- •Лабораторная работа №4. «Исследование переходных процессов в линейных электрических цепях второго порядка»
- •4.1 Краткие теоретические сведения
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •4.2. Описание лабораторной установки
- •4.3. Задание на самоподготовку
- •4.4. Лабораторное задание
- •4.5. Содержание отчета
- •4.6. Контрольные вопросы
- •Литература
Пример 3
Рассмотрим переходный процесс в линейной электрической цепи второго порядка, вызванный подключение ветви, содержащей сопротивление и емкость(рис. 4.8), выбрав в качестве реакции ток, протекающий через индуктивность.
Рис. 4.8
Поскольку цепь содержит два узла и три ветви, то для описания протекающих в ней процессов необходимо записать одно уравнение по первому закону Кирхгофа и два – по второму. Однако один из токов ветвей является задающим током источника и считается известным. Следовательно, по второму закону Кирхгофа будет составлено лишь одно уравнение. Дополним систему компонентными соотношениями. Получим:
(4.31)
Сведем систему (4.31) к дифференциальному уравнению для тока . С этой целью подставим выражения для , и во второе уравнение системы. Получим:
(4.32)
Выразим ток из первого уравнения и подставим во второе и третье:
(4.33)
Выразим из первого уравнения и подставим во второе. После приведения подобных и деления всего уравнения почленно на получим:
. (4.34)
Введем обозначения:
Пусть ,,,,. Тогда:
Поскольку , то характер переходного процесса – колебательный. Значит свободная составляющая тока, протекающего через индуктивность равна:
, (4.35)
Вынужденную составляющую тока, протекающего через индуктивность , найдем, исключив обе производные из дифференциального уравнения (4.34):
. (4.36)
Тогда общее решение уравнения (4.34) имеет вид:
. (4.37)
Для определения констант интегрирования и найдем зависимые и независимые начальные условия. Рассмотрим цепь в момент времени , предшествующий замыканию ключа (рис. 4.9).
Рис. 4.9
Поскольку цепь одноконтурная, то элементы соединены последовательно и во всей цепи протекает один и тот же ток, равный задающему току источника:
.
Поскольку до замыкания ключа емкость была отключена, то напряжение на ней:
.
Тогда согласно законам коммутации:
, .
Рассмотрим цепь в момент времени , следующий сразу за замыканием ключа, и определим зависимое начальное условие (рис. 4.10).
Рис. 4.10
Поскольку в цепи действует два источника, то суммарное напряжение найдем как сумму напряжений и , отражающих реакцию цепи на действие каждого из источников в отдельности (метод наложения). Поочередное гашение источников тока приводит к цепям, изображенным на рис. 4.11.
Рис. 4.11
Для цепи на рис. 4.11, а токи и имеют одинаковое абсолютное значение, равное задающему току источника, но противоположны по направлению. Значит, второй закон Кирхгофа для этой одноконтурной цепи имеет вид:
Для цепи на рис. 4.11, б ток , а ток согласно первому закону Кирхгофа равен задающему току источника . Тогда уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа для выбранного контура, имеет вид:
.
Тогда зависимое начальное условие для напряжения на емкости:
.
Запишем общее выражение для напряжения , воспользовавшись (4.37) и компонентным соотношением для индуктивности:
(4.38)
Подстановка найденных начальных условий в (4.37) и (4.38) дает следующую систему уравнений для нахождения и :
(4.39)
Из первого уравнения системы (4.39) находим, что . Тогда из второго уравнения следует, что . Тогда ток, протекающий через индуктивность, имеет вид:
. (4.40)
На рис. 4.12 представлен график изменения тока со временем.
Рис. 4.12