- •Лабораторная работа №4. «Исследование переходных процессов в линейных электрических цепях второго порядка»
- •4.1 Краткие теоретические сведения
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •4.2. Описание лабораторной установки
- •4.3. Задание на самоподготовку
- •4.4. Лабораторное задание
- •4.5. Содержание отчета
- •4.6. Контрольные вопросы
- •Литература
Лабораторная работа №4. «Исследование переходных процессов в линейных электрических цепях второго порядка»
Цель работы: снятие переходных и импульсных характеристик простейших электрических цепей и сопоставление результатов эксперимента с результатами расчета.2.1. Краткие теоретические сведения
4.1 Краткие теоретические сведения
В отличие от рассмотренных в лабораторной работе №3 линейных электрических цепей первого порядка, переходные процессы в цепях второго порядка описываются линейными дифференциальными уравнениями второго порядка. Общий вид таких уравнений:
, (4.1)
где - реакция электрической цепи, а- функция, определяемая задающими токами и ЭДС источников, действующих на цепь. Коэффициентыиносят названиякоэффициента затухания и частоты незатухающих колебаний. Главной особенностью переходных процессов в линейных электрических цепях второго порядка является зависимость типа переходного процесса от соотношения между введенными коэффициентами, и. Различают три типа переходных процессов:апериодический, критический и колебательный. Вид свободной составляющей реакции определяется, как и в случае линейных электрических цепей первого порядка, корнями характеристического уравнения, которое в данном случае имеет вид:
. (4.2)
Вид корней этого уравнения определяется его дискриминантом.
Если дискриминант характеристического уравнения положителен, а это соответствует неравенству , то корни этого уравнения оказываются вещественными, разными, отрицательными. Свободная составляющая реакции цепи в этом случае определяется выражением:
, (4.3)
где . Говорят, что переходной процесс в этом случае носит апериодический характер.
Если дискриминант характеристического уравнения равен нулю, что выполняется при , то корни характеристического уравнения оказываются вещественными, одинаковыми, отрицательными. В этом случае свободная составляющая может быть записана в виде:
, (4.4)
где . Характер переходного процесса в этом случае - критический.
Если дискриминант характеристического уравнения отрицателен, что возможно только при , то корни характеристического уравнения оказываются комплексно сопряженными с отрицательной вещественной частью. Общий вид свободной составляющей реакции цепи в этом случае такой же, как и для апериодического переходного процесса:
, (4.5)
где 1. Тип переходного процесса в этом случае – колебательный.
Однако, это не единственная форма представления свободной составляющей реакции для колебательного переходного процесса. Выражение (4.5) может быть также сведено к тригонометрической форме2:
(4.6)
где введено обозначение .
Из выражения (4.6) непосредственно виден физический смысл введенных коэффициентов. Коэффициент есть ни что иное, как относительная скорость уменьшения амплитуды колебаний. Величинаописывает частоту затухающих колебаний. Если, то, а значит,имеет смысл частоты незатухающих колебаний.
Помимо введенного коэффициента затухания изменение амплитуды колебаний можно характеризовать так называемымилинейным и логарифмическим декрементами затухания и. Физический смысл этих величин можно пояснить с помощью рис. 4.1, иллюстрирующего свободную составляющую реакции электрической цепи в колебательном переходном процессе.
Рис. 4.1
Под линейным декрементом затухания понимают отношение двух амплитуд свободных колебаний, отстоящих друг от друга по времени на величину периода затухающих колебаний :
. (4.7)
Из выражения (4.6) видно, что:
.
Логарифмический декремент связан с линейным декрементом затухания выражением:
. (4.8)
Простейшей цепью второго порядка является последовательное соединение источника ЭДС, сопротивления, индуктивности и емкости, известное как последовательный колебательный контур. Важнейшей характеристикой такой цепи является добротность , определяемая как отношение энергии, запасаемой в системе к энергии потерь в ней за период колебаний, умноженной на . Эта величина также связана с затуханием колебаний и может быть оценена по графику свободной составляющей реакции цепи как число полных различимых колебаний.
Из выражений (4.4)-(4.7) видно, что отыскание реакции цепи сопровождается определением двух констант интегрирования ( или ). Это возможно, если известны два начальных условия, в качестве которых принято выбирать значение реакции и ее производной в момент времени .
Рассмотрим различные типы переходных процессов на конкретных примерах.