x TП , то температура

пературопроводности материала вывода.

2.1.2. Структурныерасчетныемоделифизическихпроцессов

Известно, что структурная схема определяет основные функциональные части изделия, их назначения и взаимосвязи. На основе структурной схемы прибора может быть построена его электрическая структурная модель, которая в дополнение к структурной схеме с помощью математических операторов устанавливает точные количественные описания взаимосвязей переменных величин, характеризующих отдельные части ПС. Распространение понятия структурной модели на механические, тепловые и другие физические процессы, протекающие в конструкции ПС, позволило сформулировать ее общее определение как математической модели, раскрывающей внутреннее строение аппаратуры с точки зрения последовательности преобразования характерных переменных величин в соответствии с принятыми причинно-следственными связями в протекающих физических процессах.

Фактически любая структурная модель раскрывает общее операторное описание рассматриваемого физического процесса через множество других математических операторов, характеризующих протекание этого процесса в отдельных частях аппаратуры. Так как переменные физические величины взаимно связаны между собой, причем одни из величин могут быть выбраны как причина, другие – как следствие (например, тепловой поток на участке конструкциипричина, аразностьтемпературна этомучастке– следствие или наоборот; то же самое относится к деформациям и силам в механических процессах и т. д.), то общий оператор может быть представлен различными структурными моделями [10; 11].

Более наглядными являются те модели, в изображении которых повторяются контуры конструкции аппаратуры. Однако требования упрощения, снижения трудоемкости исследований параметрической чувствительности ПС могут привести к необходимости эквивалентного преобразования исходной структурной модели.

Обычно рассматриваются две унифицированные формы структурных моделей ПС и технологических процессов.

Наиболее лаконичное отображение структуры причинно-следственных отношений переменных величин исследуемых физических процессов, протекающих в конструкциях ПС и технологического оборудования, можно осуществить на направленных (ориентированных) графах. Направленный граф с заданными на нем передаточными операторами последовательного преобразования характерных переменных величин рассматриваемого физического процесса будем называть структурной расчетной моделью.

Это первая из унифицированных форм структурных расчетных моделей. По виду физического процесса будем различать электрические, механические, тепловые и прочие структурные расчетные модели, каждая из которых дает структурное разложение общего операторного описания соответствующего процесса, протекающего в схеме или конструкции аппаратуры. Сущность унифицированного линейного представления структурных расчет-

2.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

2.2.Функции параметрической чувствительности

ных моделей в форме направленных графов можно охарактеризовать следующими положениями.

1.Структурная модель состоит из вершин (изображаемых точками) и дуг (представленных непрерывными линиями), которые ориентированы стрелками, причем каждая дуга соединяет две вершины, т. е. выходит из одной и входит в другую в соответствии с направлением стрелки.

2.Все вершины нумеруются, и каждой из них ставится в соответствие

одна переменная величина – входное воздействие xi , выходная характеристика yi или промежуточная переменная величина yi .

3.Переменная величина каждой вершины передается по тем направлениям, которые указаны стрелками дуг, выходящих из этой вершины.

4.Каждая дуга модели характеризуется передаточным оператором Wij ,

где i – номер вершины, из которой выходит дуга (начало дуги), а j – номер вершины, в которую она входит (конец дуги). Передаточный оператор Wij

приложен к переменной i вершины при передаче ее в вершину j.

5. Переменная величина любой r-й вершины модели складывается из составляющих, обусловленных передачами переменных величин по дугам,

входящим в рассматриваемую r-ю вершину: er Wijei , где i принимает

i

значения номеров только тех вершин, откуда начинаются дуги, входящие в r- ю вершину. Переменные величины некоторых вершин, являющиеся входными воздействиями модели, не имеют входящих дуг, так как эти величины должны быть заданы в исходной информации к расчету.

Для нелинейных структурных моделей должны быть введены дополнительные понятия в определения, однако для линейных моделей вышеприведенные пункты достаточны для полного задания этих моделей и дальнейшего их исследования. Очевидно, некоторые методы проектных исследований ПС и технологических процессов могут потребовать предварительного эквивалентного преобразования исходной структурной модели с целью ее упрощения и приведения к определенному виду. Достоинством структурных моделей в форме направленных графов является относительная простота их преобразования, основанного на совокупности элементарных правил, вытекающих из определения модели, данного выше в пяти пунктах. Некоторые элементарные правила эквивалентных преобразований приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1 Правила эквивалентных преобразований структурных моделей,

заданных в форме направленных графов

2.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

2.2.Функции параметрической чувствительности

Как при построении исходной структурной модели, так и при ее преобразованиях не должен нарушаться основной принцип причинно-следственной связи переменных величин моделируемого физического процесса, фигурирующих в модели: каждая переменная величина (кроме воздействий) должна только один раз рассматриваться в модели как следствие действия других переменных величин. Это означает, что в структурной модели должна быть только одна вершина с рассматриваемой переменной величиной, причем если эта величина не воздействие, то к ней должна подходить хотя бы одна дуга. Отходить от нее может любое число дуг, но может не отходить и ни одной дуги. При автоматизированном построении структурной модели на ЭВМ сформулированный принцип должен выполняться автоматически.

Примеры структурных моделей ПС рассмотрим ниже, после описания второй формы этих моделей, изображаемой в виде блок-схем. Эта форма широко используется при проектных исследованиях функциональных возможностей ПС и прежде всего его схем. При определенных условиях эта форма может быть успешно принята как унифицированная для структурного моделирования не только электрических процессов в схемах, но и других физических процессов, протекающих в конструкциях аппаратуры. Такую возможность легко обосновать тем, что структурные схемы можно рассматривать как своего рода направленные графы, у которых блоки играют роль дуг, а стрелки у блоков – роль вершин графа. Особенность этой формы направленного графа состоит в том, что дуги в нем характеризуются не передаточными операторами, как в рассмотренной выше первой форме графа, а переменными величинами, и соответственно блоки структурных моделей, изображаемые прямоугольниками, характеризуются не переменными величинами, а передаточными операторами. Такая форма изображения структурной модели нередко

2.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

2.2.Функции параметрической чувствительности

оказывается нагляднее, особенно если каждый блок модели отождествляется с соответствующими функциональными и конструктивными узлами аппаратуры, в которых протекает исследуемый физический процесс.

Однако в окончательном представлении с учетом требований унификации вид структурной модели во второй форме (блок-схеме) может оказаться иногда несколько сложнее, чем в первой (направленном графе). Это связано с наличием во второй форме структурных моделей помимо блоков и стрелок дополнительных элементов разветвления переменных величин, изображаемых точками на стрелках. От этих точек отходят новые стрелки с теми же переменными величинами. Там же содержатся новые элементы суммирования переменных величин, изображаемых кружками с несколькими входящими стрелками и отходящей одной стрелкой с переменной величиной, равной алгебраической сумме переменных величин входящих стрелок. Указанные элементы в изображении структурных моделей обязательно нужны, поскольку каждый линейный блок модели имеет только одну входящую и только одну выходящую стрелку.

Правила эквивалентных преобразований структурных моделей, представленных в форме блок-схем, аналогичны приведенным в табл. 2.1.

Пример. Структурная схема прибора автоматической подстройки частоты приведена на рис. 2.5. Структурные электрические модели этого устройства в двух, рассмотренных выше, формах представления показаны на рис. 2.6. Обе формы модели в данном случае являются наглядными, так как в их изображениях повторяются контуры структурной схемы моделируемого устройства, отражаются все переменные величины и передаточные операторы узлов устройства.

Рис. 2.5. Устройство автоматической подстройки частоты: С – смеситель; У1, У2 – усилители; Д – дискриминатор; УУ – узел управления; Г – гетеродин

а

2.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

2.2.Функции параметрической чувствительности

W3 W УГ W2 W ДУ

в

Рис. 2.6. Структурная электрическая модель устройства автоматической подстройки частоты в первой (а, б) и второй (в) унифицированных формах представления

При этом на рис. 2.6 приняты следующие обозначения операторов: W CУ 1(q1S 1) – передаточный оператор смесителя с усилителем промежу-

точной частоты, причем S – переменная Лапласа; W ДУ q4 (q2S 1) – передаточный оператор дискриминатора с усилителем постоянного тока; W УГ q5 (q3S 1) – передаточный оператор гетеродина с узлом управления.

Даже для простого случая, представленного на рис. 2.6, сравнение двух форм структурных моделей показывает, что в первой форме – форме направленного графа – появляются «лишние» передаточные операторы, равные 1

или –1 (рис. 2.6, а) или повторяющиеся основные операторы WCУ и WДУ (рис. 2.6, б), а во второй форме – форме блок-схемы – число передаточных операторов минимально, что является более предпочтительным.

2.1.3. Топологическиерасчетныемоделифизическихпроцессов

Название рассматриваемой модели связано с топологией – разделом математики, изучающим такие свойства геометрических фигур и объектов, которые инвариантны при непрерывном пространственном преобразовании. В ПС объектами моделирования являются протекающие в схемах и конструкциях физические процессы. Для конкретного прибора конструкции топологические свойства процессов проявляются в наличии определенного количества областей, состояния которых можно характеризовать потенциальными переменными (электрические потенциалы, пространственные координаты

2.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

2.2.Функции параметрической чувствительности

положения, температуры), и потоков субстанции (электрических зарядов, механических импульсов, тепловой энергии) между этими областями и т. п.

Топологическое свойство моделируемых процессов в ПС состоит в том, что для заданного проектного решения количество таких областей (линий, точек) и определенных потоковых связей между ними остается неизменным (инвариантно) при сохранении непрерывности в пространственных преобразованиях прибора: смещении радиоэлементов и конструктивных элементов; изменении в определенных пределах их размеров, физических свойств (электропроводности, механической жесткости, теплоемкости и пр.).

Непрерывность пространственных преобразований нарушается, например, при введении новых конструктивных элементов (радиаторов для транзисторов, экранов и пр.) или принципиальных изменениях конструкции (удаление радиоэлементов, использование одной печатной платы с двусторонним монтажом вместо двух плат с односторонним монтажом и пр.). Подобные изменения приводят к необходимости проведения соответствующих изменений в топологических моделях.

Таким образом, при построении топологической модели для заданного проектного решения ПС необходимо правильно выделить области характерных потенциалов, играющих существенную роль в рассматриваемом физическом процессе, и пути потоков переноса соответствующей субстанции. При исследованиях параметрической чувствительности это соответствует этапу формальной интерпретации физических процессов ПС и построению исходных физических моделей.

Сущность топологических моделей, представляемых в унифицированной форме ненаправленных графов (рис. 2.7), охарактеризуем следующими положениями.

2.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

2.2.Функции параметрической чувствительности

Пассивная ветвь

(n – номер параллельной ветви)

в

Рис. 2.7. Пассивная (а), активные независимые (б) и зависимые (в) ветви топологических моделей

1.Топологическая модель состоит из узлов, изображаемых точками, и ветвей, изображаемых непрерывными линиями, причем каждая ветвь соединяет два узла (рис. 2.7, а).

2.Все узлы модели нумеруются от 0 до n, и каждому узлу соответству-

ет одна потенциальная переменная величина (потенциал) φi рассматриваемого физического процесса (рис. 2.7, а), где i – номер узла. Потенциал одного из узлов, называемого базовым, принимается за нуль и является точкой отсчета для потенциалов других узлов.

3. Каждая ветвь модели получает номер ijk, где i > j – номера тех узлов, которые соединяет данная ветвь; k = 1, 2, ... – номер параллельной ветви между узлами i и j. Ветви присваивается потоковая переменная величина (поток) рассматриваемого физического процесса, причем этой переменной условно приписывается направление от узла i к узлу j, так что при рассмотре-

2.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

2.2.Функции параметрической чувствительности

нии противоположно направленной переменной будем иметь ijk jik .

Для определенности в алгоритмах расчета часто рассматривается величинаijk (i > j), которая может принимать как положительные, так и отрицатель-

ные значения.

4.Каждая ветвь модели содержит, по крайней мере, один компонент, который может быть активным, моделирующим воздействие, или пассивным, отражающим свойства пути, по которому протекает поток субстанции, возникающий под действием разности потенциалов. Допускается условное графическое изображение компонента на ветви, принятое в электротехнике, механике и теории тепломассообмена. Тогда граф получает изображение соответствующей цепи (электрической, механической и тепловой).

5.Пассивный компонент ветви устанавливает определенное отношение между переменными ветви и инцидентных ей узлов. При наличии одного

обобщенного пассивного компонента в ветви ijk ее параметр hijk связывает поток ijk с разностью потенциалов ij i j ее узлов соотношением

Обобщенный компонент может быть представлен в виде комбинации фундаментальных компонентов, каждый из которых с помощью реологического параметра характеризует простейший физический признак моделируемой части конструкции.

Если фундаментальный компонент модели – диссипативный (рассеивающий энергию), то его реологический параметр ijk представляет собой

коэффициент пропорциональности в формуле (2.6), т. е. параметр ветви равен параметру компонента:

Если фундаментальный компонент модели – консервативный (накапливающий энергию), то его реологический параметр может быть потенциальным ijk или потоковым ijk в зависимости от вида энергии, накапливае-

мой в компоненте. В первом случае параметр ветви

2.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

2.2.Функции параметрической чувствительности

6.Потенциальный активный компонент, расположенный в ветви ijk без других компонентов, устанавливает определенную разность потенциалов

ij i j в узлах ветви, т. е. ij Xijk , где Xijk – заданное значение разности потенциалов, независимое от потока ijk этой ветви, а потоковый актив-

ный компонент устанавливает определенный поток ветви ijk ijk , где ijk –

заданное значение потока, независимое от разности потенциалов этой ветви (рис. 2.7, б). Если активный компонент моделирует входное воздействие на рассматриваемый физический процесс в приборе, то генерируемая им переменная величина Xijk или ijk является заданной. Если же активный компо-

нент ветви ijk моделирует внутреннюю связь разности потенциалов ij или потока ijk этой ветви от разности потенциалов lm или потока lmn другой ветви lmn (рис. 2.7, в), то заданной величиной является его параметр, в качестве которого служит коэффициент пропорциональности ijklmn , входящий в соответствующую зависимость:

7. Каждый узел устанавливает отношение между потоками ветвей, сходящихся в этом узле. По законам сохранения материи и движения для любого i-го узла топологической модели сумма входящих потоков равна сумме выходящих:

где слева – суммирование по номерам узлов, от которых потоки ветвей направлены к узлу i, а справа – суммирование по номерам узлов, к которым потоки ветвей направлены от узла i. Отсюда видно, что последовательное соединение ветвей, когда каждый узел (кроме первого и последнего) в соединении является общим только для соответствующей пары ветвей, можно заменить одной ветвью между первым и последним узлом с параметром, найденным из формулы

где i, j, ..., m – последовательные номера узлов в соединении. Параллельное соединение ветвей между двумя узлами i и j можно заменить одной ветвью

2.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

2.2.Функции параметрической чувствительности

между этими же узлами с параметром hij1 t r hijt , где t – номер параллельной

ветви; – общее число параллельных ветвей между узлами i и j. Таким образом, при сложном соединении типовых компонентов, параметр ветви в общем случае может оказаться сложным оператором вида

где br br ( , , ) ; ap ap ( , , ) – коэффициенты полиномов числителя и

знаменателя, являющиеся функциями реологических параметров и .

Топологические расчетные модели могут быть построены для электрических, механических, тепловых, аэродинамических, рациональных и других физических процессов ПС путем анализа конкретных схем, условий протекания этих процессов с выделением потенциальных и потоковых переменных, активных и пассивных компонентов и видов их соединений. При этом независимые активные компоненты, как уже упоминалось ранее, моделируют входные воздействия х. Потенциальные и потоковые переменные являются выходными характеристиками у, а параметры зависимых активных или пассивных компонентов могут быть как обобщенными h, так и первичными q параметрами.

Для унифицированных топологических моделей разнородных физических процессов, представляемых в виде не направленных графов, в табл. 2.2 приведены переменные величины и параметры, которые удобно использовать в качестве потенциальных и потоковых переменных величин и реологических параметров, отображающих фундаментальные свойства ЭРЭ и конструктивных элементов, в которых протекают рассматриваемые электрические, механические или тепловые процессы.

Пример 1. Построить топологическую модель для дифференцирования, работающую в низкочастотной области. Топологическая модель приведена на рис. 2.8.

R3

2.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

2.2.Функции параметрической чувствительности

X101

Рис. 2.8. Электрическая принципиальная схема узла дифференцирования (унифицированное обозначение параметров:

В приведенной топологической модели с учетом унифицированных обозначений параметрами отображены:

211 1q3 , α311 1q5 , 201 1q4 , 301 1q6 ,212 q1 , 321 q2 .

Входное воздействие равно

x1 X101 Uвх ,

а входные характеристики с учетом уже принятых на рис. 2.8 обозначений – суть следующие потенциальные и токовые переменные:

Таблица 2.2

Переменные величины и реологические параметры топологических расчетных моделей ПС

2.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

2.2.Функции параметрической чувствительности