- •Министерство образования и науки российской федерации
- •Часть 1. Гамма-, бета- и пси-функции
- •390005, Рязань, ул. Гагарина, 59/1.
- •Предисловие
- •§ 1. Гамма-функция Эйлера (Эйлеров интеграл 2 рода)
- •Определение и простейшие свойства гамма-функции в комплексной области
- •Рассмотрим замкнутую область(см. Рис. 1.1).
- •Дальнейшие свойства гамма-функции
- •Примеры
- •Примеры на применение формулы
- •Другое интегральное представление гамма-функции и следствия из него
- •§ 2. Бета-функция Эйлера (Эйлеров интеграл 1 рода)
- •2.1. Определение и связь с гамма-функцией
- •2.2. Свойства бета–функции
- •2.3. Некоторые обозначения и символы
- •§ 3. Гамма-функция в вещественной области
- •Функциональная характеристика гамма-функции
- •3.2. График функции
- •3.3. График функции
- •4.2. Функция прии ее график
- •4.3. Дальнейшие свойства пси-функции
- •4.4. Вычисление преобразования Лапласа некоторых элементарных функций
- •4.4.1. Преобразование Лапласа функции
- •4.4.2. Преобразование Лапласа функции
3.2. График функции
Напомним, что при гамма-функция определяется формулой; при этом. Следовательно, в силу теоремы РолляНо
, ,
следовательно, возрастает и при, а при, так что в точкеналицо минимум (см. рис. 3.1). Вычисления, которые мы не приводим, дает
Отметим еще, что так как при , то функциявыпукла вниз на.
Далее, ,; при , т.е.
при ;
Изучим теперь при.
Пусть вначале . Тогда
.
Для исследования функции на выпуклость и вогнутость определим знакпри.
Продифференцировав формулу понижения
:
,
поделим левую часть на, а правую - на:
.
Дифференцируем еще раз:
.
Но по доказанному выше в п. 3.1 при
,
следовательно, при.
Применяя это рассуждение последовательно несколько раз, заключаем, что на каждом отрезке вида , т.е.имеет знак: если, тоесли, тоВ частности, на каждом отрезке видаимеется единственная стационарная точка, причем при
.
График гамма-функции приведен на рис. 3.2 жирной линией.
Рис. 3.2
3.3. График функции
Эта функция определена ; в точкахдоопределим ее естественным образом – по непрерывности. При этом в окрестности нуля имеем:
В окрестности :
В окрестности :
.
Далее, , следовательно, функциявозрастает там, гдеубывает, и наоборот.
График функции приведен на рис. 3.2 пунктирной линией.
3.4. Пример
.
Решение.
.
Обозначим . Тогда; при этом. В этих обозначениях
=
.
§ 4. Пси-функция
4.1. Определение и простейшие свойства
Пси-функция определяется как логарифмическая производная Г-функции:
.
Непосредственно из определения следует, что функция аналитична при , а так как то в окрестности точки
, где - аналитическая в окрестности точкифункция. Отсюда
,
где - аналитическая в окрестности точкифункция. Следовательно, -полюс 1 порядка.
Тем самым доказано
Свойство 4.1.
Свойство 4.2 (рекуррентная формула):
.
Доказательство.
, ч.т.д.
Свойство 4.3 (формула симметрии):
.
Доказательство. Из формулы симметрии для гамма-функции выразим . Тогда
, ч.т.д.
Свойство 4.4 (формула удвоения):
.
Доказательство. Из формулы удвоения для гамма-функции выразим . Тогда
,
ч.т.д.
Аналогичнос помощью общей формулы умножения для гамма-функции доказывается, что
Замечание. имеет другое название – дигамма-функция; в этой терминологии ее производная- тригамма-функция;- тетрагамма-функция;- пентагамма-функция и т.д.
4.2. Функция прии ее график
По определению при .
Из свойств гамма-функции следует, что
при .
Величина называется константой Эйлера-Маскерони и обозначается. Тем самым
.
Вычисления, которые мы не приводим, показывают, что
Далее,
.
Отсюда следует, что возрастает наи на. При этом
.
Тем самым при, а так какв силу монотонности пси-функции выполнено:, топри.
Далее, так как - полюс 1 порядка с вычетом (-1), то в окрестности точкии при.
График пси-функции изображен на рис. 4.1.
Рис.
4.1
То, что при, будет показано чуть ниже.
4.3. Дальнейшие свойства пси-функции
4.3.1. Докажем формулу .
Доказательство. Известно, что точка - полюс 1 порядка дляс вычетомт.е. в окрестности точкинекоторая аналитическая функция. Следовательно, функцияаналитична на всей комплексной плоскости С.
Можно доказать, что
Но ч.т.д.
Следствие. ,
где - обобщенная дзета-функция, которая припревращается в обычную дзета-функцию Римана:.
В частности,
;
.
Далее,
при
В частности, и т.д.
4.3.2. Выпишем далее несколько первых коэффициентов разложения функции в ряд по степеням:
.
Но ,; вычислим. Имеем:
.
Заодно найдено значение интеграла, представляющего :
.
4.3.3. Опираясь на выведенные выше в п. 1.2 формулы
понижения:
, (4.1)
дополнения:
, (4.2)
и удвоения:
, (4.3)
а также полученные численные значения
, (4.4)
вычислим значения пси-функции еще в некоторых точках.
.
Действительно, возьмем в (3)
.
Следствие. .
Действительно, взяв в (2) , получаем:
Взяв в (3) , получаем:
Таким образом, задача свелась к нахождению неизвестных ииз системы
;
Для доказательства воспользуемся формулой утроения
Взяв здесь , получаем
Взяв в (2) , получаем:
.
Доказательство. Согласно формуле понижения (1) имеем:
,
ч.т.д.
Значение найдем отсюда с использованием формулы дополнения (2):
.
Доказательство. По определению
, ч.т.д.